概率论第二章练习答案解析

./《概率论》第二章练习答案一、填空题：1．设随机变量X的密度函数为f<x>=则用Y表示对X的3次独立重复的观察中事件<X≤>出现的次数,则P〔Y＝2＝。2.设连续型随机变量的概率密度函数为：ax+b0<x<1f<x>=0其他且EX＝,则a=_____-2___________,b=_____2___________。3.已知随机变量X在[10,22]上服从均匀分布,则EX=16,DX=124.设5.已知X的密度为P〔=P<X>>,则=,b=联立解得：6．若f<x>为连续型随机变量X的分布密度,则＿＿1＿＿＿＿。7.设连续型随机变量ξ的分布函数,则 P〔ξ=0.8=0；=0.99。8.某型号电子管,其寿命〔以小时记为一随机变量,概率密度＝,某一个电子设备内配有3个这样的电子管,则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。x≥100∴<x>=0其它P〔≥150=1－F<150>=1－[P<≥150>]3=<>3=9.设随机变量X服从B〔n,p分布,已知EX＝1.6,DX＝1.28,则参数n＝___________,P＝_________________。EX=np=1.6DX=npq=1.28,解之得：n=8,p=0.210.设随机变量x服从参数为〔2,p的二项分布,Y服从参数为〔4,p的二项分布,若P〔X≥1＝,则P〔Y≥1＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。解：11.随机变量X～N〔2,2,且P〔2＜X＜4=0.3,则P〔X＜0=＿＿0.2＿＿＿12.设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望=___4/3________13.已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布,则随机变量Z=3X－2的期望E<Z>＝3EX-2=3x2-2=4。14．设随机变量X服从参数为的泊松分布,且P<X=1>=P<X=2>则E<X>=__2_______.D<X>=__2___________.∴15.若随机变量ξ服从参数λ=0.05的指数分布,则其概率密度函数为：；Eξ=20；Dξ=400。16.设某动物从出生活到10岁以上的概率为0.7,活到15岁以上的概率为0.2,则现龄为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为17.某一电话站为300个用户服务,在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01,则在一小时内有4个用户使用电话的概率为P3<4>=0.168031解：一小时内使用电话的用户数服从的泊松分布18通常在n比较大,p很小时,用泊松分布近似代替二项分布的公式,其期望为,方差为19．,则＝＿1.8＿＿＿＿,＝＿＿4＿＿＿＿。〔将X标准化后查标准正态分布表二、单项选择：1．设随机变量X的密度函数为：f<x>=4x3,0<x<1f<x>=其他则使P<x>a>=P<x<a>成立的常数a=<A>〔其中0<a<1A． B． C． D．1－解：根据密度函数的非负可积性得到：2．设F1〔X与F2〔X分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F〔X＝aF1<x>－bF2<x>是某一随机变量的分布函数,在下列给它的各组值中应取〔AA．a=,b=－ B．a=,b=C．a=－,b= D．a=,b=－F<+>=aF1<+>-BF2<+>=13.已知随机变量的分布函数为F〔x=A+Barctgx,则：〔BA、A=B=B、A=B=C、A=B=D、A=B=解：要熟悉arctgx的图像4.设离散型随机变量X仅取两个可能值X1和X2,而且X1<X2,X取值X1的概率为0.6,又已知E〔X＝1.4,D〔X＝0.24,则X的分布律为 〔A.x01B.x12p0.60.4p0.60.4C.xnn+1D.xabp0.60.4p0.60.4①1.4=EX=0.6X1+0.4X2②DX=EX2-<EX>2联系①、②解得X1=1,X2=25．现有10张奖券,其中8张为2元,2张为5元,今某人从中随机地无放回取3张,则此人得奖金额的数学期望为 〔A．6元 B．12元 C．7.8元 D．9元设表示得奖金额,则其分布律为：6〔3张2元的9〔2张2元,1张5元的12〔1张2元,2张5元的P故期望值为：7.86.随机变量X的概率分布是：X1234Pab则：〔DA、a=,b=B、a=,b=C、a=,b=D、a=,b=7.下列可作为密度函数的是：〔BA、B、C、D、依据密度函数的性质：进行判断得出：B为正确答案8.设X的概率密度为,其分布函数F〔,则〔D成立。A、B、C、PD、P9.如果,而,则P〔=〔CA、B、C、0.875D、10.若随机变量X的可能取值充满区间＿＿＿＿＿＿,那么Sinx可以作为一个随机变量的概率密度函数。 〔BA．[0,] B．[0.5,] C．[0,1.5] D．[,1.5]依据密度函数的性质：进行判断得出：B为正确答案11.某厂生产的产品次品率为5%,每天从生产的产品中抽5个检验,记X为出现次品的个数,则E<X>为＿＿＿＿。〔DA．0.75 B．0.2375 C．0.487 D．0.25此题X服从二项分布b<5,0.05>,EX=np=5*0.05=0.2512.设X服从二项分布,若〔n＋1P不是整数,则K取何值时,P〔X＝K最大？ 〔DA．K＝〔n＋1P B．K＝〔n＋1P－iC．K＝nPD．K＝[〔n＋1P]解：根据二项分布的正态近似知,当X接近于EX=np时取到最大值,由于〔n＋1P不是整数,因此需要寻找最接近np的整数。13．设X服从泊松分布,若不是整数,则K取何值时,P〔X＝K最大？ 〔BA． B．[] C．－1 D．＋1解：根据二项分布的泊松近似,以及泊松分布的正态近似知：当EX=时取到最大值,因为不是整数,而K必须为整数,因此需要对取整14.,Y=2X－1,则Y~〔CA、N〔0,1B、N〔1,4C、N〔-1,4D、N〔-1,315.已知随机变量X服从参数为2的指数分布,则其标准差为：〔CA．2 B．1/4 C．1/2 D．随机变量的参数为2,即方差为1/4,标准差则为1/216．当满足下列〔条件时,二项分布以正态分布为极限分布更准确。〔DA．n〔二项分布的泊松近似B．C．D．17.设～,已知,,则和的概率分别为[C]A.0.0228,0.1587B.0.3413,0.4772C.0.1587,0.0228D.0.8413,0.97725三、计算题：1.设随机变量X的密度函数是连续型函数,其密度函数为：f<x>=AX0＜X≤1f<x>=B－X1＜X≤2其它试求：〔1常数A、B。〔2分布函数F〔x〔3P〔＜解：〔1由X为连续型随机变量,①同时：②①、②式联系解得：A=1,B=2〔2当;当;当x>2时,F<x>=1.〔32.设已知X~=,求：①P〔②F〔解：①②③3.设随机变量X的密度函数为：ax0<x<2f<x>=cx+b2≤x≤4其他已知EX＝2,P〔1<X<3＝,求a、b、c的值解：〔1①②③4．假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X〔单位：t,已知X服从[2000,4000]上的均匀分布,设每出售这种商品1t,可为国家挣得外汇3万元,但假如销售不出而囤积于仓库,则每吨需浪费保养费1万元,问应组织多少货源,才能使国家的收益最大？解：Y：每年该商品的出口量R：收益 X的密度函数：-,∴y=3500时,利益最大5．设某种商品每周的需求量X服从区间[10,30]上均匀分布,而经销商店进货量为[10,30]中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,每处理一单位商品亏损100元,若供不应求,则可从外部调剂供应,此时一单位商品仅获利300元,为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最小进货量？解：设进货量为a,则利润为：即：-7.52+350+5250≥9280解得：20≤≤26∴取最小=21上式：6.某高级镜片制造厂试制成功新镜头,准备出口试销,厂方的检测设备与国外的检测设备仍有一定的差距,为此,厂方面临一个决策问题：①直接进口,②租用设备,③与外商合资。不同的经营方式所需的固定成本和每件的可变成本如表：自制进口租赁合资固定成本〔万元1204064200每件可变成本〔元601008040已知产品出口价为200元/件,如果畅销可销3.5万件,中等可销2.5万件,滞销只售0.8万件,按以往经验,畅销的可能性为0.2,中等的为0.7,滞销的为0.1,请为该厂作出最优决策。解：设销量,,,,销量畅销3.5万件中等销售2.5万件滞销0.8万件概率0.20.70.1最优决策的含义是：利润最大化总成本=固定成本+销售量*可变成本为最优方案,即租用设备。7.某书店希望订购最新出版的好书,根据以往的经验,新书销售量规律如下：需求量〔本50100150200概率20%40%30%10%假定每本新书的订购价为4元,销售价为6元,剩书的处理价为2元,试确定该书店订购新书的数量。解：分析：当订货量大于需求量时,则多出的每本处理后亏损2元；当订货量小于需求量的时候,则卖出去一本就可以获利2元。针对不同的需求量和订货量的收益表如下：订需求量y收益50100150200概率y150y2100y3150y42000.20.40.30.11001001001000200200200-100100300300-2000200400故订100本较合理。8.若连续型随机变量X的概率是已知EX＝0.5,DX＝0.15,求系数a,b,c。解：解方程组得：9.五件商品中有两件次品,从中任取三件。设ξ为取到的次品数,求ξ的分布律、数学期望和方差。解：ξ的分布律为ξ012P1/106/103/10Eξ=1.2；Dξ=0.3610.某次抽样调查结果表明,考生的外语成绩〔百分制近似服从正态分布,平均成绩72分,96分的以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率。解：X~N〔72,2s 即：11.假设一电路有3个不同种电气元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间都服从参数为>0的指数分布,当三包元件都无故障时,电路正常工作,否则整个电路不能正常工作,试求电路正常工作的时间的概率分布。解：设Xi表示第i个电气之元件无故障工作的时间,i=1,2,3,则X1X2X3独立且同分布,分布函数为：设G〔t是T的分布函数。当t<0时,G〔t=012.设从一批材料中任取一件测出这种材料的强度X~N〔200,18,求：①取出的该材料的