探究中考数学思想方法

专题突破四┃专题突破四┃数学思想是数学知识的进一步提炼和升华，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径．解决数学问题除了需要有扎实的基础知识外，还需要一定的方法和技巧，更需要灵活运用数学方法和数学思想，才能使问题化难为易，变繁为简，准确把握各种数学思想和方法，可以拓宽解题的思路．纵观河南省近年中考试题中每一类题都有数学思想方法的渗透．常见的数学思想方法有：分类讨论，数形结合，化归转化，函数思想，方程思想等.专题突破四┃热考一分类讨论例1

[2012·三门峡实验中学一模]

如图

Z4－1，一次函数

ym＝kx＋2

的图象与x

轴交于点B，与反比例函数y＝

x

的图象的一个交点为A(2,3).分别求出反比例函数和一次函数的关系式；过点A

作AC⊥x轴，垂足为C，若点P

在反比例函数图象上，且△PBC

的面积等于18，求P

点的坐标.图Z4－1专题突破四┃m解：(1)把A(2,3)代入y＝

x

，得m＝6.∴该反比例函数表达式为y＝x6.1把A(2,3)代入y＝kx＋2，有2k＋2＝3.解得k＝2.∴该一次函数的表达式为y＝21x＋2.1△PBC(2)令2x＋2＝0，解得x＝－4，即B(－4,0)．∵AC⊥x

轴，∴C(2,0)．∴BC＝6.设P(x，y)，12∵S

＝

·BC·|y|12＝18，∴y

＝6

或y

＝－6.6x1

2分别代入y＝，得x

＝1

或x

＝－1.∴P

点的坐标为(1,6)或(－1，－6)．专题突破四┃分类讨论的因素较多，归纳有以下几个方面：①与数学概念、定义有关的分类讨论；②涉及数学运算法则或定理、公式的适用范围的分类讨论；③由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；④由于图形的不确定性引起的分类讨论；⑤由于题目含有字母而引起的分类讨论．解决这些问题时，要认真审题，全面考虑，根据其数量差异与位置逐一讨论，做到不重不漏，条理清晰.专题突破四┃热考二

数形结合例2

[2012·海南]如图Z4－2，顶点为P(4，－4)的二次函数图象经过原点O(0,0)，点A

在该图象上，OA

交其对称轴l

于点M，点M、N

关于点P

对称，连接AN、ON.求该二次函数的关系式；若点A

的坐标是(6，－3)，求△ANO

的面积；当点A

在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：∠ANM＝∠ON图MZ；4－2②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.专题突破四┃解：(1)∵二次函数图象的顶点为P(4，－4)，∴设二次函数的关系式为y＝a(x－4)2－4.又∵二次函数图象经过原点(0,0)，1∴0＝a(0－4)2－4，解得a＝

.1414

42

2∴二次函数的关系式为y＝

(x－4)－4，即y＝

x

－2x.(2)设直线OA

的函数关系式为y＝kx，将A(6，－3)代入得－3＝6k，12解得k＝－.21

12∴直线OA

的函数关系式为y＝－

x.把x＝4

代入y＝－x

得y＝－2.∴M(4，－2)．∴S△ANO又∵点M、N

关于点P

对称，∴N(4，－6)，MN＝4.12＝

×6×4＝12.专题突破四┃(3)①证明：作AH⊥x

轴于H，如图1，

142设A

点坐标为

m，m

－2m

，(m＞4)14则OH＝m，AH＝2m－m2，由△OMD∽△OAH，得OD＝OHDM

AH.得DM＝8－m.∴M(4，m－8)．∵点M、N关于点P

对称．∴N(4，－m)，则直线

AN

的函数关系式为

y

mx－2m.＝

4∴直线AN

与x

轴交于点B(8,0)，∴OD＝BD＝4.∵DN⊥OB.∴ON＝BN.∴∠ANM＝∠ONM.专题突破四┃②能．由题意可知∠ANO

不可能为直角．当∠AON＝90°时，如图2，此时M(4，m－8)，∵点M、N

关于点P

对称，∴N(4，－m)．∴DN＝m.易证△OMD∽△NOD，∴OD

＝DN，∴16＝m(m－8)，DM

OD解得

m1＝4＋4

2，m2＝4－4 2(不合题意舍去)，∴A(4＋4

2，4)当∠OAN＝90°时．作AH⊥x

轴于H，NE⊥AH

于E.2则

OH＝m，AH＝2m－1

.N(44m41，－m)．∴AE＝

m2－m，NE＝m－4.易证△OAH∽△ANE.AH

NE1

2∴OH＝AE.解得m

＝m

＝4(不合题意舍去)．∴△ANO

能为直角三角形，此时

A(4＋4

2，4)．专题突破四┃用数形结合思想解答的题目常常有利用几何图形直观表示数的问题；解决函数与图象的问题；运用数量关系来研究几何图形问题等；这些问题要把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，进而探求解题思路.专题突破四┃热考三函数思想例3

[2012·乌鲁木齐]如图Z4－3

是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB

为100

米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为10

米(不考虑立柱的粗细)，其中距A

点10

米处的立柱FE

的高度为3.6

米.求正中间的立柱OC

的高度；是否存在一根立柱，其高度恰好是OC

的一半？请说明理由.图Z4－3专题突破四┃解：(1)根据题意可得中间立柱OC

经过AB

的中点O.以点O

为原点，以AB

所在的直线为x轴，建立直角坐标系．问题转化为求点C

的纵坐标．|OF|＝OA－FA＝40(米)，故B(50,0)，E(－40,3.6)．设抛物线的关系式为y＝ax2＋c，∴

502a＋c＝0，

402a＋c＝3.6，250

a＝－1

，解得

c＝10.∴y＝－1

x2＋10，当x＝0

时，y＝10.250即正中间的立柱OC

的高度是10

米．专题突破四┃(2)设存在一根立柱的高度是

OC

的一半，即这根立柱的高度是

5

米．则有

5＝－

1

x2＋10.解得：x＝±25

2.250∵相邻立柱之间的间距为

10

米，最中间的立柱

OC在y

轴上，根据题意每根立柱上的点的横坐标为

10

的整数倍，∴x＝±25

2与题意不符，∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC

高度的一半．专题突破四┃函数思想就是用运动、变化的观点来观察、分析问题，把所研究的问题纳入某个变化过程中，根据问题的条件及所给的数量关系，构造函数关系，使问题在函数关系中实现转化.专题突破四┃热考四方程思想例

4

[2012·包头]

如图

Z4－4，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，AC＝4

cm，BC＝5

cm，点D

在BC

上，且CD＝3cm，现有两个动点P、Q

分别从点A

和点B

同时出发，其中点P

以1厘米/秒的速度沿AC

向终点C

运动，点Q

以1.25

厘米/秒的速度沿BC

向终点C

运动．过点P

作PE∥BC

交AD

于点E，连接EQ.设动点运动时间为t

秒(t>0).连接DP，经过1

秒后，四边形EQDP

能够成为平行四边形吗？请说明理由；连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ

与线段AB

平行，为什么？当t

为何值时，△EDQ

为直角三角形？图Z4－4专题突破四┃解：(1)能．理由如下：经过1

秒后，DQ＝5－3－1.25＝0.75.因为EP∥BC，所以△AEP∽△ADC，所以ACAP＝EP

1

EPDC，所以4＝

3

，又因为

EP＝0.75.所以

EP＝DQ，所以四边形EQDP

是平行四边形．(2)CQ＝5－1.25t，CP＝4－t，所以BC5CQ＝5－1.25t＝4－t4－t4

4CP

CQ

CP，AC＝

，所以BC＝AC，所以△CQP∽△CBA，所以∠PQC＝∠ABC，所以PQ∥AB.故不论t

取何值时，总有线段PQ

与线段AB

平行．专题突破四┃(3)由题意可知，当Q

位于CD

之间时，△EDQ

才可能为直角三角形．若∠EQD

为直角，则△EDQ

相似于△ADC，即EQ

ACDQ

DC

34＝ ＝

，3－(5－1.25t)列出方程：4－t34＝，得t＝2.5.若∠DEQ

为直角，则△EDQ∽△CDA，即DE＝DC3DQ

AD

5＝

.因为△ADC

相似于△AEP，所以AE＝AP

tAD

AC

4＝

，AD＝5，AE＝1.25t.所以