北京马池口中学高三数学文期末试题含解析

北京马池口中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为(

) A．an= B．an= C．an=n+2 D．an=（n+2）3n参考答案：B考点：数列递推式．分析：由题意及足a1=1，且，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．解答： 解：因为，且n∈N*）?，即，则数列{bn}为首项，公差为1的等差数列，所以bn=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故答案为：B点评：此题考查了构造新的等差数列，等差数列的通项公式．2.已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（log3），c=f（0.20.6）则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c参考答案：B【分析】利用对数和指数幂的运算性质，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴b=f（log3）=f（﹣log23）=f（log23），∵log23=log49＞log47＞1，0＜0.20.6＜1，∴0.20.6＜log47＜log49，∵在（﹣∞，0]上是增函数，∴在[0，+∞）上为减函数，则f（0.20.6）＞f（log47）＞f（log49），即b＜a＜c，故选：B【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键．3.已知，则sin2x=（

）A.

B.C.D.参考答案：C略4.设函数的图像关于直线对称,它的周期是,则（

）A．的图象过点

B．的一个对称中心是C．在上是减函数D．将的图象向右平移个单位得到函数的图象参考答案：B5.下列说法：（1）命题“，使得”的否定是“，使得”（2）命题“函数在处有极值，则”的否命题是真命题（3）是（，0）∪（0，）上的奇函数，时的解析式是，则的解析式为其中正确的说法的个数是（

）A．0个 B.1个 C.2个 D.3个参考答案：C6.A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=|x|，x∈A}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3} B．{2，3} C．{0，1，2} D．{0，2，3}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=|x|，x∈A}={0，1，2，3}，所以A∩B={0，2，3}．故选：D．【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．8.若，其中，是虚数单位，复数（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B此题考察两个复数相等的条件，即且，但不要忘了都为实数这个条件。由，得，从而，，故选择B。9.定义运算=ad－bc，则满足=0的复数z的共轭复数所对应的点在A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：答案：A10.已知，，则

（

）

A.

B.或

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在上的函数满足：对任意，恒成立．有下列结论：①；②函数为上的奇函数；③函数是定义域内的增函数；④若，且，则数列为等比数列．其中你认为正确的所有结论的序号是

．参考答案：①②④12.（文）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：或当时，，此时不等式成立，所以只考虑时，若，则不等式等价为，此时。若，则不等式等价为，即，因为，所以，所以。所以实数的取值范围是或。13.已知向量=(2,3),=(m,-6),若⊥,则|2+|=__________.

参考答案：1314.过原点作曲线的切线，则此切线方程为

参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B12【答案解析】y=ex解析：解：y′=ex设切点的坐标为（x0，ex0），切线的斜率为k，则k=ex0，故切线方程为y﹣ex0=ex0（x﹣x0）又切线过原点，∴﹣ex0=ex0（﹣x0），∴x0=1，y0=e，k=e．则切线方程为y=ex故答案为y=ex．【思路点拨】欲求切点的坐标，先设切点的坐标为（x0，ex0），再求出在点切点（x0，ex0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=x0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用切线过原点即可解决问题15.14．已知是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是____________．参考答案：（-7,3）16.设展开式的中间项，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是______参考答案：17.在极坐标系中，圆的圆心到直线

的距离是

。参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分12分)设，曲线与直线在(0，0)点相切。

(Ⅰ)求的值。

(Ⅱ)证明：当时，。参考答案：【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。本题容易忽略函数的定义域，根据条件曲线与直线在(0，0)点相切，求出的值，然后，利用函数的单调性或者均值不等式证明即可。从近几年的高考命题趋势看，此类型题目几乎年年都有涉及，因此，在平时要加强训练。本题属于中档题。19.(文科)已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面为正三角形，，．如图4所示．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．参考答案：证明(1)直角梯形的，，又，，∴．∴在△和△中，有，．∴且．∴．(文科)解(2)∵，是正三角形，∴，结合几何体可知，∴．

20.（13分）设函数在上的最大值为（）．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证：对任何正整数n(n≥2)，都有成立；（III）设数列的前n项和为Sn，求证：对任意正整数n，都有成立．参考答案：（Ⅰ），当时，由知或，

当时，则，时，，在上单调递减，所以当时，，时，，时，，∴在处取得最大值，即当时，由（II）知．所以，对任意正整数，都有成立．

……13分21.某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化。

（I）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？

（II）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m的值。参考答案：解：（1）当m=4时，

-----------------2分当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化∴当时，，得当时，，解得故自来水达到有效净化一共可持续5天

-------------------6分（2）为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化即前4天和后3天的自来水达到最佳净化∴当时，在恒成立，得在恒成立，∴

----------------------9分当时，在恒成立，同理得

即投放的药剂质量m的值为

------------------13分

22.宝宝的健康成长是妈妈们最关心的问题，父母亲为婴儿选择什么品牌的奶粉一直以来都是育婴中的一个重要话题．为了解国产奶粉的知名度和消费者的信任度，某调查小组特别调查记录了某大型连锁超市2015年与2016年这两年销售量前5名的五个奶粉的销量（单位：罐），绘制出如图1的管状图：（1）根据给出的这两年销量的管状图，对该超市这两年品牌奶粉销量的前五强进行排名；（2）分别计算这5个品牌奶粉2016年所占总销量（仅指这5个品牌奶粉的总销量）的百分比（百分数精确到个位），并将数据填入如图2饼状图中的括号内；（3）试以（2）中的百分比为概率，若随机选取2名购买这5个品牌中任意1个品牌的消费者进行采访，记X为被采访者中购买飞鹤奶粉的人数，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）写出该超市这两年销售量前5名的五个奶粉的销量的前五强排名；（2）计算这5个品牌奶粉2016年所占总销量（仅指这5个品牌奶粉的总销量）的百分比，再填表；（3）计算购买飞鹤奶粉的概率，求出X的可能取值以及概率值，求出分布列与数学期望．【解答】解：（1）该超市这两