函数的表示法（6大题型）精讲（原卷版）

函数的表示法重点：1、函数的三种表示方法；2、根据条件求函数的解析式；3、根据实际情境，选择恰当的函数表示法解决问题；难点：1、求函数的解析式；2、用解析法和图象法表示分段函数.一、函数的表示方法1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值。缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值；缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。优点：能形象直观地表示函数的变化情况；缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。二、描点法作函数图象的三个关注点1、画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；2、图象时实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；3、要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心圈。三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题（1）先令，注意分析的取值范围；（2）反解出x，即用含的代数式表示x；（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式．4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出四、分段函数1．定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．性质：（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．（2）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．题型一函数的表示方法【例1】（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数，分别由下表给出，x012121x012210则；满足的x的值是．【变式1-1】（2023秋·高一课前预习）已知函数由下表给出，则满足的x的值为（）x123231A．1或3B．1或2C．2D．3【变式1-2】（2022秋·高一课时练习）一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天（0时～24时）体温的变化情况的是（）A．B．C．D．【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）某同学到长城旅游，他租自行车由宾馆骑行前往长城，前进了akm，觉得有点累，休息后沿原路返回bkm（）.想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进.则该同学离起点的距离s与时间t的图象大致为（）A．B．C．D．题型二待定系数法求解析式【例2】（2023·高一课时练习）已知是反比例函数，且，则的解析式为（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023·全国·高一假期作业）已知一次函数满足，则（）A．12B．13C．14D．15【变式2-2】（2022秋·贵州黔东南·高一校联考阶段练习）一次函数满足：，则()A．1B．2C．3D．5【变式2-3】（2022秋·陕西榆林·高一校考期中）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式.【变式2-4】（2022秋·江苏南通·高一江苏省如皋中学校考阶段练习）已知，为一次函数且为增函数，若，求的表达式．题型三换元法/配凑法求解析式【例3】（2022秋·河北石家庄·高一石家庄外国语学校校考阶段练习）设函数满足，则的表达式为．【变式3-1】（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）已知，则的解析式为（）A．B．C．D．【变式3-2】（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）若，则（）A．B．C．D．【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数，=．题型四方程组法求解析式【例4】（2022秋·高一单元测试）已知函数满足，则等于（）A．－3B．3C．－1D．1【变式4-1】（2022秋·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数的定义域为，且满足，则（）A．B．C．D．【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（）A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋3【变式4-3】（2022·江苏·高一专题练习）已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为.题型五分段函数的求值问题【例5】（2022秋·广西柳州·高二柳州市第三中学校考学业考试）设函数，则．【变式5-1】（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第七中学校考期末）若函数，则．【变式5-2】（2023春·云南迪庆·高一统考期末）设，则的值为.【变式5-3】（2023春·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考开学考试）已知函数，则.【变式5-4】（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知函数，若，则（）.A．1B．2C．3D．4题型六解分段函数不等式【例6】（2022秋·高一课时练习）已知,则使成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【变式6-1】（2022秋·河南南阳·高一统考阶段练习）设函数,则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2022秋·江苏淮安·高一江苏省洪泽中学校联考期中）已知，则关于的不等式的解集为（）A．B．