专题2-6比大小15种类型归类（讲练）（原卷版）

专题2-6比大小15种类型归类一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳【题型一】基础1：指数函数比大小【题型二】基础2：幂指对性质比大小【题型三】基础3：三角函数与幂指对比大小【题型四】临界值型：正负1与0分界【题型五】临界值型：选取中间值【题型六】做差比较法【题型七】做商比较法【题型八】零点比较法【题型九】幂指放大法【题型十】放缩比大小【题型十一】三角函数图像与性质比较法【题型十二】导数构造法比大小【题型十三】构造指数函数型【题型十四】综合利用函数性质比较大小【题型十五】几个比较复杂的构造函数型三、高考真题对点练四、最新模考题组练知识梳理与二级结论一、比大小所需常见函数图像和性质1、指数函数图象定义域__R_______R___值域____________性质过定点___________，即______0_____时，____0_______减函数增函数对数函数图象性质（1）定义域：_.（2）值域：（3）过定点，即x=_1_时，y=0（4）在_上增函数（4）在上是减函数（5）；（5）；3.三角函数性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R单调性[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上递增；[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上递减[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上递增最值x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)对称轴方程x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ二、比大小常见思维1、指数幂比较大小①同底幂比较，构造指数函数，用单调性比较； ②同指数幂比较，构造幂函数，用单调性比较；③不同底也不同指幂比较，借助媒介“1”.2、对数比较大小①同底数对数比较，用单调性比较； ②同真数对数比较，画图像比较；③不同底也真对数比较，借助媒介“0和1”.(3)对数与指数之间比较，一般借助媒介“0和1”.注意：①无理数e≈； ②ln2≈，ln3≈；3、指、对、幂大小比较的常用方法：（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.热点考题归纳【题型一】基础1：指数函数比大小【典例分析】1.下列各式比较大小正确的是()A． B．C． D．2.（2022秋·青海海东·高三校考阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【提分秘籍】1.利用指数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．2.指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质3.指数函数图像性质：一点一线。恒过定点（0，1），x轴是它的水平渐近线4.进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．【变式演练】1.（2022秋·江西南昌·高三模拟）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．2.（2023·高三课时练习）已知，，，则（

）.A． B． C． D．3.（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）设，其中，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【题型二】基础2：幂指对性质比大小【典例分析】1．（2023春·山东滨州·高三校联考阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．2．（2023春·甘肃天水·高三模拟）已知，，，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【提分秘籍】有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.【变式演练】1．（2023春·天津河北·高三模拟）设，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．2．（2020秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．3.（2024秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）设，，，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【题型三】基础3：三角函数与幂指对比大小【典例分析】1.（湖南省衡阳市2022-2023学年高三上学期模拟数学试题），的大小关系为（

）A． B．C． D．2.（山东省滨州市2022-2023学年高三上学期数学试题）已知，记，则x，y，z的大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【提分秘籍】函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象三角函数基础图像【变式演练】1.（福建省龙岩市一级校2023届高三上学期期末联考数学试题）已知，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．2.（山东省济宁市曲阜市第一中学2022-2023学年高三上学期数学试题）下列选项中大小关系正确的是（

）A． B．C． D．3.（湖北省部分重点中学2022-2023学年高三上学期联考数学试题）设，，，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【题型四】临界值型：正负1与0分界【典例分析】1.（陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高三上学期数学联考）三个数，，之间的大小关系是（）A． B． C． D．2.（四川省遂宁市射洪中学2021-2022学年高三上学期第三次联考数学试题）设，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【提分秘籍】解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础的是以正负划分，正数则以1为区间端点划分。【变式演练】1.（广东省陆丰市林启恩纪念中学2021-2022学年高三上学期第2次模拟（12月）数学试题）已知，，，则，，三者的大小关系是（）A． B． C． D．2.（重庆市育才中学2021-2022学年高三上学期数学试题）已知，，，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．3.（山东省临沂市2021-2022学年高三上学期联考数学试题）已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A． B．C． D．【题型五】临界值型：选取中间值【典例分析】1.在必修第一册教材几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当或时，；当时，，请比较，，的大小关系A． B． C． D．2.（广西师大附属外国语学校2021届高三5月高考考前模拟考试数学（理）试题）已知，，，，则、、、的大小关系是（

）A． B．C． D．【提分秘籍】寻找非0、1的中间变量是难点。中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。然后可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值3.利用幂指对等函数计算公式进行适当的放缩转化【变式演练】1.设，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．2.已知，，设，，，找出这三个数大小关系_________3.若，则之间的大小关系是__________.【题型六】做差比较法【典例分析】1.（黑龙江省嫩江市高级中学2021-2022学年高三上学期9月月考数学（理）试题）已知分别满足下列关系：，则的大小关系（从小写到大）_______.2.（浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高三上学期期中数学试题）已知，，，则，，的大小关系是A． B．C． D．【提分秘籍】比法：作差，变形，判断正负。其中难点在于恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或者计算化简，或者放缩为具体值，准确计算找对变形方向是关键。【变式演练】1.已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．2.（2023年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷（三））已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．3.（广东省真光中学、深圳二高2023届高三上学期联考数学试题）实数，，分别满足，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【题型七】做商比较法【典例分析】1．（陕西省安康市2023届高三下学期二模理科数学试题），，，，则a，b，c，d的大小关系为（

）A． B． C． D．2.（广东省深圳外国语学校高中园2022-2023学年高三上学期学段（三）数学试题）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【提分秘籍】商比法：两个正数a，b，如果，运用商比法，要注意两个数是正数还是负数【变式演练】1.（贵州省毕节市2023届高三年级诊断性考试（一）数学（理）试题）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．2.（浙江省杭州四校联盟2022-2023学年高三上学期1月数学试题）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．3.已知，，则实数a，b，c的大小关系为（

）A．c＞a＞b B．a＞b＞cC．a＞c＞b D．c＞b＞a【题型八】零点比较法【典例分析】1.（2020-20213学年河北邢台一中高三上学期第三次模拟数学试卷）设均为正数，且，，.则的大小关系为______________．2.已知正实数，，满足，，，则a，b，c的大小关系为(

)A． B． C． D．【提分秘籍】幂指对函数，可以借助函数之间的图像交点，以及函数与坐标轴的交点，函数的区间值域，来寻找特殊值之间的大小位置关系【变式演练】1.（新疆生产建设兵团四校2020-2021学年高按（上）期中联考数学试题）已知则，，的大小关系是（）。A． B． C． D．2.若正实数a，b，c满足，，，则正实数之间的大小关系为（）A． B． C． D．3.（河南省南阳市第一中学校2021-2022学年高三上学期第四次阶段考试数学试题）已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．【题型九】幂指放大法【典例分析】1.知，则的大小关系为（）A． B． C． D．2.（2023春·青海西宁·高三模拟）已知，，则a，b的大小关系是（

）A． B．C． D．无法确定【提分秘籍】指、对、幂大小比较的常用方法：（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.【变式演练】1.（023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．2.（2023春·河北邯郸·高三校联考）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【题型十】放缩比较法【典例分析】1.（江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期12月阶段性测试数学试题）设，，，则a，b，c的大小关系为______.（用“<”连接）2.若，则之间的大小关系是__________.【提分秘籍】放缩：1.借助幂指对函数的单调性进行放缩。2.常用一些放缩公式：;当时取等;,当时取等,【变式演练】1.（湖北省华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高三下学期5月考前模拟数学试题）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．2.若，，，则a，b，c的大小关系为（

）．A． B．C． D．3.（福建省漳州第一中学2023届高三上学期第一次阶段考试数学试题）若，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【题型十一】三角函数图像与性质比较法【典例分析】1.（辽宁省沈阳市实验中学2019-2020学年高三考试数学试卷）均为锐角，若，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．2.（陕西省渭南市蒲城县2020-2021学年高三教学检测数学试题）设，，，则、、之间的大小关系是_____.【提分秘籍】三角函数与三角函数值比较大小：1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当(0，)时，3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小【变式演练】1.（黑龙江省牡丹江市第一高级中学2021-2022学年高三下学期4月数学试题）设，，，，则a，b，c，d的大小关系是（

）A． B．C． D．2.（2023春·河南南阳·高三模拟）已知，，，则实数的大小关系是（

）A． B．C． D．3.（2023春·江苏盐城·高三模拟）已知，，，则a，b，c的大小关系为A． B． C． D．【题型十二】导数构造法【典例分析】1.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．2.（【全国百强校】重庆巴蜀中学2019届上学期高三期中复习数学试卷）已知，则的大小关系为A． B． C． D．【提分秘籍】常见的构造函数求导思维：在于转化过程中，“分参”→“构造”，得新函数，求导函数寻找单调性【变式演练】1.（河北省正定中学2021届高三下学期开学考试数学试题）设，，，则的大小关系为A． B． C． D．2.若，则的大小关系为（）A． B．C． D．3.（四川省宜宾市第四中学校2022-2023学年高三上学期12月月考数学（文科）试题）设，，，则a、b、c的大小关系为（

）A． B． C． D．【题型十三】构造指数函数型【典例分析】1.若，则，，的大小关系正确的是（）A． B．C． D．2.已知，若，，，则的大小关系为（）A． B．C． D．【提分秘籍】指数函数图像的三个扩展模型【变式演练】1.（陕西省西安市阎良区2020-2021学年高三理科数学试题）设，已知，，，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．2.（河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）设，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【题型十四】综合利用函数性质比较大小【典例分析】1..已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当成立（是函数的导数），若，则的大小关系是A． B． C． D．2.（广东省六校2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知，为函数的零点，，若，则（

）A． B．C． D．与大小关系不确定【变式演练】1..已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．2.（安徽省蚌埠市2021-2022学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题）已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．3.（广东省汕头市潮阳实验学校2021-2022学年高三考试数学试题）已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为.当时，恒成立.设，记，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【题型十五】几个比较复杂的构造【典例分析】1.（2021年高考全国乙卷数学（理）高考真题变式题11-15题）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．2.（山东省实验中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）若，，，其中为自然对数的底数，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【变式演练】1.（广东省深圳市盐田高级中学2023届高三上学期11月月考数学试题）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．2.（江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高三上学期12月抽测二数学试题）已知，则的大小关系正确的是（

）A． B．C． D．3.（广东省广州市四校2023届高三上学期第二次模拟联考数学试题）若a＝，，c＝，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为（

）A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．c＜b＜a D．c＜a＜b高考真题对点练一、单选题1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．2．（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．3．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．4．（2020·天津·统考高考真题）设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．5．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为A． B．C． D．6．（2019·天津·高考真题）已知，，，则的大小关系为A． B．C． D．7．（2018·天津·高考真题）已知，，，则a，b，c的大小关系为A． B． C． D．8．（2018·天津·高考真题）已知，则的大小关系为A． B． C． D．9．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．10．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．最新模考真题一、单选题1