倒立摆控制设计

#3l3l1）由于我们采用的系统模型是线性化的结果，为使系统个状态量能够在线性范围工作，要求各状态量不应过大。（2）闭环系统最好能有一对共轭复数极点，这样有利于克服系统的非线性摩擦，但系统主导极点的模不应太大以免系统频带过宽，使得系统对噪声过于敏感，以致系统不能正常工作。（3）加权矩阵R的减小，会导致大的控制能量，应注意控制U的大小，不要超过系统执行机构的能力，使得放大器处于饱和状态。控制系统如下图所示，图中R是施加在小车上的阶跃输入，四个状态量x、X、©和$分别代表小车位移、小车速度、摆杆位置和摆杆角速度，输出y=L,©I包括小车位置和摆杆角度。我们要设计一个控制器，使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车到达新的命令位置。4.2最优控制MATLAB仿真最优控制仿真程序为文件lqrl.m，文件如下：%——————lqr1.m——————%最优控制%确定开环极点的程序如下M=0.5;m=0.2;b=0.l;I=0.006;g=9.8;l=0.3;p=I*(M+m)+M*m*22;A=[0l00;0-(I+m*lA2)*b/p(mA2*g*lA2)/p0;0001;0-(m*l*b)/pm*g*l*(M+m)/p0];B=[0;(I+m*22)/p;0;m*l/p];C=[1000;0010];D=[0;0];p=eig(A)%求向量Kx=1;y=1;Q=[x000;0000;00y00000];R=1;K=lqr(A,B,Q,R)%计算LQR控制的阶跃响应并画出曲线Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];T=0:0.005:5;U=0.2*ones(size(T));%求阶跃响应并显示，小车位置为虚线，摆杆角度为实线[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T);plot(T,Y(:,1),':',T,Y(:,2),'-')legend('CartPosition','PendulumAngle')grid%——————end——————运行程序lqrl.m,得到>>lqr105.5651-0.1428-5.6041K=-1.0000-1.656718.68543.4594>>第一步：确定系统的开环极点为0、5.5651、-0.1428、-5.6041，可以看出有一个极点位于S平面的右半部，这说明开环系统不稳定。第二步：在取Q=1，Q33=1，Q=Q=0，R二1的条件下，得到反馈控制向量11332244K二[-1.0000-1.656718.68543.4594]其中，实线代表摆杆的角度，虚线代表小车位置。从图中可以看出，响应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，小车的位置没有跟踪输入，而是向相反方向移动，这个问题留给同学们讨

论，在这里我们来缩短稳定时间和上升时间。可以发现，Q矩阵中，增加Q使稳定时间和上升时间变短，并且使摆杆的角度变化减小。这11里取Q11=5000，Q=100，贝y1133K=[-70.7107-37.8345105.529820.9238]，响应曲线如下：x10-3如果再增大Q11和Q33，系统的响应还会改善。但在保证Q11和Q33足够小的情况下，系统响应已经满足要求了。现在，要消除稳态误差。在前面的设计方法中，是把输出信号反馈回来乘以一个系数矩阵K，然后与输入量相减得到控制信号。这就使得输入与反馈的量纲不一致，因此，为了使输入与反馈的量纲互相匹配，给输入乘以增益Nbar，如图所示：具有量纲匹配的最优控制matlab仿真文件为lqr2.m,如下:%——————lqr2.m——%最优控制（量纲匹配）%确定开环极点的程序如下M=0.5;m=0.2;b=0.1;I=0.006;g=9.8;l=0.3;p=I*(M+m)+M*m*22;A=[0100;0-(I+m*lA2)*b/p(mA2*g*lA2)/p0;0001;0-(m*l*b)/pm*g*l*(M+m)/p0];B=[0;(I+m*lA2)/p;0;m*l/p];C=[1000;0010];D=[0;0];p=eig(A);%求向量Kx=5000;y=100;Q=[x000;0000;00y00000];R=1;K=lqr(A,B,Q,R)%计算LQR控制矩阵Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];%计算增益NbarCn=[1000];Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);Bcn=[Nbar*B];%求阶跃响应并显示，小车位置为虚线，摆杆角度为实线T=0:0.005:5;U=0.2*ones(size(T));[Y,X]=Lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);plot(T,Y(:,1),':',T,Y(:,2),'-')legend('CartPosition','PendulumAngle')grid%——————end——————文件中用到求取输入输出匹配系数函数rscale，它不是Matlab工具，因此必须把它拷贝到rscale.m文件中，并把该文件和源文件一起拷贝到MATLAB工作区。rscale.m文件如下：%————rscale.m————%求取输入输出匹配系数function[Nbar]=rscale(A，B，C，D，K)s=size(A，1);Z=[zeros([1，s])1];N=inv([A，B;C，D])*Z';Nx=N(1:s);Nu=N(1+s);Nbar=Nu+K*Nx;end用函数『scale来计算Nbar，运行程序，得到：>>lqr2K=-70.7107-37.8345105.529820.9238>>即Nbar-rscale(A,B,Cn,0,K)=-70.7107,可以看出，实际上Nbar和K向量中与小车位置x对应的那一项相等。此时系统的响应曲线如下，小车位置跟踪输入信号，并且，摆杆超调足够小，稳态误差满足要求，上升时间和稳定时间也符合设计指标。4.3最优控制实验1．实际系统最优控制仿真实际系统参数如下：M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m摆杆惯量0.0034kg*m*mF加在小车上的力x小车位置摆杆与垂直方向的夹角0.005秒0.005秒注意：在进行实际系统的Matlab仿真时，请将采样频率改为实际系统的采样频率。按照上面给出的例子，求出实际系统达到性能指标，LQR控制器的参数。2．实验步骤（1）小车推到导轨正中间位置，并且使摆杆处于自由下垂的静止状态。（2）给计算机和电控箱通电。（3）打开计算机，在DOS操作系统下，键入“Pend”启动程序，并按“s”使系统处于准备状态。（4）在“控制器”菜单中选择“LQR”，并根据计算结果，输入控制器参数k1~k°，确定后观察系统的运行状态。（5）如果控制效果不理想，适当调整参数，直到获得较好的控制效果。（6）在“扰动”菜单中选择摆杆响应和小车响应，并分别输入保存响应曲线的文件的路径和名称。（7）在“扰动”菜单中选择输入信号波形，输入波形代码、周期和幅值，确认后观察系统对扰动信号的响应。0——无波形；1——脉冲信号；2——阶跃信号；3——方波信号；4——正弦波信号；5——锯齿波信号。（8）在“扰动”菜单中选择摆杆响应和小车响应，可以分别看摆杆和小车的响应曲线，或者到Matlab中运行如下指令，可以画出刚才保存的实际系统响应曲线：S=load（„路径\文件名'）；plot（S）3．设计报告要求（1）给出Matlab程序的执行结果和仿真图形。（2）给出实际控制曲线和控制器参数，给出响应的指标。（3）画出系统对各种扰动的响应曲线（包括摆杆响应和小车响应）。附录1.实验步骤1．对照系统组成框图和倒立摆系统实验设备，熟悉系统构成。2．将小车推到导轨正中间位置，并且使摆杆处于自由下垂的静止状态。3．打开计算机和电控箱电源。4.在Windows98下，进入“一阶倒立摆”文件夹，进入'T1VL-SFT-BCH-1.0”文件夹，双击"PEND”，启动程序，出现以下操作界面。5.键入“S”或“s”启动，出现一个提示对话框，如下图所示:请您确认小车停在中间摆杆静止下垂确认如果没有问题，按'TAB”键选中“确认”按钮，按回车使系统处于准备状态；否则直接按回车或“ESC”键取消操作；键入“f”开始起摆；按“C”或“c”键在实时动画和显示模式之间切换；实时曲线用四条不同颜色的线绘制角度，角速度，位移，速度的离散值，按F1-F8放大或缩小相应曲线到合适的数值；其中每个变量的单位又可以放大和缩小，分别定义如下：F1（F5）——放大（缩小）摆杆角度F2（F6）——放大（缩小）摆杆角速度F3（F7）——放大（缩小）小车位移F4（F8）——放大（缩小）小车速度每次按键放大或缩小2倍坐标单位。9．控制算法选择键入ALT+F弹出菜单，用上下光标键选择不同的算法，然后按回车键，弹出以下对话框。控制器00I传递函数I输入Matlab仿真得出的数据，按回车保存参数并按新的算法进行控制，同时保存5秒钟的响应曲线。按ESC或用TAB健将焦点移到取消按钮上，再按回车，将取消刚才所作的改动。KxKxJKaKaJ-70.71-40.59124.1718.39取消注意：在系统中，倒立摆平衡的默认控制算法为LQR。当系统采用LQR算法进入平衡状态后，可采用上面的方法将平衡控制算法切换到PID或传递函数法，由此可以观察不同的控制算法对倒立摆平衡的控制效果。由于PID和传递函数法都无法控制小车的位置，因此，在切换后都有可能引起小车随机向一个方向移动。此时你可以用手沿小车运动的反方向碰一下小车，让小车停下来。10．设置信号发生器键入ALT+U,弹出菜单。选择输入信号栏，按回车键，弹出以下对话框波形Q!频率心00|幅值；0.00|IWH取消输入波形代码，频率，幅值，按确认，保存并退出，按取消，不保存，退出波形代码，波形代码如下：0——无信号；5——脉冲；6——阶跃；7——方波；8——正弦；9——锯齿。11．设置观察和输出的响应曲线选项CU输入信号摆杆响应输入信号后，程序会记录五秒钟的响应曲线，选择小车响应或摆杆响应，出现以下对话框：输入文件名，例如pend,按确认，保存该文件到当前目录下，比如是c:\pend。到Matlab中运行如下指令：S=load('c:\pend\pend')plot(S)Matlab会将保存的曲线重新绘