圆的综合复习

----精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：范诗源辅导科目：数学学科教师：季益鸣授课类型T(同步知识主题)T（学法与能力主C（专题方法主题）题）授课日期及2013.12.15时段教学内容一、同步知识梳理知识点1：圆的有关概念1）圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。等圆或同圆的半径都相等。2）弦：圆上任意两点之间的线段。直径是圆中最长的弦。3）弧：圆上任意两点之间的部分。完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等）4）三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。5）经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。6）【常作辅助线 1】连接圆心和圆上的点，形成半径。-------知识点2：圆的有关性质1）圆是中心对称图形，也是轴对称图形。弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧。圆周角的性质：①同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半；②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。【常作辅助线2】过圆心向弦作垂线，形成垂径定理的条件，构造直角三角形应用勾股定理进行计算。【常作辅助线 3】利用直径，构造直角。知识点3：与圆有关的位置关系（1）点与圆的位置关系：圆的半径为 r,点到圆心的距离为 d①点在圆内 d r②点在圆上内 d r③点在圆外 d r（2）直线与圆的位置关系圆的半径为 r,直线到圆的距离为 d①直线与圆相交点在圆内 d r②直线与圆相切点在圆内 d r③直线与圆相离点在圆内 d r（1）圆与圆的位置关系①两圆外离 d R r②两圆外切 d R r③两圆相-------交 R r d R r④两圆内切 d R r⑤两圆内含 0 d R r2）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。3）切线的判定：经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线。4）切线长定义：从圆外一点作圆的切线，该点到切点的距离叫切线长。（补充）5）切线长定理：从圆外一点作出圆的两条切线，它们的切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角。（补充）6）三角形的内心：是三个角的平分线的交点，它到三边的距离相等。【常作辅助线4】连接圆心和切点得垂直。【常作辅助线5】当直径垂直于圆内一条不是弦的线段时，延长该线段与圆相交，形成直径垂直于弦。【常作辅助线6】遇三角形的内心时，连接内心和三角形的顶点，形成角平分线。知识点4圆中的计算1）弧长公式：2）扇形面积：

lnR180SnR2或S1lR3602（3）圆锥的侧面积： S侧 rl（ｒ指底面圆的半径， l指母线长）-------题型1：圆的有关概念1．（2006·玉林市、防城港市）如图1，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩⌒⌒形，顶点P在MN错误!未指定书签。上，且不与M，N重合，当P点在MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度（）Ａ．变大Ｂ．变小Ｃ．不变Ｄ．不能确定ＰＮＢDC

A BEABOＭＡＯODC图1图2图32．（2010 江苏扬州）如图 2，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝__________．3．如图AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD的延长线交于点 E，且AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数。-------题型2：圆的有关性质4.（2008白银）高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（）A．5B．7C．37D．3757C CＯO A O BADBＡＢD图8图4图7图5图65.（2007 连云港）如图 5，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕 AB的长为（ ）A．2cm B． 3cm C．23cm D．25cm已知⊙O的半径为R，弦AB的长也是R，则∠AOB的度数是________．7.（2008黄石）如图6，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，BAC50o，则ADC．8.（2010湖北黄石）如图7，⊙O中，OA⊥BC,∠AOB＝60°,则∠ADC＝.9.（2010⌒黄冈）如图8，⊙O中，MAN的度数为320°，则圆周角∠MAN___________10. 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，以AE为直径画圆，经过点 B、-------C，求证：∠BAE=∠CADMH图1011．(2009 年温州)如图10，已知正方形纸片 ABCD 的边长为 8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使 EA′恰好与⊙0相切于点 A′(△EFA′与⊙0除切点外无重叠部分 )，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是题型3：与圆有关的位置关系12．（2006·邵阳市）已知⊙ O的半径为 3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.相交、相切、相离都有可能13．（2010山东淄博）如图11，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，下列四个条件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝3R．其中,使得BC＝R的有（）A．①②B.①③④C.②③④D.①②③④CDFBDPEACOBBAOACD图13图11图12-------14．（2009仙桃）如图12，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；若⊙O的半径为2，BD＝3，求BC的长．15．如图13，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D.AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么？16．已知如图 14，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，CE⊥AD，点E为垂足，CE的延长线交AB于点F。求证：AC2ABAFAOFEB CD图14A17．如图15，△ABC中，I为内心，AI交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，连结BE，试说明：BE=EC=IE。I---BDCE图15----18．（2010 湖南长沙）已知⊙ O1、⊙O2的半径分别是 r1 2、r2 4，若两圆相交，则圆心距 O1O2可能取的值是（ ）．A、2 B、4 C、6 D、8题型4：圆中的计算19．（2006·宿迁市）如图16，在纸上剪下一个圆形图16和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°，则r与R之间的关系是（）A．R＝2rB．R＝3rC．R＝3rD．R＝4r20．一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为______．(结果保留)21.（2010浙江宁波）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，DC为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE=23，∠DPA=45°.ACOPB求⊙O的半径；F(2)求图中阴影部分的面积 .

E图17-------三、课堂达标检测一、精心选一选 (本大题共 10小题，每小题 3分，共计30分)1、下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2、同一平面内两圆的半径是 R和r，圆心距是 d，若以R、r、d为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是（ ）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含3、如图1，四边形ABCD 内接于⊙O，若它的一个外角∠ DCE=70°，则∠BOD=( )A．35° B.70° C．110° D.140°4、如图2，⊙O的直径为 10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围（ ）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5-------D．4＜OM＜55、如图3，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点 E，若DE=OB, ∠AOC=84°,则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°A·OBCABDME图4图1 图2 图36、如图4，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD=2cm ，AB=4cm ，AC=3cm，则⊙O的直径是（ ）A、2cmB、4cmC、6cmD、8cm7、如图5，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA＝3，OC＝1，分别连结AC、BD，则图中阴影部分的面积为（）A.1B.C.2D.42图58、已知⊙O1与⊙O2外切于点 A，⊙O1的半径R＝2，⊙O2的半径r＝1，若半径为 4的⊙C与⊙O1、⊙O2都相切，则满足条件的⊙ C有（ ）-------A、2个 B、4个 C、5个 D、6个9、设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP＝m，且m使得关于 x的方程2x2 2 2x m 1 0有实数根，则直线 l与⊙O的位置关系为（ ）A、相离或相切 B、相切或相交 C、相离或相交 D、无法确定10、如图6,把直角△ABC的斜边AC放在定直线 l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=3，BC=1，则顶点A1A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为()B、（4BC2A、（25+3）π+3）π1223A2B1lCA2C、2πD、图63π二、细心填一填(本大题共6小题，每小4分，共计24分)．11、（2006山西）某圆柱形网球筒，其底面直径是100cm，长为80cm，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需________________cm2的包装膜（不计接缝，π取3）．12、（2006山西）如图7，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经-------助攻冲到 B点。有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门。仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.13、如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为.14、如图8，已知：在⊙O中弦AB、CD交于点M、AC、DB的延长线交于点N，则图中相似三角形有________对．15、（2006年北京）如图9，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为.16、（原创）如图10,两条互相垂直的弦将⊙O分成四部分,相对的两部分面积之和分别记为S1、S2,若圆心到两弦的距离分别为2和3,则︱S1-S2︱=.DO M BAC N图 8 图 9图10三、认真算一算、答一答 (１７～２3题，每题８分，２４题 10 分，共计66分).---AC BC AB r L S----17、（2006年丽水）为了探究三角形图0.6的内切圆半径r与周长L、面积S之间甲的关系,在数学实验活动中,选取等边图1.0三角形(图甲)和直角三角形(图乙)进行乙研究.⊙O是△ABC 的内切圆,切点分别为点D、E、F.(1)用刻度尺分别量出表中未度量的△ ABC的长,填入空格处,并计算出周长 L和面积S.(结果精确到 0.1厘米)观察图形,利用上表实验数据分析.猜测特殊三角形的r与L、S之间关系,并证明这种关系对任意三角形 (图丙)是否也成立?图甲 图乙图丙-------18、（2006年成都）如图，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点

AGOEG，连结AD，并过点D作DE AC，垂足为E．根

B D

C据以上条件写出三个正确结论（除 AB AC，AO BO，∠ABC ∠ACB外）是：（1） ；（2） ；（3） ．19、（2004 年黄冈）如图，要在直径为 50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面。 问怎样才能截出直径最大的凳面， 最大直径是多少厘米？20、（2005 年山西）如图是一纸杯 ,它的母线 AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥,该圆锥的侧面展开图形是扇形 OAB.经测量,纸杯上开口圆的直径是6cm,下底面直径为 4cm,母线长为 EF=8cm. 求扇形OAB的圆心角及-------这个纸杯的表面积 (面积计算结果用π表示)．21、如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．-------22、（2006年黄冈）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．1）若PC=PF，求证：AB⊥ED；2）点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？

PC DFB AO HE24、（2004 年深圳南山区）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．1）求OA、OC的长；2）求证：DF为⊙O′的切线；3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线yBC上一定存在除点 E以外的点P， 使△AOP也是等腰三角形，且点 P一定在⊙O′外”．你同意他的看法

CEB吗？请充分说明．．·Ｏ′F---O D A

x----理由．[参考答案]一、选择题1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．B 10．B二、填空题11．12000 12．第二种 13．6cm 14．4 15．(2,0) 16．24(提示:如图1,由圆的对称性可知,︱S1-S2︱等于e的面积,即为2×3×4=24)三、解答题17．(1)略 (2)由图表信息猜测 ,得S=12OA、OB、OC,运用面积法证明．

Lr,并且对一般三角形都成立 .连接18．（1），（2），（3）DE是eO的切线（以及∠BAD=BDDCRt△DEC∽Rt△ADCBAD，AD⊥BC，弧BD=弧DG等）．19．设计方案如图2所示，在图3中，易证四边形OAO/C为正方形，OO/+O/B=25，所以圆形凳面-------的最大直径为 25（ 2-1）厘米图 1 图 2图320．扇形OAB的圆心角为45°,纸杯的表面积为44π.21．连接OP、CP，则∠OPC=∠OCP.由题意知△ACP是直角三角形,又Q是AC的中点,因此QP=QC,∠QPC=∠QCP.而∠OCP+∠QCP=900,所以OPC+∠QPC=900即OP⊥PQ,PQ与⊙O相切.22．（1）略（2）当点D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE·DF．23．变化一、连接OQ，证明OQ⊥QR；变化二（1）、结论成立（2）结论成立，连接OQ，证明∠B=∠OQB，则∠P=∠PQR，所以RQ=PR（3）结论仍然成立24．（1）在矩形OABC中，设OC=x则OA=x+2，依题意得x(x2)15解得：x13,x25x25（不合题意，舍去）∴OC=3，OA=52）连结O′D在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=900，CE=BE= 52∴△OCE≌△ABE ∴EA=EO ∴∠1=∠2在⊙O′中， ∵O′O=O′D ∴∠1=∠3∴∠3=∠2 ∴O′D∥AE， ∵DF⊥AE ∴DF⊥O′D又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径 ，∴DF为⊙O′切线．(3)不同意.理由如下:①当AO=AP时，以点A为圆心，以 AO为半径画弧交 BC于P1和P4两点-------过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H=OC=3 ，∵AP1=OA=5AH=4，∴OH=1求得点P1（1，3） 同理可得：P4（9，3）②当OA=OP时，同上可求得 :：P2（4，3），P3（4，3）因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P1，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形．课后作业如图，在Rt△ABC中，斜边BC12，⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线1）求证：AE⊥DE；2）计算：AC·AF的值．

30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆AE交DF的延长线于 E点．EFOB D C2．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦， AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于 点F，P为EF上的任意一点，则 PA+PC的最小值为 .-------3．如图，已知点E在△ABC的边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，且AD平分∠BAC.求证：AC⊥BC.4.(1)已知，如图l，△ABC的周长为l,面积为S，其内切圆圆心为0，半径为r，求证：r2S；l(2)已知，如图2，△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为A(一3，O)、B(3，0)、C(0，4)．若△ABC内心为D。求点D坐标；与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆，叫旁切圆，圆心叫旁心．请求出条件(2)中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标。------