互斥事件的概率条件概率与相互独立事件的概率

(必修3)第三章概率第23讲互斥事件的概率、条件概率与相互独立事件的概率1.了解互斥事件的概率、两个互斥事件的概率加法公式，能利用此公式求有关事件的概率.2.了解条件概率和相互独立事件同时发生的概率，理解n次独立重复试验的模型及二项分布.1.已知事件A、B的概率都大于零,那么()CA.如果A与B互斥，则与也互斥B.如果A、B不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件C.如果A、B是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件D.如果A+B是必然事件，那么它们一定是对立事件2.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率是

.3.甲、乙两人独立解同一道题,甲解决这道题的概率是0.7,乙解决这道题的概率为0.8,那么恰有一人解决这一道题的概率是()BA.0.56B.0.38C.0.44D.0.94

只有甲解决这道题的概率为0.7×(1-0.8)=0.14;只有乙解决这道题的概率为0.8×(1-0.7)=0.24.故恰有一人解决这一问题的概率为0.１4+0.24=0.38,选B.4.有3道选择题和2道填空题,如果依次不放回地抽取2道,则在第一次抽到选择题的条件下,第二次抽到选择题的概率为

.

第一次抽到选择题的概率为,则第二次抽到选择题的概率为＝.1.互斥事件①

,叫做互斥事件.

如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，那么就说A1，A2，…，An彼此互斥.2.对立事件如果两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生,那么这样的两个互斥事件叫做②

.通常事件A的对立事件记作,且有P(A)+P()=1.不可能同时发生的两个事件对立事件3.互斥事件的概率加法公式设A、B是两个事件，A+B表示这样的事件，如果在一次试验中A或B中至少有一个发生就表示该事件发生.

当A与B为互斥事件时,P(A+B)=③

.

一般的,若A1,A2，…,An彼此互斥,则有P(A1+A2+…+An)=④

.4.条件概率设A、B为两个事件,且P(A)>0,称⑤

.为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.P(A)+P(B)P(A1)+P(A2)+…+P(An)P(B|A)＝5.相互独立事件⑥

.，这样的两个事件叫做相互独立事件.6.相互独立事件同时发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=⑦

.一般的,如果事件A1、A2、…、An相互独立,则有P(A1·A2·…·An)=⑧

.事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响P(A)·P(B)P(A1)·P(A2)·…·P(An)题型一互斥事件的概率例1

一个口袋里共有7个白球4个红球，现在一次取出三个球，则这三个球中至少有一个红球的概率是多少？

（方法一）记“三个球中至少有一个红球”为事件A，“三个球中恰有一个红球”为事件A1，“三个球中有两个红球”为事件A2，“三个球全是红球”为事件A3，则A=A1+A2+A3,且这三个事件两两互斥,故得P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)==.(方法二)记“三个球全是白球”为事件,且是A的对立事件，则P()==,

故得P(A)=1-P()=.

在求某些稍复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求出此事件的对立事件的概率.

从标有1，2，3，4，5，6，7的7个小球中取出一个，记下它上面的数字，放回并搅动，再取出一球，记下它上面的数字，若两个数字之和大于11或两个数字之积小于11就能中奖，问中奖的概率是多少？

从7个小球中有放回地两次取球，两个数字之和大于11的概率是，两个数字之积小于11的概率是=,因为两个数字之和大于11与两个数字之积小于11是两个互斥事件，所以中奖的概率为+=.

本题是有放回地取球.如果是不放回地取球，则可用数对标记列举出来.题型二条件概率例2

在100件产品中有95件合格品，5件不合格品.现从中不放回地取两次，每次任取一件.试求：

(1)第一次取到不合格品的概率；

(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.

设A={第一次取到不合格品}，B={第二次取到不合格品}.(1)

P(A)==0.05.(2)根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB的概率.P(AB)=×=,所以有P(B|A)===.

1.在等可能性事件的问题中，求条件概率通用的方法是利用条件概率公式P(B|A)=

,这就需要求出P(AB)和P(A),用到原来的概率知识.2.本题中可以计算事件B的概率为P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=×+×==0.05,可见，条件概率P(B|A)≠P(B).题型三相互独立事件发生的概率例3

甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，试求：（1）两人都译出密码的概率；（2）两人都译不出密码的概率；（3）恰有1人译出密码的概率；（4）至多1人译出密码的概率.

设“甲译出密码”为事件A，“乙译出密码”为事件B，则A与B相互独立.(1)P(A·B)=P(A)·P(B)=×=.(2)P(·)=P()·P()=(1-)×(1-)=.(3)P=P(A·+·B)=P(A)·P()+P()·P(B)=×(1-)+(1-)×=.(4)P=1-P(A·B)=1-=.

要分清“互斥事件”与“相互独立事件”的概念，以及“互斥”与“独立”的概念.

如右图所示，开关电路中，开关S1、S2、S3开或关的概率均为,且是相互独立的,求灯亮的概率.

设事件A、B、C分别表示S1、S2、S3关闭，则S1、S2同时关闭或S3关闭时灯亮，即A·B·或

A·B·C或··C或·B·C或A··C发生,故P=P(A·B·

)+P(A·B·C)+P(··C)+P(·B·C)+P(A··C)=P(A)·P(B)·P()+P(A)·P(B)·P(C)+P()·P()·P(C)+P()·P(B)·P(C)+P(A)·P()·P(C)=5×()3=，即灯亮的概率为.

分类讨论时要注意不重复不遗漏.1.求复杂的互斥事件的概率,一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率的和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能性事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；二是间接求解法,先求出此事