创知路自主数学第二讲数列

n⑴kk

n(n；2n⑵k

2n(n1)(2n1)6等差数列前n项求和的推导用的就是该法，有时关于组合数的求和也用an1anfan1fan1panq（p0,1，q0an1panqn（p0,1 paq（p0，q0,1，a0 【例】在数列{an}a11，且an1

y2y5 1y(nN。求数列{x}、{y 4 ai aanb(c0，adbcn can已知数列{a}满足a2,aan12(n2)，求数列{a}的通项

nn已知数列{a}满足a2, 2an1(nN*)，求数列{a}的通项na

aa (a

4a nn 2aan已知数列{a}满足a1，a ,nN*，求数列{a}的通项a 1

a2n已知数列{a}满足a ,nNn

{a}的通项an

4 （N定义）设anA是一个确定的数，若对0N*，使得当nNanA，则称数列anAA的极限，记作lim

A或

A（n⑴limqn0（q1nn

1nn ⑴当nn（n*）Pn ⑵假设nk（kn0k*）Pn成立，由此推得nk1P ⑴当nn（n*）Pn ⑵假设nk（kn0k*）Pn成立，由此推得nk1P【例】设ax1xn

可表示为a的n 中an与Sn同时存在时，可将an转化为SnSn1或将SnSn1转化为an；【例（2013在数列{ana11Sn14an2n1an特殊递推数列 aa2的处理方 ⑴

an(1an

1

1⑵1 an an(1an 1 【例】已知数列a满足a1， aa2(nN*)，S k

1Tn(1a)(1

a，求SnTn a ⑴同除以或乘上⑶巧用定⑷式消a3n2n,nN【例】已知数列{an}的通 为 ，请证明1

【例1】（2010年北约）存不存在0x，使得sinxcosxtanxcotx21(n11(n1 n)(n1 n1)(n n

4xSn

f(1)n

f(n

5】数列a的相邻两项a

x2cx1n0 3【例6】求数列{an}的通项（1）数列a定义如下a1,a2, 2n n

a,n1, n2n2（2）已知数列{a}an1an1nnN*，且an2

an（4）已知数列{an}满足a02,a13,a26ann4)an14nan2anan1a 2anan1a 2n 1a11，a2已知数列{a}满足a1， 1(14a 2已知数列{a}满足a1an113a5a4n2 已知数列{an}满足a1a21a32an1an23anan1n3an3已知数列{a}满3an3 已知数列{a}满足a1， 1nn已知数列{a}满足a 1,nNn

b 6a6b，又a2b4，求limanb n aca2（c0且c为常数 求证：对任意正数MNN*，当nN时有anMn设b n111

对任意d0NN*，当nN时有0

Sn

d1aa【例9】记数列a满足a 1，1aa

a2

t对nN*恒成立，求正整数t的

(x)xn(1x)2[,1an(x)xn(1x)22求数列{an}的通项求证：对任何正整数n(n2)，都有

(n设数列{a}的前nS，求证：对任意正整数n，都有S7 的

lgailg3.（交大改）⑴已知

k

（n 2an1（n （n⑵已知数列a满足a1

na2n n9a2⑶已知递增数列a满足a1， 5a （n9a2 1 ⑷已知数列 满足a1，a （na a ⑸已知数列{a}满足a1，a an17an6bn

8a7b n给定两个数列x，y满足xy1，x （nn

22nyn12n

17.（20011）设数列ana1aa2b2an2an1anlima1a2an4，求a、bna且Snak1 ⑶若数列b满足b11且T

b，求数列Ta an

k9．已知数列a，a0，a0，a2 1a2，记SaaaT

1

1a 1a1a 1a1a1a 求证