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文档简介

在实际工作中，往往会出现所搜集的变量间存在较强的相关关系的情况。如果直接利用数据进行分析，不仅使模型变得很复杂，而且会带来多重共线性等问题。主成分分析提供了解决这一问题的方法。其基本思想是将众多的初始变量合成少数几个相互无关的主成分变量，而这些新的变量尽可能地包含了初始变量的全部信息，然后用这些新的来代替以前的变量进行分析。主成分分析的数学模型：用原始数据矩阵X的p个变量X1,…,Xp作线性组合用矩阵表示为主成分分析的数学模型：且满足：

矩阵U的每一行都是单位行向量，即

与Yj(i≠j,I,j=1,2,…,p)之间不相关

Yp是与Y1,Y2,…,Yp-1都不相关的X1,…,Xp的一切线性组合中方差最大的。

Y1,Y2,…,Yp的方差之和等于X1,…,Xp的方差之和。主成分的求解：主成分的求解过程就是求解转换矩阵U的过程

计算原始数据的协方差Σ

计算协方差Σ的特征根为λ1≥…≥λp≥0，相应的单位特征向量为T1,T2,…,Tp，由这些向量构成的矩阵记为T，即有正交矩阵T=（T1,T2,…,Tp)则可以证明：所要求的转换矩阵U就是特征向量矩阵T的转置，即U=T’。也就是说，所求的矩阵U的第i行就是样本协方差阵Σ的第i大特征根对应的单位特征向量Ti。同时可以证明：第i个主成分Yi的方差就等于样本协方差阵Σ的第i大特征根λ1主成分的方差贡献率：主成分分析把p个原始变量X1,…,Xp的总方差分解成了p个相互独立的变量Y1,Y2,…,Yp的方差之和主成分分析的目的是减少变量的个数，所以一般不会使用所有p个主成分，忽略一些带有较小方差的主成分将不会给总方差带来太大的影响。这里称为第k个主成分Yk的方差贡献率。第一主成分的贡献第最大，而Y2,Y3,…,Yp的综合能力依次递减。主成分的方差贡献率：若只取m(m<p)个主成分，则称为主成分Y1,Y2,…,Ym的累计贡献率。累计贡献率表明Y1,Y2

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