（新教材）【人教A版】必修一3.4（数学）

3.4

函数的应用(一)1.一次函数模型形如y=kx+b的函数为一次函数模型,其中k≠0.2.二次函数模型(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:y=(a≠0).(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).3.幂函数型模型(1)解析式:y=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1).(2)单调性:其增长情况由xα中的α的取值而定.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)在选择实际问题的函数模型时,必须使所有采集的数据都适合函数模型的解析式. (

)(2)实际应用问题中自变量的取值范围由函数模型的解析式唯一确定. (

)(3)利用函数模型得到数据后,要用该数据解释需要解决的实际问题. (

)提示:(1)×.只要大部分数据适合就可以.(2)×.由解析式、自变量的实际意义共同确定.(3)√.建立数学模型是为解决实际问题服务的,得出的数据要能解释实际问题.2.某商品进货价格为30元,按40元一个销售,能卖40个;若销售价格每涨1元,销量减少1个,要获得最大利润,此商品的售价应是 (

)A.55 B.50 C.56 D.48【解析】选A.设售价为x元,总利润为W元,则W=(x-30)·[40-1×(x-40)]=-x2+110x-2400=-(x-55)2+625,所以x=55时,获得最大利润为625元.3.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系,其中甲在公园休息的时间是10min,那么y=f(x)的解析式为________.

解析】由题图知所求函数是一个分段函数,且各段均是直线,可用待定系数法求得y=f(x)=答案:y=f(x)=类型一一次函数模型【典例】李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择:方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度,每度0.4元,超过30度时,超过部分按每度0.5元.方案二:不收管理费,每度0.48元.(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系.(2)小李家九月份按方案一交费34元,问小李家该月用电多少度?(3)小李家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好? 世纪金榜导学号【思维·引】利用两个方案的解析式解决相应的问题.【解析】(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.4x;当x>30时,L(x)=2+30×0.4+(x-30)×0.5=0.5x-1,所以L(x)=(2)当0≤x≤30时,L(x)≤L(30)=14,故小李家九月份用电超过30度,由0.5x-1=34得x=70,故小李家该月用电70度.(3)方案二收费E(x)=0.48x,x≥0,令L(x)<E(x),当0≤x≤30时,2+0.4x<0.48x,解得25<x≤30,当x>30时,0.5x-1<0.48x,解得30<x<50,综上可得:小李家月用电量在(25,50)时,选择方案一比选择方案二更好.【内化·悟】怎样求一次函数的解析式?提示:设出一次函数的解析式f(x)=kx+b(k≠0),利用条件求出系数k,b.将系数k,b代入函数解析式,即为要求的一次函数的解析式.【类题·通】用一次函数模型解决实际问题的注意点(1)一次函数模型的应用层次要求不高,一般情况下是本着“问什么,设什么,列什么”这一处理的原则,求解过程也较简单.(2)用一次函数模型解决实际问题时,对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式.对于一次函数y=ax+b(a≠0),当a>0时为增函数,当a<0时为减函数,另外,要结合题目理解(0,b)和这些特殊点的实际意义.【习练·破】已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数,表达式为________.

【解析】由题意得A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地,需要2.5小时,以50千米/时的速度返回A地,需要3小时;所以当0≤t≤2.5时,x=60t,当2.5<t≤3.5时,x=150,当3.5<t≤6.5时,x=150-50(t-3.5),所以x=答案:x=【加练·固】为响应绿色出行号召,越来越多市民选择租用共享单车出行.已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式,如图描述了两种方式应支付金额y(元)与骑行时间x(时)之间的函数关系,根据图象回答下列问题:(1)求手机支付金额y1(元)与骑行时间x(时)的函数关系式.(2)李老师经常骑行共享单车,请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算.【解析】(1)设手机支付金额y1(元)与骑行时间x(时)的函数关系式为y1=kx+b,把(0.5,0),(1,0.5)代入关系式得解得所以y1=x-0.5.(2)会员卡支付金额y2(元)与骑行时间x(时)的函数关系式y2=0.75x,两关系式联立组成方程组解得分类讨论:①x<2时,选择手机支付比较合算;②x=2时,两者一样;③x>2时,选择会员卡支付比较合算.类型二二次函数模型【典例】山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.(1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数关系式.(2)李经理如果想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少? 世纪金榜导学号【思维·引】(1)销售金额=售价×销售量.(2)表示出利润=销售总金额-收购成本-各种费用,再求存放时间.(3)对利润的表达式配方求最值.【解析】(1)由题意y与x之间的函数关系式为y=(10+0.5x)(2000-6x)=-3x2+940x+20000(1≤x≤110,且x为整数).(2)由题意,令-3x2+940x+20000-10×2000-340x=22500,解方程得:x1=50,x2=150(不合题意,舍去),故需将这批香菇存放50天后出售.(3)设利润为w,由题意得w=-3x2+940x+20000-10×2000-340x=-3(x-100)2+30000,因为a=-3<0,所以抛物线开口方向向下,所以x=100时,w最大=30000,所以李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润,最大利润是30000元.【内化·悟】求二次函数模型的最值需要关注哪些方面?提示:需要关注以下三个方面:(1)函数的开口方向;(2)对称轴;(3)自变量的取值范围.【类题·通】利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法:根据实际问题建立二次函数模型后,求出函数的解析式,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值.(2)注意点:利用二次函数求最值时,应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.【习练·破】

(2019·南平高一检测)某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q(万元),它们与投入资金m(万元)的关系有如下公式:P=m+60,Q=70+6,今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品,并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元.(1)设对乙种产品投入资金x(万元),求总利润y(万元)关于x的函数关系式及其定义域.(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大,并求出最大总利润.【解析】(1)根据题意,对乙种产品投入资金x万元,对甲种产品投入资金(200-x)万元,那么y=(200-x)+60+70+6=-x+6+230,由解得25≤x≤175,所以函数的定义域为[25,175].(2)令t=,则y=-t2+6t+230=-(t-6)2+248,因为x∈[25,175],所以t∈[5,5],当t∈[5,6)时函数单调递增,当t∈[6,5]时函数单调递减,所以当t=6时,即x=36时,ymax=248,当甲种产品投入资金164万元,乙种产品投入资金36万元时,总利润最大,最大总利润为248万元.【加练·固】某公司试销某种纪念品,每件按30元销售,可获利50%,设每件纪念品的成本为a元.(1)试求a的值.(2)公司在试销过程中进行了市场调查,发现销售量y(件)与每件售价x(元)满足关系y=-10x+800.设每天销售利润为W(元),求每天销售利润W(元)与每件售价x(元)之间的函数解析式;当每件售价为多少时,每天获得的利润最大?最大利润是多少?【解析】(1)因为按30元销售,可获利50%,所以a(1+50%)=30,解得a=20.(2)因为销售量y(件)与每件售价x(元)满足关系y=-10x+800,则每天销售利润W(元)与每件售价x(元)满足W=(-10x+800)(x-20)=-10x2+1000x-16000=-10(x-50)2+9000,故当x=50时,W取最大值9000,即每件售价为50元时,每天获得的利润最大,最大利润是9000元.类型三分段函数模型角度1最大值问题【典例】某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30人时,每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30人,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x人,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元.(1)写出y与x(x>0,x∈N*)之间的函数关系式.(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求最大利润. 世纪金榜导学号【思维·引】(1)以30为分界分段列函数关系式.(2)分段求最大值,取其中最大的即为最大利润.【解析】(1)参加培训的员工人数为x人,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元,当1≤x≤30且x∈N时,y=850,当30<x≤60且x∈N时,y=850-10(x-30)=1150-10x,所以y=(2)当1≤x≤30且x∈N时,Q=850x-12000,Qmax=850×30-12000=13500(元),当30<x≤60且x∈N时,Q=-10x2+1150x-12000,其对称轴为x==57.5,故当x=57或58时,Qmax=21060元,所以当公司参加培训的员工为57人或58人时,培训机构可获得最大利润,最大利润为21060元.【素养·探】在解决实际问题时,常常用到核心素养中的数学建模,根据题意建立恰当的数学模型,再对数学模型进行处理,从而解决实际问题.本例中,若公司有临时紧急事务,最多只能安排40人参加培训,则培训机构可获得的最大利润是多少?【解析】当1≤x≤30且x∈N时,Q=850x-12000,Qmax=850×30-12000=13500(元),当30<x≤40,且x∈N时,Q=-10x2+1150x-12000,其对称轴为x==57.5,所以Q(x)在区间（30，40]上是增函数,所以当x=40时,取得最大值Qmax=18000元;所以当公司参加培训的员工为40人时,培训机构可获得最大利润,最大利润为18000元.角度2最小值问题【典例】经市场调查,某商品在过去的20天内的价格f(t)(单位:元)与销售量g(t)(单位:件)均为时间t(单位:天)的函数,且价格满足f(t)=20-|t-10|,销售量满足g(t)=80-2t,其中0≤t≤20,t∈N.(1)请写出该商品的日销售额y(单位:元)与时间t(单位:天)的函数解析式.(2)求该商品的日销售额的最小值.【思维·引】(1)去绝对值符号,分段求解析式.(2)分段求最小值,取其中最小值,即为商品日销售额的最小值.【解析】(1)y=f(t)g(t)=

(80-2t)=(2)当0≤t<10,t∈N时,其对称轴t=5∈[0,10),当t=0时,y取最小值且ymin=1200;当10≤t≤20,t∈N时,其对称轴t=45,所以当t=20时,y取最小值且ymin=600,综上所述,在第20天,日销售额y取最小值600元.【类题·通】应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后求函数值范围的并集.【习练·破】乔经理到老陈的果园里一次性采