云南中考数学总复习专题训练专题三圆切线的相关证明及计算

专题三 圆切线的相关证明及计算类型一角平分线模型(2019-云南省卷)如图，AB为。0的直径，C是。0上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D,AE丄DC垂足为EF是AE与。0的交点，AC平分/BAE.求证：DE是OO的切线；若AE=6,ZD=30°，求图中阴影部分的面积.【分析】(1)连接OC先证明ZOAC=Z0CA结合AC平分/BAE得到OC/AE于是得到OCLCD进而证明DE是O0的切线；(2)分别求出AOCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=Sacod—S扇形OBC即可得到答案.【自主解答】(2019-营口)如图，点E在以AB为直径的O0上，点C是BE的中点，过点C作CDLAE交AE的延长线于点D,连接BE交AC于点F.(1)求证：CD是O0的切线；4⑵若cosZCAD=,BF=15,求AC的长.5如图，半圆O的直径AB=5,ACAD为弦，且AC=3,AD平分ZBAC过D作AC延长线的垂线，垂足为E.(1)求证：DE为O0的切线；⑵求AD的长.(2019-聊城)如图，在Rt△ABC中,ZC=90°,BE平分ZABC交AC于点E,作EDLEB交AB于点D,O0是厶BED的外接圆.(1)求证：AC是O0的切线；⑵已知O0的半径为2.5,BE=4,求BCAD的长.4（2019-咸宁）如图，以厶ABC的边AC为直径的OO恰为△ABC的外接圆，/ABC的平分线交OO于点D,过点D作DE//AC交BC的延长线于点E.（1）求证：DE是OO的切线；⑵若AB=2；5,BC=5求DE的长.（2019-原创）如图，在△ABC中,CA=CB/CAB=30°,OO经过点C,且直径AD在线段AB上，连接OC0E平分/AOC交弧AC于点E,连接AEEC.（1）求证：CB是OO的切线；⑵若M在边AC上,OM=CM=2,求厶ABC的面积.（2019-成都）如图，在Rt△ABC中,ZC=90°,AD平分/BAC交BC于点D,O为AB上一点，经过点A,D的OO分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.（1）求证：BC是OO的切线；⑵设AB=x,AF=y,试用x,y的代数式表示线段AD的长；5⑶若BE=8,sinB=乜，求DG的长.类型二弦切角模型（血（2019-云南省卷）如图，已知AB是OO的直径，C是OO上的点，点D在AB的延长线上，/BCD=ZBAC.（1）求证：CD是OO的切线；⑵若/D=30°,BD=2,求图中阴影部分的面积.【自主解答】（2019-玉林）如图，在△ABC中，以AB为直径作OO交BC于点D,/DAC=(1)求证：AC是OO的切线;1⑵点E是AB上一点，若/BCE=ZB,tan/B=2，OO的半径是4,求EC的长.(2019•齐齐哈尔)如图，以△ABC的边AB为直径画OQ交AC于点D,半径OEIBD连接BEDEBD设BE交AC于点F,若/DEB=ZDBC.(1)求证：BC是OO的切线；⑵若BF=BC=2,求图中阴影部分的面积.(2019-曲靖二模)如图，在RtAABC中，/C=90°,以BC为直径的OO交AB于点D,过点D作/ADE=ZA,交AC于点E.(1)求证：DE是OO的切线；3⑵若BC=15,tanA=4,求DE的长.(2019-兰州)如图，AB为圆Q的直径，C为圆Q上的一点，D为BA延长线上的一点，/ACD=ZB.(1)求证：DC为圆Q的切线；⑵线段DF分别交ACBC于点E,F,且/CEF=45°，圆Q的半径为5,sinB3=5,求CF的长.类型三双切线模型型厶(2019•云南省卷)已知AB是OO的直径，PB是OO的切线，C是OO上的点，AC/IOPM是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.(1)求证：PC是OO的切线；3⑵设OP=2AC求/CPO勺正弦值；⑶设AO9,AB=15,求d+f的取值范围.【分析】（1）连接0C根据等腰三角形的性质得到/A=Z0CA由平行线的性质得到/A=ZBOP/ACO=ZCOP等量代换得到/COP=ZBOP由切线的性质得到ZOBP=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过O作ODLAC于D,根据相似三角形的性质得到CD-OP=OC,根据已知条件得到篇£，由三角函数的定义即可得到结论；（3）连接BC根据勾股定理得到bc=7aB_AC=12,分别讨论点M与点A重合时，与AB垂直时和与点B重合时d+f的值，从而得到结论.【自主解答】（2019-曲靖）如图，AB为。0的直径，点C为。0上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D.恰好与圆心O重合，连接OCCDBD,过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD在PB的另一侧作ZMfB=ZADC.（1）判断PM与00的位置关系，并说明理由；⑵若PO3,求四边形OCDB勺面积.（2019-江西）如图，在△ABC中,O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C,过点A作ADLBO的延长线于点D,且ZAOD=ZBAD.（1）求证：AB为00的切线；（2019•临沂）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与00相切于点D,OB与00相交于点E.（1）求证：AC是00的切线；⑵若BD=-3,BE=1,求阴影部分的面积.（2019-武汉）如图，PA是00的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接

PBPCPC交AB于点E,且PA=PB.(1)求证：PB是OO的切线；PE⑵若/APC=3/BPC求寺勺值.参考答案【专题类型突破】类型一【例1】（1）证明：如解图，连接ocvOA=OC•••/OAC=ZOCAvAC平分/BAE/OAC=ZCAE/OCA=ZCAEOC/AE/OCI^ZE,vAE1DE•ZE=90°,ZOC圧90°,OCLCD又v点C在圆O上，DE是圆O的切线；⑵解：v在Rt△AED中，ZD-30°,AE=6,•AD=2AE=12AE=6,在Rt△OCD中,vZD-30°,

•••DO=2OC=DB+OB=DB+OQ•••DB=OB=OS]aD=4,DO=8,•CD=DO—OC=；82—42=43△OCD^CD-OC43X4228,3vZD-30°/OC=90°•/DO=60°1 o8•・S扇形obc=-n'OC=-n,6 3•*S阴影=Saco—S扇形ob,阴影即阴影部分的面积为&3—勞针对训练(1)证明：如解图，连接ocv点C是BE的中点，CE=BC,•OCLBE.vAB是OO的直径，•ADLBEAD//OC.vADLCD•OCLCD•CD是OO的切线；⑵解：如解图，连接BQ在厶AEF和△BCF中，

/AEF=ZBCF=90/AFE=ZBFC•••△AEF^ABCF.AEBC…Af=Bf，tcostcos/CAD=AE_4AF=5,AE_BC_4AF=Bf=5'4BC=BF=12.5tcos/CAD=AC=§BC=16.(1)证明：TAD平分/CAB/CAD=AC=§BC=16.(1)证明：TAD平分/CAB/CAD=ZOADtOA=OD OAD=ZODA/ODA=ZCAD•AC//OD.tDELAE,•DELODDE是OO的切线；⑵解：如解图，连接BC交OD于点F.tAB是OO的直径，/ACB=90°,5 AE4T点C是BE的中点，二CE=BC/BAC=ZCAE亠 亠 BC3在Rt△ABC中,tan/BAC=tan/CAE=AC=4,

tAC=3,AB=5,•••由勾股定理可知BC=4.TOD/AE二ODLBC二CF=BF=2,tDELAEBCLAE二DE//BC•四边形CEDF是矩形，1 3DE=CF=2,又易得OF=qAC=2，5 3CE=DF=DO-OF=2-2=1,二AE=4,在Rt△ADE中，AD=AE+DE=；42+22=25(1)证明：连接OE如解图，tOB=OE•/OB=ZOEB.tBE平分/ABC/OB=ZEBC./OEB=ZEBCJ.OE/BC.又t/C=90°/OEA=90°,即卩ACLOE.又tOE是OO的半径，AC是OO的切线；⑵解：在厶BCEW^BED中，t/C=ZBED=90°,ZEBC=ZDBE△BC0ABED.BE=BC…BD=BEvBE^4,BD是OO的直径，BD=5,4BC5=4BC5=~4，16BC=_?，又vO日BCAO_OEABTBC?vAO=AD+2.5,AB=AD^5,AD+2.5_2.5AD^5_76，45解得AD=y.(1)证明：连接OD如解图.vAC是OO的直径，二/ABC90°vBD平分/ABCABD=45°.•••/AOT90vDE//AC/ODTZAOD=90°,即卩ODLDE.又v点D在OO上，DE是OO的切线；⑵解：在Rt△ABC中,AB=2'5,BCT〕5,ACT,AB+AC_5,5…OD=：.2过点C作CGLDE垂足为G,5则四边形ODG为正方形，二DG=CG=OD==vDE//AC••ZCE(_ZACB•tan/CEG=tan/ACB第9页「•DE=DG^GE=「•DE=DG^GE=15.CGAB即2.5 2y[5二GEBC即GE^T，(1)证明：vCA=CBOA=OC•••/B=ZOCA=ZOA=30°•••/OC=180°—/OAC-ZOCA-ZB=90°, ”SCO "vOC为OO的半径，CB是OO的切线；⑵解：如解图，过C点作CF丄AB交AB于点F,则AF=BF,vOM=CM=2,.ZMO=ZMC=30°,vOA=OCZCA=30°.ZAO(=120°ZAO==90°在Rt△AOM中,AM=2OM=4,AC=6,在Rt△ACF中，CF=2aC=3,AF」3CF=3:‘3,A吐2AF=6；3,SAABC=2^6''3X3=93

(1)证明：如解图，连接0D.vAD平分/BAC•••/BAD=ZCAD.vOA=OD ODA=ZOAD./ODA=ZCAD.OD/AC/ODB=ZC=90°即ODLBC.BC是OO的切线；⑵解：连接DF,如解图.•/OD=OF, OD—OFD.11/ODM2(180°-ZDOF)=90°-JDOF.1ZFDC=90°—/ODM§/DOF.1vZDA十2ZDOF•/FDC=ZDAF.ZFDC=ZODA.vZADB=90°+ZODAZAFD=90°+ZFDCZADB=ZAFD.vZBAD=ZDAF△ABD^AADF.ab_adacTaf•AD=AB・AF=xy.

⑶解：如解图，连接EF.二AD=xy;在Rt⑶解：如解图，连接EF.二AD=xy;在Rt△BOD中,sinB设OO的半径为r,r+8=13,解得r=5.经检验，r=5是所列分式方程的解.•••AE=10，AB=18.vAE是OO直径，•/AFP90vZC=90°,•EF//BC.•ZAEF=ZB.•sinZAEF=sinB513,55=5013=13.•AF=AE-sinZAEF=10XvOD/AC•△AGF^ADGO50AG=AF=13=10dgOd=~5=13,13•DG23AD.类型二【例2】(1)证明：如解图，连接0C.•/AB是OO的直径，•••/ACB=90°即/ACO-ZOCB=90°vOA=OCZACO=ZBAC.vZBCD=ZBACZACO=ZBCD.ZBC—ZOCB=90°，即ZOC圧90°OCLCD.又vOC是OO的半径，CD是OO的切线；⑵解：vZD=30°,ZOC圧90°ZBOC=60°O[>2OC.ZAOC=120°,ZA=30°.设OO的半径为x,贝yOB=OC=x.x+2=2x.解得x=2.如解图，过点O作OE!AC垂足为E,则AE=CE在Rt△OEA中,OE=^OA=1,AE=.AO—OE=；22-12=3AC=2_3

「•S阴影=S扇形OAC—S^OAC2120XnX2 13604=3n—3.= —~2X23604=3n—3.针对训练(1)证明：vAB是直径，二/AD=90°•••/B+/BAD=90°vZDA(=ZB,/DA+ZBAD=90°,ZBA(=90°,BALAC且AB是OO的直径，AC是OO的切线；⑵解:vZBCE=ZB,EC=EB,设EC=EB=x,亠 亠/AC1在Rt△ABC中,tanZB=AB=?,AB=8,AC=4,在Rt△AEC中,vEC=AE+AC,x2=(8—x)2+42,解得x=5,CE=5.(1)证明：vAB是OO的直径，•/ADB=90°,ZA+ZABD=90°,

又vZA=ZDEB/DEB=ZDBC•••/A=ZDBC.•••ZDBCbZABD=90°AB!BC又vOB是OO的半径，BC是OO的切线；⑵解：如解图，连接ODvBF=BO2,ZADB=90°ZCBD=ZFBD.又vOE/BD FBD=ZOEB.vOE=OB OEB=ZOBE.1ZCBD=ZEBD=ZOB吕3ZABC=30°,ZC=60°.•AB=,；3BC=2.3OO的半径为'3.vZOBD=ZOBBZEBD=60°,OB=OD•△OBD是等边三角形，ZBOD=60°,TOC\o"1-5"\h\z1 1厂3_n 刃3•阴影部分的面积为\o"CurrentDocument"S扇形obd-Saobd=：nX3—二X-；3X二=— -~•阴影部分的面积为6 2 2 2 4(1)证明：如解图，连接ODvZC=90°,「.ZA+ZB=90°,vOB=ODvOB=OD•ZB=ZODB又vZA=ZADE•••/AD曰/ODB=ZA+/B=90°•••/OD吕180°—90°=90°,DHODTOD为OO的半径，DE是OO的切线；BC3⑵解：在Rt△ABC中，tanA=ac=4,153ac=4,解得ac=20,tECLBCBC为OO的直径，二EC是OO的切线,又T/A=ZADE•ED=EA,「.ED=AE=CE11DE=2AC=2^20=10.(1)证明：如解图，连接OCtOB=OC/OBC=ZOCBtAB是圆O的直径，/ACB=90°,/OC+/OC=90°,t/ACD=ZB,•••/AC+/OC=90°,OCLCD且OC是圆O的半径，CD是圆O的切线；⑵解：t/CEF=45°,/ACB=90°,

•••/CFE^ZCEF=45°,二CF=CE.AC3tsinB=忑=5,二AC=6,由勾股定理得，BC=8,vZACD=ZB,/ADC=ZCOB△CAD^BCDAC=AD=3…BC=CD=4，设AD=3x,CD=4x,在Rt△OCD中,OC+CD=OD,即52+(4x)2=(5+3x)2,30解得x=0(舍去)或x=”,•AD=90•AD=90,CD=120vZCEF=ZAC+ZCDEZCFE=ZB+ZBDFvZAC=ZB,•ZCD=ZBDFCE_BFCD=BD8—CF90,90,10+7vC日CF,•Cl=笃.类型三【例3】(1)证明：如解图，连接OCvOA=OC•ZA=ZOCAvAC//OP•••/A=ZBOPZAC©=ZCOP•••/COP=ZBOPvPB是OO的切线，AB是OO的直径，ZOBP=90°在厶POCW^POB中,OC=OBZCOP=ZBOP,OP=OP•••△CO^^BOPZOC圧ZOB圧90°,vOC是OO的半径，PC是OO的切线；⑵解：如解图，过O作ODLAC于D,1ZOD&ZOCP=90°,CD=2ACvZDCO=ZCO,△ODOAPCOCDLOC…OCTOP，cd-op=oC,3vop=2AC2AC=3OP1CD=3OP•••1op-op=oC,oc_\[3oPT，•sin/CP_OPPf；⑶解：如解图，连接BCvAB是OO的直径,•ACLBCvAC=9,AB=15,BC=pAB_AC_12,当M与A重合时,d_0,f_12.•d+f_12,当CMLAB时，d_AMf_BMd+f_AM+BM=15,当M与B重合时，d_9,f_0,d+f_9,d+f的取值范围是：9<d+f<15.针对训练解：（1）PM是OO的切线.理由如下：如解图，连接DO并延长交PM于E,v弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合,OC=DCOB=BD•OC=OB=DC=BD二四边形OBD(为菱形，•••OCLBC,•••△OC刖△OBD都是等边三角形，•••/COI^ZBOD=60°,/COP=ZEOP=60°,vZMPB=ZADCZADC=ZABCZMP圧ZABCPM/BCOELPMvCD是OO的切线，ZDCP=90°,在厶OPEmOPC中,ZPEO=ZPCOZPOE=ZPOC=60°,OP=OP△POE2APOC(AAS)OE=OCPM是OO的切线；⑵由(1)得ZCPO=30°,OC=PC-tan30°= 1,3(1)证明：如解图，过点0作0E1AB于点E,TADLB0于点D,•••/D-90°•••/BADhZABD-90°,ZAOD-ZOAD=90°vZAOD=ZBAD,/ABD-ZOAD.又vBC为OO的切线，ACLBCZBOC-ZOB—90°vZBO—ZAODZOB—ZOA—ZABD.在厶BOEfn^BOC中,ZEBO=ZCBOZOE—ZOCBOB=OB△BOE2ABOC(AAS)EO=COvEOLABAB为OO的切线；(2)解：vZABOZBAC=90°,ZEO—ZBAC=90ZEO—ZABC/ 4-tanZABC=3,BC—6,3•AC—BC・tanZABC=8,

在Rt△ABC中，aB=aC+bC,•••AB=10.TBCBA都为圆外一点B引出的切线,BE^BO6,AE=4.4ttan/ABC=tan/EOA=3,.AE4—OE3，0E=3,ob=7bE+OE=3罷vZABD=ZOBCZD-ZACB=90°•△