2008年高考试题分类（4）（数学-数列）

获取更多小初高课件、试题、教学资料和中高考真题备考资源，请加微信：tsat168获取更多小初高课件、试题、教学资料和中高考真题备考资源，请加微信：tsat16804数列一、选择题1．（北京7）．已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（C）A．30 B．45 C．90 D．1862．（广东4）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1=4,S4=20,则该数列的公差d=（B）A.7B.6C.3D.23．（宁夏8）设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=（C）A． B． C． D．4．（江西5）在数列中，，，则（A）A．B．C．D．5．（全国Ⅰ7）已知等比数列满足，则（A）A．64 B．81 C．128 D．2436．（福建3）设是等差数列，若，则数列前8项和为（C）Ａ．128 Ｂ．80 Ｃ．64 Ｄ．567．（上海14）若数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且各项的和为a，则的值是（B）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．Ｄ．8．(天津4)若等差数列的前5项和，且，则（B）A．12 B．13 C．14 D．159．（浙江4）已知是等比数列，，则公比=(D)（A）（B）（C）2（D）10．(重庆1)已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于(C)(A)4 (B)5 (C)6 (D)711．(陕西4)已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（B）A．64 B．100 C．110 D．120二、填空题1．（安徽15）在数列在中，，，,其中为常数，则－12．（宁夏13）已知为等差数列，，，则．153．（江苏10）将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910。。。。。按照以上排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为4．（四川16）设数列中，，则通项___________。三、解答题1．（安徽21）（本小题满分12分）设数列满足其中为实数，且（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）设，,求数列的前项和；（Ⅲ）若对任意成立，证明解(1)方法一：当时，是首项为，公比为的等比数列。，即。当时，仍满足上式。数列的通项公式为。方法二由题设得：当时，时，也满足上式。数列的通项公式为。(2)由（1）得由（1）知若，则由对任意成立，知。下面证，用反证法方法一：假设，由函数的函数图象知，当趋于无穷大时，趋于无穷大不能对恒成立，导致矛盾。。方法二：假设，，即恒成立（＊）为常数，（＊）式对不能恒成立，导致矛盾，2．（北京20）（本小题共13分）数列满足，（），是常数．（Ⅰ）当时，求及的值；（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．解：（Ⅰ）由于，且．所以当时，得，故．从而．（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：由，得，，．若存在，使为等差数列，则，即，解得．于是，．这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．（Ⅲ）记，根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，；当时，．所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时．因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，记，则满足．故的取值范围是．3．（福建20）（本小题满分12分）已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b,解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为b2=1,bn·bn+2-b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n〈0，所以bn-bn+2<b2n+14．（广东21）（本小题满分14分）设数列{an}满足a1=1,a2=2,an=(an-1+2an-2)(n=3,4,…)，数列{bn}满足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1bm+bm+1+…+bm+11.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn=nanbn(n=1,2,…)，求数列{cn}的前n项和Sn.解：（1）由得又，数列是首项为1公比为的等比数列，，由得，由得，…同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；当n为偶数时当n为奇数时因此当n为偶数时当n为奇数时当n为偶数时当n为奇数时（2）当n为偶数时当n为奇数时当n为奇数时，当n为偶数时，令……①①×得:……②①-②得:当n为偶数时当n为奇数时因此当n为偶数时当n为奇数时5．（江苏19）（16分）（1）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当时，求的数值；②求的所有可能值；（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。（1）①当n=4时,中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或。②当n=5时,中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得（*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1，，，……，满足要求。6．（江西19）等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且．(1)求与；(2)求和：．（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，，依题意有①解得或(舍去)故（2）∴7．（湖南20）数列满足（I）求，并求数列的通项公式；（II）设，，，求使的所有k的值，并说明理由。解：（I）因为所以一般地,当时，即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为（II）由（I）知，于是.下面证明:当时，事实上,当时，即又所以当时，故满足的所有k的值为3,4,5.8．（辽宁20）（本小题满分12分）在数列，是各项均为正数的等比数列，设．（Ⅰ）数列是否为等比数列？证明你的结论；（Ⅱ）设数列，的前项和分别为，．若，，求数列的前项和．解：（Ⅰ）是等比数列． 2分证明：设的公比为，的公比为，则，故为等比数列． 5分（Ⅱ）数列和分别是公差为和的等差数列．由条件得，即． 7分故对，，…，．于是将代入得，，． 10分从而有．所以数列的前项和为． 12分9．（全国Ⅰ19）（本小题满分12分）在数列中，，．（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．解：（1），，，则为等差数列，，，．（2）两式相减，得．10．（全国Ⅱ18）（本小题满分12分）等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和．解：设数列的公差为，则，，． 3分由成等比数列得，即，整理得，解得或． 7分当时，． 9分当时，，于是． 12分11．(山东20)（本小题满分12分）将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．（Ⅰ）证明：由已知，当时，，又，所以，即，所以，又．所以数列是首项为1，公差为的等差数列．由上可知，即．所以当时，．因此（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．因为，所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，故在表中第13行第三列，因此．又，所以．记表中第行所有项的和为，则．12．（上海21）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分．已知数列：，，，（是正整数），与数列：，，，，（是正整数）．记．（1）若，求的值；（2）求证：当是正整数时，；（3）已知，且存在正整数，使得在，，，中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100．【解】（1） ………………..2分 ∵ ………………..4分【证明】（2）用数学归纳法证明：当当n=1时，等式成立….6分假设n=k时等式成立，即那么当时，………8分 等式也成立.根据①和②可以断定：当…...10分 【解】（3） ………..13分 ∵4m+1是奇数，均为负数， ∴这些项均不可能取到100.………..15分 此时，为100.…………18分13．（四川21）（本小题满分12分）设数列的前项和为，（Ⅰ）求（Ⅱ）证明：是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式【解】：（Ⅰ）因为，所以由知得①所以（Ⅱ）由题设和①式知所以是首项为2，公比为2的等比数列。（Ⅲ）14．(天津20)（本小题满分12分）已知数列中，，，且．（Ⅰ）设，证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．（Ⅰ）证明：由题设，得，即．又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ），，，……．将以上各式相加，得．所以当时，上式对显然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．由可得，由得，①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得．所以对任意的，是与的等差中项．15．（浙江18）（本题14分）已知数列的首项，通项（为常数），且成等差数列，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）数列的前项的和的公式。（Ⅰ）解：由，得，又，，且，得，解得，．（Ⅱ）解：．16．（重庆22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分.（Ⅱ）小问6分）设各项均为正数的数列{an}满足.（Ⅰ）若求a3,a4,并猜想a2008的值（不需证明）;（Ⅱ）若对n≥2恒成立，求a2的值.解：（I）因a1=2,a2=2-2,故由此有a1=2(-2)0,a2=2(-2)4,a3=2(-2)2,a4=2(-2)3,从而猜想an的通项为,所以a2xn=.(Ⅱ)令xn=log2an.则a2=2x2,故只需求x2的值。设Sn表示x2的前n项和，则a1a2…an=,由2≤a1a2…an＜4得≤Sn＝x1+x2+…+xn＜2(n≥2).因上式对n=2成立，可得≤x1+x2，又由a1=2,得x1＝1,故x2≥.由于a1=2，(n∈N*),得(n∈N*),即，因此数列｛xn+1+2xn｝是首项为x2+2,公比为的等比数列，故xn+1+2xn=(x2+2)(n∈N*).将上式对n求和得Sn+1－x1+2Sn=(x2+2)(1++…+)=(x2+2)(2－)（n≥2）.因Sn＜2，Sn+1＜2（n≥2）且x1=1,故(x2+2)