2021年广东省茂名市高州市中考数学联考试卷（附答案详解）

2021年广东省茂名市高州市中考数学联考试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.2的相反数是（）

A.2B.-2c--iDi

2.地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（）

A.11x104B.1.1x105C.1.1x104D.0.11x106

3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（)

A.正三角形B.平行四边形C.矩形D.正五边形

4.一组数据1,3,6,1,2的众数和中位数分别是（）

A.1,6B.1,1C.2,1D.1,2

5.一个十二边形的内角和等于（）

A.2160°B.2080°C.19800D.1800°

6.下列各式计算正确的是（）

A.a-a2=a3B.(a+b)2=a2+b2

C.a8-r-a2=a4D.a2+a3=a5

7.在平面直角坐标系中，点4（m,2）与点B（3,n）关于y轴对称，则（)

A.m=3,n=2B.m=—3,n=2

C.m=2,n=3D.m=-2,n=-3

8.如果将抛物线y=/向右平移i个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）

A.y=x2+1B.y=x2—1C.y=(x+I)2D.y=(x—I)2

9.如图，将矩形ABCQ沿EF折叠，使顶点C恰好落在A3

边的中点C'上.若48=6,BC=9,则8尸的长为（）

A.4

B.3V2

C.4.5

D.5

10.如图是抛物线y=a/+b%+C（Qw0）的部分图象，其顶点坐标为（l,n）,且与x轴

的一个交点在点（3,0）和（4,0）之间，则下列结论:

①a—b+c>0；

②3a+b=0；

③b?=4a（c—n）；

④一元二次方程a/+bx+c=n-1有两个互异实根.

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共7小题，共28.（）分）

11.分解因式：16—/=.

12.若代数式有意义，则x的取值范围是.

13.一个扇形的圆心角为120。，半径为3,则这个扇形的弧长为.（结果保留兀）

14.如图，OA,OB是。。的半径，点C在。。上，连接AC,BC,（一

若乙4OB=120°,则乙4cB=度.[/乃\

15.如图，△ABC中，AC=6,BC=4,AB的垂直平分线OE"K

交AB于点。，交边AC于点E,则ABCE的周长为______.士

R

16.若a+2b=8,3a+4b=18,则2a+3b的值为.

17.如图，在平面直角坐标系中，Rt△4BC的顶点A,C的坐标

分别是（0,3）,（3,0）.N4CB=90。，AC=2BC,则函数y=\

9k>0,x>0）的图象经过点B,则％的值为.\

Cx

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

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18.计算：(|)-1-tan60°—(1+V2)°+

四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19.如图，在A4BC中，点P是AC上一点，连接BP,求作一

点M,使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B

和点尸的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）

20.先化简，再求值：2矶a+2b）+（a-2b产，其中a=-i,b=®

21.随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择.某

校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线

讨论.为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式

最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

根据图中信息，解答下列问题:

(1)求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；

(2)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；

(3)该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数.

22.如图，XABEXABD,点E在边A8上，CE//BD,

连接DE.求证：

(1"CEB=Z.CBE；

(2)四边形BCEO是菱形.

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23.某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，己知2根A型跳绳和1根

B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元.

(1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？

(2)学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且4型跳绳的数量不多于B型跳绳

数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

24.如图，在RtzMBC中，乙4cB=90。，A。是△ABC的角平分线.以。为圆心，OC为

半径作。0.

(1)求证：A8是。。的切线.

(2)已知交。。于点E,延长4。交。。于点。，tan/。=5求第的值.

(3)在(2)的条件下，设。。的半径为3,求AB的长.

D

25.如图，已知抛物线y=-/+bx+c与一直线相交于4(一1,0),C(2,3)两点，与y轴

交于点N,其顶点为D

(1)求抛物线及直线4c的函数关系式：

(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为h

①当S&4cp=SMCN时，求点P的坐标；

②是否存在点P，使得AACP是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐

标；若不存在，请说明理由.

备用图

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：根据相反数的定义可知：2的相反数是-2.

故选：B.

根据相反数的概念作答即可.

此题主要考查相反数的定义:只有符号相反的两个数互为相反数.0的相反数是其本身.

2.【答案】B

【解析】解：110000用科学记数法表示为：1.1Xi。',

故选：B.

科学记数法的表示形式为ax10,的形式，其中1<|a|<10,n为整数.确定n的值时，

要看把原数变成a时.，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值>1时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中1W

〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

3.【答案】C

【解析】解：人正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；

8、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；

C、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；

。、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故。错误.

故选：C.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分

完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.如果一个图形绕某一点

旋转180。后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关

键.

4.【答案】D

【解析】解：•••1出现了2次，出现的次数最多，

二众数是1,

把这组数据从小到大排列1,L2,3,6,最中间的数是2,

则中位数是2；

故选：D.

根据众数和中位数的定义分别进行解答即可.

此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据

从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这

组数据的中位数.

5.【答案】D

【解析】解：十二边形的内角和等于：（12-2）•180。=1800。；

故选：D.

〃边形的内角和是（n-2）•180。，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和.

本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和

公式，是需要熟记的内容，此题难度不大.

6.【答案】A

【解析】解：A、根据同底数基的乘法法则得，a"2=a3,...原式正确；

B、根据完全平方公式得，（a+b）2=。2+2岫+力2,.•.原式错误；

C、根据同底数基的除法法则得，a8+a2=a6,.•.原式错误；

D、根据合并同类项法则得，和不能合并，...原式错误；

故选：A.

根据同底数基的乘法、完全平方公式、同底数基的除法及合并同类项的法则进行计算,

然后对比结果即可确定答案.

本题考查了同底数幕的乘法、完全平方公式、同底数幕的除法及合并同类项的法则，掌

握运算法则是解答此类问题的关键.

7.【答案】B

【解析】解::点A（m,2）与点E（3,n）关于y轴对称,

•••m=—3,n=2.

故选：B.

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直接利用关于)，轴对称点的性质得出答案.

此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故。不变，所以

求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的

坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.先

得到抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),再得到点(0,0)向右平移1个单位得到点的坐标为

(1,0),然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.

【解答】

解:抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向右平移1个单位得到点的坐标为(1,0),

所以所得的抛物线的表达式为y=(x-l)2.

故选：D.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了折叠问题及勾股定理的应用同时也考查了列方程求解的能力，解题的关键是

找出线段的关系.

先求出BC',再由图形折叠特性知，C'F=CF=BC-BF=9-BF,在中，

运用勾股定理B片+BC'2=C'F?求解.

【解答】

解：••・点C'是AB边的中点，AB=6,

BC'=3,

由图形折叠特性知，C'F=CF=BC-BF=9-BF,

在RtaC'BF中，BF2+BC'2=C'F2,

BF2+9=(9-BF)2,

解得，BF=4,

故选：A.

10.【答案】C

【解析】解：•••抛物线与X轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，而抛物线的对称轴为直

线x=1,

抛物线与x轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间.

二当x=-1时，y>0,

即a-b+c>0,所以①正确；

:抛物线的对称轴为直线久=—==1,即b=—2a,

・•.3Q+b=3Q—2Q=Q,所以②错误；

・・・抛物线的顶点坐标为(l,n),

4ac-b2

・•・-------=71,

4a

.1•b2=4ac—4cm=4a(c—n).所以③正确：

,••抛物线与直线y=ri有一个公共点，

抛物线与直线y=n-1有2个公共点，

•••一元二次方程ax?+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确.

故选：C.

利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间，则当x=

一1时，y>0,于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-之=1,即。=

-2a,则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为〃得到"子=、则可对③

进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=ri-1有2个公

共点，于是可对④进行判断.

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=a/+bx+c(aH0),二次

项系数。决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛

物线向下开口；一次项系数b和二次项系数。共同决定对称轴的位置：当a与》同号时

(即a6>0),对称轴在y轴左；当〃与〃异号时(即ab<0),对称轴在)，轴右；常数项c

决定抛物线与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c)：抛物线与无轴交点个数由△决定：

△=〃-4碗>0时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有

1个交点；△=炉-4公<0时，抛物线与x轴没有交点.

11.【答案】(4+为(4一乃

【解析】

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【分析】

本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键.

16和/都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式

进行因式分解即可.

【解答】

解：16—%2=(4+x)(4—x).

故答案为：(4+x)(4-x).

12.【答案】x>2

【解析】解：••・代数式有意义，

••x-2>0,

x>2.

故答案为x22.

根据式子正有意义的条件为a>0得到尤-2>0,然后解不等式即可.

本题考查了二次根式有意义的条件：式子府有意义的条件为a>0.

13.【答案】27r

【解析】解：根据弧长的公式，=签，

故答案是：27T.

根据弧长的公式，=器进行计算即可.

loU

本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键.

14.【答案】60

【解析】

【分析】

此题主要考查了圆周角定理.关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所

对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.根据圆周角定理可得答案.

【解答】

解：,:乙AOB=120°,

•••/.ACB=120°x-=60°.

2

故答案为60.

15.【答案】10

【解析】解：・••DE是A8的垂直平分线，

■1•EA=EB，

则^BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=10,

故答案为：10.

根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB,根据三角形的周长公式计算即可.

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端

点的距离相等是解题的关键.

16.【答案】13

【解析】解：联立得：=

13a+4b=18@

①+②得：4a+62=26,即2(2a+3b)=26,

则2a+3b=13.

故答案为：13.

己知两方程左右两边相加，计算即可求出所求.

此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减

消元法.

17.【答案】v

4

【解析】解：过8点作BDlx轴于。，如图,

•••A,C的坐标分别是(0,3),(3,0).

•••OA=OC=3,

OAC为等腰直角三角形，

AC=V2OC=3V2，/.ACO=45°,

•••乙ACB=90°,

乙BCD=45°,

・・・△BC。为等腰直角三角形，

ACD=BD=—ec,

2

-AC=2BC,

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1•,BC=鸣

2

—ncc>/23\f23

CD=BD=—x—=

222

.・.0。=3+±3=二Q

22

・•・函数y="k>0,x>0)的图象经过点B,

,9327

:,k=一又一=—.

224

故答案为一.

4

过B点作2。1x轴于D,如图，先判断4OAC为等腰直角三角形得到AC=夜OC=3夜,

/-AC0=45°,再判断△BCD为等腰直角三角形得到CD=BD=-BC,则可计算出CD=

2

BO=|,所以B6,|),然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求出左的值.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=E(k为常数，上#0)的图

象是双曲线，图象上的点(%,y)的横纵坐标的积是定值&,即xy=k也考查了反比例函

数的性质.

18.【答案】解：原式=3-遍一1+百

=2.

【解析】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后

进行二次根式的乘除运算，再合并即可.

利用特殊角的三角函数值、负整数指数累和零指数塞的意义进行计算.

19.【答案】解：如图，点M即为所求.

BC

【解析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可.

本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图

的一般步骤是解题的关键.

20.【答案】解：原式=2。2+4ab+a?—4ab+4b2

=3a2+4b2,

当a=1,b=百时；

原式=3x(-1)2+4x(遍＞=15.

【解析】直接利用多项式乘法运算法则去括号，进而合并同类项，再将已知数据代入求

出答案.

此题主要考查了整式的混合运算，正确合并同类项是解题关键.

21.【答案】解：(1)本次调查的学生总人数为：18+20%=90,

在线听课的人数为：90-24-18-12=36,

(2)扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是：360。x及=48。,

即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48。；

(3)2100x^=560(A),

答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有560人.

【解析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

(1)根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，然后再求出在线听

课的人数，即可将条形统计图补充完整；

(2)用360。乘以“在线讨论”人数所占比例即可求解；

(3)用总人数乘以在线阅读人数所占比例即可求解.

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22.【答案】证明；(1)•・•△A8C三△480,

・•・乙ABC=乙ABD,

・••CE//BD,

・•・乙CEB=乙DBE,

・♦・乙CEB=乙CBE.

(2))

・••BC—BD,

,:乙CEB=乙CBE,

ACE—CB,

CE=BD

vCE//BD.

・•・四边形CEQB是平行四边形，

vBC=BD,

・・.四边形CEO8是菱形.

【解析】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌

握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考

题型.

(1)欲证明4CEB=NCBE,只要证明/CEB=4CBE=NABD即可.

(2)先证明四边形CED8是平行四边形，再根据BC=80即可判定.

23.【答案】解：(1)设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，

根据题意，得：

(2x+y=56

{x+2y=82'

解得:{J：36-

答：一根A型跳绳售价是10元，一根8型跳绳的售价是36元；

(2)设购进A型跳绳〃?根，总费用为W元，

根据题意，得：W=10m+36(50-m)=-26m+1800,

—26V0,

W随机的增大而减小，

又1m43(50-m),解得：m<37.5,

而加为正整数，

二当?n=37时，W最小-26x37+1800=838,

止匕时50—37=13,

答：当购买A型跳绳37只，B型跳绳13只时，最省钱.

【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意

得出正确的等量关系是解题关键.

(1)设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，根据：“2根A型跳绳和

1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元”列方程组求解即可；

(2)首先根据“A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍”确定自变量的取值范围，

然后得到有关总费用和A型跳绳之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可.

24.【答案】解：(1)如图，过点。作。F_LAB于点F,

v40平分皿8,

0clAC,OFLAB,

•••OC=OF,

••.4B是。。的切线；

(2)如图，连接CE,

「ED是。。的直径，

•••Z.ECD=90°,

乙ECO+Z.OCD=90°,

•:乙ACB=90°,

•••AACE+乙ECO=90°,

/.ACE=/-OCD,

•••OC=OD,

•••/.OCD=Z.ODC,

Z.ACE=Z.ODC,

•••4CAE=/.CAE,

第16页，共19页

ADC,

tAE_CE

ACCD

:.乙4CE+乙ECO=90°,

vtanzD=

2

CE1

•**=)

CD2

AE1

"AC~2；

(3)由(2)可知:第=4

•••设4E=x,AC=2xf

ACE^^ADC,

tAE_AC

“AC-AD1

・・.AC2=AE-AD,

:.(2x)2_%(%+6),

解得：%=2或%=0(不合题意，舍去),

:.AE=2,AC=4,

由(1)可知：AC=AF=4,

Z-OFB=Z.ACB=90°,

v乙B=cB,

.%△OFBs&ACBf

BF_OF

BC-AC9

设BF=a,

4a

・•・BC=——

3

.：BO=BC-OC=^-3,

在Rt△BO/7中,

BO2=OF24-BF2,

(y-3)2=32+a2,

解得：Q=m或Q=。（不合题意，舍去），

MB=4F+BF=-

【解析】(1)由于题目没有说明直线AB与。。有交点，所以过点。作0F14B于点尸,

然后证明0C=。尸即可；

(2)连接CE,先求证〃CE=NODC,然后可知小ACEs△ADC,所以若=啜,而tan"=；

AC*CUN

于是得到结论；

(3)由(2)可知,AC?=AE.4D,所以可求出AE和AC的长度，由⑴可知，△OFBfABC,

所以霖=5然后利用勾股定理即可求得AB的长度•

本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACES