第七讲干预分析模型预测法

教学内容批注传递函数模型与干预变量分析时间序列真的仅仅受本身滞后值影响吗？在单变量时间序列中，我们假设系统输出仅仅受既往值和随机干扰项的影响。但实际应用中，可能还有其他与之相关的时间序列，那么如何将其它的变量引入时间序列模型是一个值得讨论的问题。设表示某种商品在一段时间的销售额，由于经济时间序列通常有记忆性，可以用一个ARMA模型来描述其变化规律，假定其变化规律的表达式为但是在许多实际情况下，销售额不仅仅受自己滞后值的影响，还会受其它一些输入变量的影响。我们考虑广告费，广告费对销售额的影响不仅具有即期影响还具有一定的滞后效应，假定其滞后的影响是一期，那么在上式中就应加入广告费的当期和滞后一期的值，如果广告费的即期影响效用是0.55，滞后一期值对销售额的影响效用是0.60，则这个简单的输出和输入关系为如果上式是一个适应的模型，那么该模型时刻的输出由三个部分组成，系统时刻的值，时刻输入的和，以及与前两部分相互无关的随机扰动项。如果我们用后移算子，可以将模型写成则模型可以写成。这样的模型有什么统计特征，又如何定阶、估计和诊断呢？本讲专门讨论多维时间序列建模的相关问题，但是又与我们通常了解的向量自回归不同，这里一定有一个自变量和若干个解释变量。内容结构为：首先引入了传递函数模型，并讨论了传递函数模型和脉冲响应函数的基本特征和性质，脉冲响应函数与互相关函数的关系以及传递函数模型的稳定性。在此基础上介绍了传递函数模型的识别、估计和诊断，并用通过实例分析说明建模的过程。最后引入了干预变量，讨论了干预变量建模的理论和建模过程。第一节传递函数模型的基本概念在以前几章，我们讨论了单变量时间序列分析的建模、估计和诊断有关的问题。但是应用中常常会遇到一个时间序列当期的表现，不仅受自己过去的影响，还与另一个或者多个时间序列相关联，这种线性系统的输出变量与一个或多个输入变量有关，描述这种动态系统的模型称为传递函数模型。研究具有一个输入变量的单输出的线性系统，如图1所示。动态系统动态系统输入变量输出变量随机干扰图1动态系统图示一、模型的形式前面所示模型是两个变量的时间序列模型，从这个模型我们可以看出，输入通过传递函数算子传递到输出上，而随机扰动项又通过算子叠加到输出上，最终输出。又比如传递函数的模型，其含义是对输出的影响效用是，而随机扰动项通过算子叠加到最终输出中。传递函数模型的形式多种多样，但是其构成的机理基本上是一致的。一般的传递函数形式为（1）其中、、、为滞后算子的多项式，其阶数依次分别为s、r、q及p。其中参数s和r是和的阶数，描述对影响。q和p是和的阶数，描述随机冲击对的影响；称为延迟参数，即的期滞后值才开始对产生影响。是随机干扰项，，且与相互独立。称为传递函数，系统的形成机理可用图2表示。输出输出图2一般传递函数模型的形成机理多变量输入传递函数模型的一般形式为当然这比一个输入系统要复杂得多。二、脉冲相应函数特征由于传递函数是由B的多项式构成，所以对于传递函数的模型来说，只要确定其传递函数部分最重要三个参数、和，传递函数基本情况就了解了。传递函数模型的特征与传递函数的三个参数、和密切相关，为三者的判定提供了工具。设传递函数为（2）由于是有理函数，从理论上讲可以表示为是的无穷高阶多项式的系数称为脉冲响应函数。说明的过去值如何影响系统的输出。根据（2）式，有或者再根据待定系数法，比如常数项v0=0一次项v1-v01=0，则v1=0二次项v2-1v1-2v0，则v2=0类推有(3)仔细观察（3）式会发现如下的规律：（1）前个脉冲函数值为零，即，可见我们可以由此来定b；（2）当时，脉冲响应函数有形式因为（）是不同的参数，无规律可循，所以这时的s+1个脉冲响应函数也无固定形式；（3）由于的阶数为s，所以，则有时这恰好是一个阶的差分方程，可见当时的脉冲响应函数是该方程的解，所以当时脉冲响应函数呈指数衰减。有个初始响应函数为，且。结合这3点，我们可以得到三个参数、和的值。例如当前面的三个脉冲相应函数均为零时，可以确定延迟参数b=3，如果有个5个响应函数无规律，那么，则。三、常见的传递函数的形式为了加深对脉响应函数的理解，我们讨论几个多项式阶数不高的，常见的传递函数的情形。1.的情形表1情形的脉冲响应函数表传递函数脉冲响应函数（2，0，0），（2，0，1），，（2，0，2），，2.的情形在这个情况下，当s=0时，从开始脉冲响应函数呈指数衰减；当s=1时，从开始脉冲响应函数呈指数衰减；当s=2时，从开始脉冲响应函数呈指数衰减，有表2的情形的脉冲响应函数表（b，r，s）传递函数脉冲响应函数（2，1，1），，（2，1，2），，，在时间序列的实务分析中r和s均比较小，很少超过2。四、传递函数的稳定性脉冲响应函数是将传递函数表示成为无穷级数时的系数，即从时间序列滞后的特点来看，既往输入系统的，滞后期越长，则对系统的影响则越小，所以脉冲响应函数应该快速收敛到零，这样传递函数则更稳定性。传递函数稳定性的要求与ARMA模型平稳性的要求是类似的，所不同的是除了要求传递函数部分的稳定性，还要求干扰项部分的平稳性。为了保证的传递函数平稳，要求绝对收敛的，即要求满足，这等价于特征方程的根在单位圆之内，这时此系统称为稳定系统，这个条件相当于ARMA序列平稳的条件。对于随机干扰部分的平稳性要求与前面对ARMA模型平稳性的要求是一样的，要求特征方程的根在单位圆之内。当然，如果是一个非平稳的系统，总可以通过适当的差分将系统转换为平稳系统。【例5.1】假设传递函数模型为，讨论其稳定性。解：特征方程的根为而两个根的模所以特征方程的根在单位圆之内，传递函数是平稳的。又由于特征方程的根为0.45，小于1，所以模型的随机干扰项部分是平稳的。第二节传递函数模型的识别与估计ARMA模型涉及的是单变量问题，所以其识别工具主要是自相关和偏自相关函数的截尾性质，之所以称为自相关，是因为它们均讨论同一变量在两个不同时刻输出间的相关性。而传递函数的模型是多元的时间序列分析，模型的识别会同时涉及到互相关（交叉相关）和自相关问题，因为自相关在前面的章节已经讨论，所以这里只讨论互相关（交叉相关）。一、互相关函数(一)互相关函数定义互相关函数是一种非常有用的测度两个变量之间相关强度和方向的函数，在时间序列中我们常常讨论两个变量间的相关性，它与平稳时间序列的自相关函数不同，自相关函数没有方向，亦即与的自相关系数只与时间间隔有关，无论t和s谁在前或后。给定二时间序列和，，且均为平稳时间序列，如果不是平稳的时间序列，总可以通过适当的差分，转化为平稳的时间序列。称（4）为互协方差函数。称（5）为互相关函数，记为CCF。特别值得注意的是互相关函数不仅与时间间隔有关，而且它是不对称，即与方向有关。如图3所示。图3互相关函数示意图（6）（7）这种互相关关系的非对称性是容易理解的。假设是某种商品的广告费，对于该种商品的销售额来说是广告费是领先的变量，它对过去的销售几乎无影响，甚至可能为零，因为对于来说是未来的广告费，未来的广告费不会对过去的销售额；但是对于是有影响的，至于相关性到什么程度，要根据实际情况进行讨论。（二）样本互相关函数由于总体的互相关函数是未知的，为了讨论两个时间序列的互相关函数，通常需要用一个跨度为N的样本来估计总体互相关函数，假设这个跨度为N的样本为，如果和是非平稳的，那么我们总可以经过d阶差分将其转换为平稳的时间序列。样本的互协方差函数为（8）样本的互相关系数为（9）其中、、和分别是两个序列的均值和标准差。在实际中，为了获得互相关函数有统计意义的估计，样本容量要求至少为50对观测值。为了了解互相关函数的计算的原理，下面我们模拟一个二变量的时间序列的样本，给出计算的过程。【例2】对表3中模拟的序列，计算互相关系数。表3模拟数据表11170-12710-42396-2-241271-15148306131022可以分别计算出两个序列的均值分别为11和8，标准差分别为2.38和1.53。计算互协方差函数＝2.667再计算互相关函数从计算的结果可以看出互相关系数是不对称的，即不仅与间隔有关，还与方向有关。【例5.2】本例的数据来源于Box与Jenkins合著《时间序列分析—预测与控制》一书中的序列M。序列M是某商品1970年销售额与销售额的领先指标共150对数据，图4是领先指标的数据图，图5是销售额指标的数据图，图6是和的互相关函数。图4领先指标的数据图图5销售额的数据图CrosscorrelationsLagCovarianceCorrelation-198765432101234567891-30.0247820.05464|.|*.|-2-0.026508-.05844|.*|.|-10.0439850.09698|.|**.|0-0.0014380-.00317|.|.|10.0321680.07092|.|*.|2-0.172487-.38029|********|.|30.3265980.72007|.|**************|40.0473920.10449|.|**.|50.0491760.10842|.|**.|60.0197920.04364|.|*.|70.0640400.14119|.|***|80.0220160.04854|.|*.|90.0407730.08989|.|**.|10-0.013822-.03048|.*|.|110.0535240.11801|.|**.|120.0137310.03027|.|*.|"."markstwostandarderrors图6和的互相关函数图“.”标志相关系数两倍标准差处。从图6可以看出当滞后期数时，互相关函数显著为零。接着滞后期数和时的互相关函数分别为和，两个互相关函数值均在两倍标准差之外，所以统计的角度看显著不为零。（三）互相关函数与传递函数的关系如前所述，传递函数模型可以表示为以脉冲响应函数为系数的时间序列各个时刻值的加权和，即。传递函数的形式实际上反映了互相关函数的特征，那么互相关函数和脉冲响应函数关系如何呢？下面讨论互相关函数与传递函数关系。设将两边同时乘以，则两边同时求数学期望，有因为变量与随机干扰项相互独立，则，有上式两边同时除以和，得互相关函数（10）从（10）式可以看出互相关函数是输入变量的自相关函数和脉冲响应函数的线性函数，如果能从（10）式中解出脉冲响应函数，那么模型的传递函数就得到了。但是（10）式的脉冲响应函数有无穷项，直接求解是不可能的。那么如果将输入的变量x换成白噪声序列情况会如何呢？由于白噪声序列的自相关函数为0，这时（10）式的右边除了之外，其余的项均为零，则（10）式简化为（11）则（12）因此寻找一个白噪声序列，它由滤波得到，且带有的信息。这种转换叫做“预白化”方法。在这种情况下模型的脉冲相应函数和互相关函数之间仅仅相差一个常数因子，如5.11式。可见模型的脉冲相应函数和互相关函数有同样的变化规律，利用互相关函数有助于对模型传递函数部分的识别。设传递函数模型为假定输入序列是一个平稳序列，其适应模型为（13）其中为白噪声序列，且含有的信息。如果我们把看成一个滤波器，假定输出序列与输入序列有同样的特征，那么用这个相同滤波器，也可以将进行滤波，得（14）其中是白噪声序列，且含有的信息。将代入（14）式，则故有（15）可见预白化处理后，输入的数据转化为一个带有信息的白噪声序列，且有与相互独立，这样问题就简化多了。当计算出样本的互相关函数、和，脉冲响应函数的初估计就容易得到了。（15）式给我们一个信息，除了相差一个常数因子外，脉冲响应函数和互相关函数有相同的模式，这就是说可以用互相关函数来识别传递函数的阶数。【例3】继续利用【例2】的数据计算预白化后的序列和的互相关函数。通过识别差分后的序列可知，服从一阶移动平均模型，其模型为，故通过滤波器预白化的序列为得到两个预白化序列后，计算两个序列的标准差，有和。两个预白化序列的互相关函数如图7所示。CrosscorrelationsLagCovarianceCorrelation-198765432101234567891-12-0.015148-.02784|.*|.|-11-0.038093-.07000|.*|.|-10-0.028313-.05203|.*|.|-9-0.026054-.04788|.*|.|-80.0269270.04948|.|*.|-7-0.0013061-.00240|.|.|-6-0.034684-.06374|.*|.|-50.0130160.02392|.|.|-40.00125830.00231|.|.|-30.0220450.04051|.|*.|-20.00541250.00995|.|.|-10.0514780.09460|.|**.|00.0342320.06291|.|*.|10.0430600.07913|.|**.|20.0100620.01849|.|.|30.3674420.67523|.|**************|40.2461120.45227|.|*********|

50.1854470.34079|.|*******|60.1401600.25757|.|*****|70.1458610.26804|.|*****|80.1078030.19811|.|****|90.0942350.17317|.|***|100.0531150.09761|.|**.|110.0788220.14485|.|***|120.0380380.06990|.|*.|"."markstwostandarderrors图7预白化变量序列和的互相关函数图预白化变量序列和的互相关函数第一个显著不为零的为，即滞后期是3时，＝0.6752。表4互协方差函数、互相关函数和脉冲响应函数的计算表滞后期（k）互相关函数脉冲响应函数-7-.00240-0.0167-6-.06374-0.4446-50.023920.1668-40.002310.0161-30.040510.2825-20.009950.0694-10.094600.659800.062910.438810.079130.551920.018490.129030.675234.709440.452273.154450.340792.376960.257571.796470.268041.869580.198111.381790.173171.2078100.097610.6808110.144851.0103120.069900.4875图8脉冲响应函数数据图将图8和图7相比较，可以看出脉冲响应函数和互相关函数几乎具有相同的模式。那么我们完全可以依据互相关函数来判定传递函数分子和分母多项式的阶数和以及延迟参数。二、传递函数模型的识别传递函数模型的识别包含两个方面的内容，其一是要是判定传递函数分子和分母多项式的阶数和s以及延迟参数，其二是噪声部分的识别。1.判定s、r和ｂ先根据脉冲相应函数与互相关函数的关系估计出，根据的特征确定s、r、ｂ。由（3）式中的第一式可知脉冲相应函数的前面个，即；根据（3）式第三式可知，当时，脉冲响应函数是阶差分方程的解。所以如果时脉冲响应函数表现出阶差分方程的模式，则就等于差分方程的阶数，如果脉冲响应函数不呈现任何模式，则；如表现出阶差分方程的模式，那么这种模式从才开始，则。比如有一个系统其，表现出的差分方程的模式从第5期开始，即，则。当脉冲响应函数不呈现任何模式，即有，那么2.传递函数部分参数的矩估计当、和s被识别之后，对和进行预白化处理后，得（18）式，将、和代入（18）式，得脉冲响应函数的估计（19）将代入（3）式，可得脉冲响应函数与传递函数的参数（）和（）的关系式如（20）。（20）根据（20）式解出传递函数部分参数的初估计（）和（）。至于初步估计的结果是否适宜，可以通过检验来得到。3．噪声部分的识别与估计在前面两步识别与估计完成以后，系统噪声部分的识别和参数的估计就不困难了。通过估计模型的传递函数，有残差为把残差序列看成随机干扰项的一段样本，然后识别残差序列是否具有ARMA模型模式，其ARMA模型的阶和等于多少。根据以上的识别结果，已经对整个传递函数模型的结构有了比较完整的了解，进而可以对模型进行整体估计了。【例3】继续【例2】，判定传递函数的阶数。从图6可以看出，预白化变量序列和的互相关函数第一个显著不为零的为＝0.6704，则可知参数为。从开始，脉冲响应函数快速衰减到零，则，。初步拟定的模型阶数（，，）为（1，0，3）或者（2，0，3），则初步传递函数的模型为三、传递函数模型的估计与检验（一）模型的估计根据前面一节的识别过程，通过对系统脉冲响应函数的矩估计，已经对系统的传递函数部分的阶数和随机干扰项的阶数和进行了初步识别，用，，和分别表示，，和的系数向量，它们待估计的参数，根据传递函数的模型可以改写模型为（21）在给定样本序列的条件下，求得样本的残差序列，且是未知参数的函数，即，使达到极小的，，和就是参数的最小二乘估计，而白噪声的方差的估计量。利用最小二乘法可以得到传递函数模型参数的有效估计量，由于方法较繁，这里仅仅列出其思路，具体的求解从略。【例4】续【例3】对模型进行估计本章的计算均有SAS9.13完成。。本章的计算均有SAS9.13完成。（1）首先对模型的传递函数部分进行估计，得参数估计相应的统计量为表5传递函数部分参数统计量参数名估计值估计量的标准差统计量值4.6870.0780860.03<.00010.7260.00702103.41<.0001从检验的p值可以知道和在统计上是显著不为零的，即传递函数部分的模型显著。但是传递函数部分模型的自相关严重，传递函数部分的残差的自相关图(图9)可以看出。（2）接着我们识别传递函数部分模型的残差序列遵从的模型，从残差序列的自相关图可以知道，其自相关函数二阶结尾，如图9，则初步识别是二阶移动平均模型。LagCovarianceCorrelation-198765432101234567891StdError00.0702961.00000||********************|01-0.022106-.31447|******|.|0.08304520.00524890.07467|.|*.|0.09088830.000619910.00882|.|.|0.0913104-0.0026725-.03802|.*|.|0.09131550.0112070.15943|.|***.|0.09142560.00202250.02877|.|*.|0.0933227-0.0052602-.07483|.*|.|0.09338380.00582430.08285|.|**.|0.0937969-0.0072552-.10321|.**|.|0.094299100.00945060.13444|.|***.|0.09507511-0.0002752-.00392|.|.|0.09637712-0.0002359-.00336|.|.|0.096379图9传递函数部分的残差的自相关图（3）根据（2）的结果，得传递函数的模型得初步形状，估计整个模型，得或根据估计量的检验可知，参数不显著。重新建立的模型。得模型表6传递函数模型参数统计量参数估计量标准差t值p值0.29560.08033.680.00034.71790.071166.36<.00010.72480.0055131.87<.0001从模型的检验的p值可以知道、和在统计上是显著不为零的，即传递函数模型非常显著。输入变量通过对输出变量产生影响，随机干扰项通过叠加到系统上。（二）模型的检验在系统被识别与参数估计被获得之后，还需要对模型拟合优劣进行讨论，这就需要检验。通常传递函数的模型要检验的内容有两个，其一是整个传递函数模型的是否欠拟合；其二是残差序列与派生出的预白化序列是否互相关。1.残差序列自相关检验整个传递函数模型的是否欠拟合，包括传递函数部分和随机干扰部分是否欠拟合。如果欠拟合，则残差序列表现出自相关，如果模型是适应的，则无序列相关，所以需要检验残差的自相关问题。可以证明，如果模型是适应的，则残差序列可以看成白噪声序列的一个样本，当样本容量足够大的条件下，残差的自相关函数相互独立的服从均值为零，方差为的正态分布，是可用于计算的观测值的个数，为有效的样本个数，，检验的统计量（22）和是干扰模式的参数个数，K一般取得足够大。给定显著性水平，如果检验的P值，其中为由样本计算出的统计量值，则接受无序列相关的假设，模型是适合的；否则时，模型有序列相关，需要修正改进。2.残差序列互相关检验因为传递函数模型为并且可以改写为（23）从计量经济得经典假定看，输入序列和随机干扰项。在这里就转化成的派生序列应该与随机干扰项相互无关，所以检验它们是否存在互相关是必要的。可以证明如果传递函数适当的话，则残差将是一个与序列无关的白噪声的一段样本，则将独立渐近于均值为0，方差为的正态分布，由于是的派生序列，由来生成检验的统计量。（24）是传递函数部分的参数个数。给定显著性水平，如P值，其中为由样本计算出的统计量的值，则接受无序列相关的假设，模型时适合的；否则时，模型有输入变量与残差序列互相关，需要修正改进。当估计出适应的传递函数模型之后，自然会想到利用它来预测。通常在利用了某个相关输入序列的信息之后，对于输出序列的预测会比单变量时间序列的预测效果好。传递函数模型将与的变化规律用传递函数联系起来了，为了利用已知的与的信息得到的最优的预测，在实际的应用中，要先对拟合恰当的模型来外推预测的预测值，再根据的预测值，利用传递函数模型对系统的输出变量y进行预测。【例5】续【例4】，对模型进行残差自相关和输入变量与残差序列的互相关检验。表7模型进行残差自相关表滞后期k自相关函数1－6-0.0040.0920.0420.0280.1870.0757－12-0.0350.060-0.0450.1280.031-0.01513－18-0.0590.028-0.0200.064-0.0980.06718－240.070-0.0120.022-0.081-0.0770.082因为＝3，模型做了一阶差分，所以有效的样本容量为149，则。分别取，，和。下面我们分别计算、、和时的统计量，为了节约篇幅，仅计算的情形，其它情况类似。根据（22）式有统计量值为且服从自由度为（6-0-1）的分布。，，和的计算结果入下表，从结果可以看出，该模型的残差不存在自相关。表8模型进行残差自相关检验表K自由度统计量P值657.885420.1662121111.752160.3908181715.559340.5634242319.87720.6585表9输入变量与残差的互相关函数滞后期k输入变量与残差的互相关函数0－50.0040.106-0.1280.053-0.0530.1976－100.0140.0050.0430.0650.0200.09413－180.018-0.019-0.016-0.0300.0830.04518－24-0.1280.1030.0300.064-0.0450.112下面我们分别计算，，和时的统计量，仅计算从到5的情形，其它情况类似。根据（24）式有统计量值如表10。表10输入变量与残差的互相关检验K自由度统计量P值5410.786820.029067111013.221330.211559171614.982720.525905232222.864540.409412从计算的结果可以看出，不能拒绝残差与输入变量间无互相关的假设，故认为残差与输入变量的互相关系数显著为零。第三节干预模型一、干预模型介绍突发事件，如疫情、严重自然灾害和政府干预等通常会不可避免地会对与其密切相关的各经济部门造成不同程度的影响。为估算这种影响，实际工作部门通常是通过计算年距增长（降低）量和年距增长（降低）速度等指标进行分析，虽然该方法简便、直观、易于理解，也能够在一定程度上克服季节波动的影响，但由于其不考虑经济序列自身的长期发展趋势，测算结果可能会存在一定偏差。本节尝试利用干预变量模型来测算突发事件对经济的影响程度和作用时滞。时间序列所常受的诸如节假日、罢工、促销和其他政策变化之类的外部事件的影响，我们称这类外部事件为干预。在这一节将引入称为干预分析的技术，用以评估外部事件的影响对变量的影响。干预分析（InterventionAnlysis）的研究始于70年代初美国威斯康星大学统计系刁锦寰教授对美国西海岸洛杉矶的大气污染的环境问题的研究。1975年Box和刁锦寰教授在美国统计协会会刊上发表了《应用到经济和环境问题的干预分析》一文，此后引起众多统计学家的重视，而且被广泛用于描述经济政策的变化或突发事件（战争爆发、罢工、广告促销、环境法规等）给经济带来的影响的定量分析。本节讨论干预发生时间已知的情形，通常干预变量分析也用来分析的时间序列是否有异常值发生。二、干预变量的类型和组合（一）干预变量有两种常见的干预变量，一种表示T时刻事件发生，以后一直有影响，这种干预可用阶跃函数表示：另一种干预变量表示在时刻T事件发生，仅对该时刻有影响，这种干预变量用脉冲函数表示如下：和是干预变量模型中干预变量的基本元素。在干预发生之后，经济现象并非马上做出反映，或者有一定的滞后期，或者当干预发生后经济想象做出的反映可能是缓慢上升或缓慢下降，可能开始时缓慢上升而后又缓慢下降回到没有发生干预的水平，由此我们总是可以将和进行某种处理，使之更适合我们要讨论的问题。（二）干预模型中常见的干预变量的形状1.突然发生持续时间长久的干预影响的函数形式为。这种干预变量的影响表现为干预在T时刻发生，但是系统的反应滞后b期，在第T+b期产生影响，干预变量的影响效应为。如图10所示。T+bT+b图10函数的图形2．缓慢发生持续时间长久的干预影响函数为，此种干预影响在T时刻发生，滞后期为b期，即在T+b期系统有所相应，但是由于函数有因子，所以反映是缓慢的。3．突然发生持续时间短暂的干预影响函数表现为在T时刻发生的干预，在T+b时刻才做出反映，且仅仅在T+b时刻才做出反映，影响的效率为。4．缓慢发生持续时间短暂的干预影响函数表现为T时刻发生的干预，在T+b时刻，但是影响的效率比较缓慢，且很快恢复到以前的情形。在较复杂的情况时，还可以将上面的四种情况组合起来。模仿传递函数的模型，一个干预模型有如下形式：其中为干预变量或，是在整个时间序列中时刻发生了干预。限于篇幅，本节讨论干预发生在何时是已知的情形。三、美国CREST牌牙膏的市场占有率实例分析我们以美国CREST牌牙膏的市场占有率为例说明这种技术的应用。估计市场的占有率是市场营销中常遇到的问题。本例的数据是CREST牌牙膏的1958—1963的周市场占有率。在数据的第138期，整个序列发生了很大的变化，如图所示。究其原因，主要是美国牙医学会在1960年8月1日公报宣布CREST牌牙膏“对各种牙病任何阶段都有重要的辅助治疗作用”。图5.10销售量趋势图从图中的趋势线可以看出虽然在T=138期时有一个跳跃，但是T=138期前后的时间序列除了平均值不同之外，其波动的规律几乎是一致的。所以我们首先识别从138到276期的数据所遵从的模型ARIMA(0,1,1)的模型，识别的过程这里不再赘述。然后，假定1960年8月1日又根据牙膏这种产品的特点，假定即期和滞后一期均有效果，则干预形式为，则有模型+，然后对其进行估计。利用SAS的ARIMA过程，用无条件最小二乘方法，有估计量如表5.11。表5.11模型参数统计量参数名估计值标准差统计量p值0.750060.0417717.96<.00010.141710.030634.63<.00010.141230.030734.60<.0001从假设检验的结果三个参数均不能拒绝为零的原假设，该干预模型是显著的。干预变量引入是合理的。+从模型可以看出牙医学会的干预对于牙膏的销售量通过施加到销售量上，且随机冲击对销售量的影响通过叠加上去。第四节实例分析为了研究收入和消费之间的关系，我们收集了某地区1975-2004年消费总额和货币收入总额的相关数据如下表12。表12某地区消费总额和货币收入的年度资料（单位：亿元）年份货币收入总额消费总额年份货币收入总额消费总额1975103.16991.1581990215.539204.751976115.07109.11991220.391218.6661977132.21119.1871992235.483227.4251978156.574143.9081993280.975229.861979166.091155.1921994292.339244.231980155.099148.6731995278.116258.3631981138.175151.2881996292.654275.2481982146.936148.11997341.442299.2771983157.7156.7771998401.141345.471984179.797138.4751999458.567406.1191985195.779174.7372000500.915462.2231986194.878182.8022001450.939492.6621987189.179180.132002626.709539.0461988199.963190.4442003783.953617.5681989205.717196.92004890.637727.397分别进行简单线性回归和传递函数模型，进而比较其拟合效果。一、一元线性回归模型的拟合图11货币收入与消费总额的散点图从货币收入和消费总额的散点图，我们可以看到二者呈现出比较前的线性相关关系。所以首先建立一元回归方程。模型估计统计量如表5.12。表12一元回归方程估计统计量VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C25.894148.2191243.1504740.0039X0.8107330.02362734.313370.0000R-squared0.976771Meandependentvar261.1725AdjustedR-squared0.975942S.D.dependentvar160.0359S.E.ofregression24.82272Akaikeinfocriterion9.325736Sumsquaredresid17252.69Schwarzcriterion9.419150Loglikelihood-137.8860F-statistic1177.407Durbin-Watsonstat1.309021Prob(F-statistic)0.000000模型为，说明随着收入的增加，消费总额也会增加。收入每增加一亿元，消费总额可望增加0.811亿元。模型虽然拟合优度较好，但是从消费行为看，既往的收入和消费均会影响当前的消费。所以可以建立传递函数的模型。讨论滞后变量对消费的影响。D(X),D(Y(-i))D(X),D(Y(+i))ilaglead.|*******|.|*******|00.68540.6854.|***.|.|*******|10.33620.7276.|***.|.|****|20.27150.4246.|****|.|.|30.3571-0.0116.|****|.|**.|40.38520.1633.|***.|.|**.|50.26810.1879.|*.|.|**.|60.11750.1966.|.|.|*.|70.04380.0980.|*.|.*|.|80.0512-0.0575.*|.|.*|.|9-0.0743-0.1037.*|.|.|.|10-0.1133-0.0064.*|.|.|.|11-0.06790.0072.*|.|.*|.|12-0.0570-0.0892图12差分后的收入与消费之间的互相关函数由于我们是利用差分后的变量计算的互相关函数，从互相关函数的表现可以看出，收入和消费增长的即期相关是显著的，其相关系数为0.6854，收入增长与消费增长具有一期的滞后效应显著，相关系数为0.7276。收入增长与消费增长两期的滞后效应显著性不高，相关系数为0.3362。我们拟建立传递函数模型。二、传递函数模型1.预白化处理及定阶通过识别序列，建立AR(1)模型预白化序列。滤波器为两个预白化序列的互相关函数图为CrosscorrelationsLagCovarianceCorrelation-198765432101234567891-129.4683600.01130|.|.|-1119.6620370.02347|.|.|-10-92.653819-.11059|.**|.|-9-81.068539-.09676|.**|.|-8122.5600.14628|.|***.|-7-14.932398-.01782|.|.|-62.5735830.00307|.|.|-595.4629490.11394|.|**.|-4167.9150.20042|.|****.|-3148.8860.17771|.|****.|-27.4182310.00885|.|.|-1-66.650023-.07955|.**|.|0279.6940.33383|.|*******|1407.1160.48592|.|**********|2257.9600.30789|.|******.|3-103.978-.12410|.**|.|4-5.742922-.00685|.|.|546.6664480.05570|.|*.|6144.8020.17283|.|***.|7103.3300.12333|.|**.|8-35.728254-.04264|.*|.|9-103.370-.12338|.**|.|1010.1885860.01216|.|.|1138.9491250.04649|.|*.|12-24.064270-.02872|.*|.|图13预白化序列的互相关函数图从互相关函数的表现可以看出第一个不为零的互相关函数为，所以有收入增长对消费增长所有即期效应。从互相关函数的特征可以看出其基本没有表现出ARMA模型自相关函数的收敛特征，则可以认为，并初步设定。即传递函数模型的初步模型为。估计统计量如表13所示。2.传递函数部分估计表13传递函数部分的估计量参数估计值标准差t值p值00.272130.05017.42<.00011-0.291480.05764-5.06<.00012-0.269700.06131-4.400.0002传递函数部分的模型为从模型可以看出，收入对消费的影响当期、滞后一期和滞后两期对消费的影响显著。影响的效应分别是0.27213、0.07932和0.07339。进一步识别传递函数部分的残差，观测随机冲击的特点。AutocorrelationPlotofResidualsLagCovarianceCorrelation-198765432101234567891StdError0145.6931.00000||********************|01-2.249853-.01544|.|.|0.192450214.8763670.10211|.|**.|0.19249638.5769650.05887|.|*.|0.19449249.4110380.06459|.|*.|0.1951505-18.093076-.12419|.**|.|0.1959416-17.956893-.12325|.**|.|0.1988357-1.524940-.01047|.|.|0.2016448-23.011302-.15794|.***|.|0.201664915.1394750.10391|.|**.|0.2061951023.8465640.16368|.|***.|0.2081261116.4809170.11312|.|**.|0.21284012-12.148465-.08338|.**|.|0.215055图14传递函数部分残差的自相关图从传递函数部分模型的残差看，残差表现为白噪声，故随机冲击部分本生是白噪声模型。故系统的整体模型为或直接利用该模型进行预测，有表14。可以看出模型的预测结果较佳的。图15可以进一步说明。表14预测值与实际值比较表年份实际值预测值95置信下限95置信上限1990204.75204.158180.501227.821991218.666210.485186.828234.141992227.425226.836203.179250.491993229.86245.512221.855269.171994244.23250.283226.626273.941995258.363255.941232.284279.61996275.248261.238237.581284.91997299.277288.926265.269312.581998345.47333.665310.007357.321999406.119391.657367.999415.312000462.223450.483426.825474.142001492.662476.455452.797500.112002539.046537.348513.69561.012003617.568619.592595.934