报告6-预应力混凝土连续刚构桥的参数优化

“高墩大跨预应力混凝土连续刚构桥设计与施工关键技术研究”项目研究报告之六预应力混凝土连续刚构桥参数优化研究“高墩大跨预应力混凝土连续刚构桥设计与施工关键技术研究”课题组200“高墩大跨预应力混凝土连续刚构桥设计与施工关键技术研究”项目研究报告之六预应力混凝土连续刚构桥参数优化研究报告撰写：方志李明艳报告审核：曹传林湖北沪蓉西高速公路建设指挥部湖南大学土木工程学院（代章）中交第二公路勘察设计研究院200

目录一．研究背景及研究内容………………1二．工程结构优化理论概述……………5三．预应力混凝土连续刚构桥的参数优化……………19四．遗传算法与神经网络在预应力连续刚构桥参数优化中的应用…36五．结论…………………56一．研究背景桥梁结构设计的基本思想是安全、适用和经济。在长期的设计实践中，由于结构分析的复杂冗长，使大跨径桥梁结构的优化设计主要依靠人们积累起来的经验，以进化的方式进行。尽管早在19世纪中期就出现了现代意义上的结构优化设计理论，但将其应用于桥梁结构设计的相关研究却出现较晚。国外在20世纪60年代有了桥梁结构优化设计的研究，而我国直到20世纪70年代末才开始有这方面的研究。这是因为桥梁结构设计变量多，活载复杂难于处理，需要大容量的计算机和很长的运行时间，开展的最早也最为成熟的是桁架桥的优化设计。而对大跨度桥梁的优化设计的研究却是在20世纪末大跨度桥梁飞速发展后才发展起来的。预应力混凝土连续刚构桥是一种比较复杂的结构体系，结构的设计参数对连续刚构桥的性能有重大影响，并且参数之间为耦合作用。本文试图通过对预应力混凝土连续刚构的参数优化找到选择连续刚构设计参数的方法或依据，以便辅助工程结构设计。桥梁结构设计本着安全、适用、经济和美观的原则。传统的桥梁结构设计主要采用定值设计的方法进行试算，依靠人们长期积累的工程经验。主要是因为目前的桥梁优化设计存在着以下几点不足：(1)传统的结构优化主要是针对单个构件进行的，但是在桥梁结构优化中，把各个构件独立优化后拼凑起来的结构体系不一定是最优的，这是因为将一个结构体系各个构件分别处理就割裂了体系中各个构件之间的约束关系，因而他们就不再是一个完整的结构体系，不能考虑各个构件间的协调关系。(2)在传统的优化方法中，目标函数和约束方程都是确定性的，无法考虑实际工程中的偶然因素和不确定因素。桥梁结构设计中的众多不确定因素使得传统优化方法很难找到实际的最优。(3)桥梁结构设计中的目标函数大多是隐式函数，并且高度的非线性，这给优化问题的求解带来了难题。基于上述原因，有必要对预应力混凝土连续刚构桥进行参数优化，并对桥梁结构的优化方法进行研究，以便在前期设计中帮助人们进行桥梁选型。节约设计时间，取得社会及经济效1.1 工程结构优化概述结构优化按照不同要求与求解难度，通常分为三个层次：截面尺寸优化、形状优化、拓扑与布局优化。目前结构构件截面优化已比较成熟，不论用力学准则法、数学规划法、或是两者结合，一般能成功的解决，这方面的研究已经很多。形状优化是通过调整结构内外边界形状来改善结构性能和达到节省材料的目的。结构形状优化从对象上区分，主要有桁架框架类的杆系结构和块体、板、壳类的连续体结构。杆系结构的形状优化，一般选择节点坐标作为设计变量，但通常同时考虑截面尺寸与结构形状优化，此时出现构件尺寸与结构几何形状二类设计变量，因此优化方法与策略总体上分为两类。一类方法是将两类变量统一同时处理，采用无量纲化，构造近似问题。另一类方法是把尺寸变量与几何变量分成两个设计空间，分别对两类变量交替优化，即每步固定一类变量只对另一类变量进行优化，两步间通过迭代协调，又称分步优化方法。结构拓扑优化可以提供给人们意想不到的设计方案，这是结构优化设计中具有吸引力的研究领域。1904年，Michell提出的Michell桁架理论及1977年由Prager建立的经典布局理论为结构拓扑、布局优化研究奠定了理论基础，提供了最优解的下限。但真正的拓扑优化是从Dorn等提出基结构的概念后开始的。拓扑优化研究比较成熟的领域是桁架的拓扑优化。关于结构尺寸优化的研究工作已经比较成熟，因此研究者们采用了在尺寸优化的基础上进行拓扑优化的研究思想，即取杆件的截面面积为设计变量，通过杆件面积取零值来实现结构的拓扑优化。程耿东等主要基于变厚度法对离散体和连续体的局部应力约束下的强度拓扑优化设计进行研究。隋允康、杨德庆和孙焕等提出了基于ICM(独立、连续映射变量)方法的优化模型，建立离散变量和连续变量拓扑优化的统一模型，并试图将刚度拓扑优化和强度拓扑优化统一起来。隋允康和于新等研究了基于有无复合体模型的应力约束下平面连续体的拓扑优化。吴长春和袁振等人研究了非协调元和杂交元方法在结构强度拓扑优化中的应用。在一般的线弹性小变形情况下，强度拓扑优化和刚度拓扑优化能获得很相似的设计结果。但事实上强度拓扑优化有应力不连续和奇异最优解的问题,因而强度拓扑优化要比刚度拓扑优化更困难一些。求解拓扑优化的方法主要有均匀化法和变密度法。程耿东与刘书田研究了复合材料应力分析的均匀化方法；吴长春和袁振研究了复合材料周期性线弹性微结构拓扑优化设计问题。其他的结构拓扑优化方法主要有以下几种。(1)进化结构法(ESO)基于进化策略，在优化过程中逐渐移去结构中的材料来获得优化结果，但优化效率较低。(2)泡泡法实际上是连续体形状优化中边界变分法的推广，同时考虑了拓扑形式，它在设计域中不断插入新的空洞并由形状优化来获得空洞的最优形状和空洞的边界形式，通过一些特征函数来决定已知形状的空洞在结构中的最优位置。(3)水平集方法中，优化问题通过一个嵌入到高维尺度函数中的隐式移动边界来表示。(4)基结构法更适合于桁架和框架结构的拓扑优化。1.2优化算法综述为了将结构优化技术付诸实用，除了建立可靠的优化模型外，还需要选择收敛速度快且计算不是很复杂的优化算法。采用适当的优化算法求解数学模型，可归结为给定条件下求目标函数或最优值问题，实际工程优化问题中，约束条件和目标函数不仅可能是非线性的，而且可能是隐式的，优化算法的选用至关重要。传统的优化算法已经发展很成熟，例如，规划法和准则法的用法已经研究的非常透彻并且应用于各个领域的优化计算中。随着仿生学的巨大发展人们对生物进化现象产生了浓厚的兴趣，人们针对这一领域的研究也越来越多。目前模拟自然界进化的算法有模仿自然界过程算法与模仿自然界结构算法，主要是基因遗传算法、模拟退火算法和神经网络算法。遗传算法是近年来迅速发展起来的一种全新的随机搜索与优化算法，其基本思想是基于达尔文的生物进化理论。遗传算法的研究主要包括三个领域：遗传算法的理论与技术；用遗传算法进行优化；用遗传算法进行分类系统的机器学习。遗传算法模拟了自然选择和遗传中发生的复制、交叉和变异等现象，从任一初始种群出发，通过随机选择、交叉和变异操作，产生一群更适应环境的个体，使群体进化到搜索空间中越来越好的区域，这样一代一代的不断繁衍进化，最后收敛到一群最适应环境的个体，求得问题的最优解。遗传算法是一种通用而有效的求解最优化问题的方法。然而，单用遗传算法在许多情况下不是十分有效，容易产生早熟现象以及局部寻优能力较差等问题，于是提出了很多种混合算法。如，遗传爬山法、遗传模拟退火算法、神经网络遗传算法等等，并且都取得了良好的优化效果。神经网络是由大量的神经元广泛互连而成的网络。它可以通过研究系统过去的数据记录进行训练，一个经过适当训练的神经网络具有归纳全部数据的能力。因此，神经网络能够解决那些由数学模型或描述规则难以处理的控制过程问题。根据连接方式的不同，神经网络可分成两大类：没有反馈的前向网络和互相结合性网络。前向网络由输入层、中间层(隐层)和输出层组成，中间层可有若干层，每一层的神经元只接受前一层神经元的输出。而相互连接型网络中任意两个神经元间都有可能连接，因此输入信号要在神经元之间反复往返传递，从某一初态开始，经过若干次的变化，渐渐趋于某一稳定状态或进入周期振荡等其他状态。目前虽然已有数十种的神经网络模型，但已有的神经网络可分成三大类，即前向网络、反馈网络和自组织网络。模拟退火算法是在计算机上对固态或液态混合物加热后再冷却的退火过程的模拟，即从某一温度开始，对某一随机选取的系统状态进行扰动，每次随机选取一个小的扰动，计算它对系统能量的影响，通过多次重复这样的小扰动来模拟该温度下系统的热平衡方程，然后让温度逐渐缓慢下降，寻找材料在低温下的基态。并用统计力学计算排列组态及其性质。模拟退火算法能够处理连续－离散－整数设计变量的非线性规划问题，因不使用梯度和二阶倒数值，不要求函数连续可微，能寻求到全局最优点。1.3桥梁优化研究现状徐永明对斜拉桥进行造价优化，将强度、刚度和构造要求作为约束函数，造价作为目标函数。刘帮俊利用ANSYS计算软件对桥梁进行拓扑优化。禹智涛以桥梁可靠度为控制参数，以安全、适用和经济为基本原则进行优化。对预应力混凝土连续刚构所作的优化工作有：李杰收集已建实桥，通过统计分析得到连续刚构桥设计参数的取值范围。张孟喜针对某桥的施工及成桥阶段对桥墩进行了优化分析。安蕊梅对斜腿刚构桥的几何布局进行优化，其中包括对斜腿刚构桥的边中跨比和斜腿倾角两个参数的优化。高荣雄对桥跨分孔和斜腿倾角进行了优化。李衡山对连续刚构桥薄壁墩参数进行了造价优化。1.4本文研究的主要内容(1)对已建的国内外预应力混凝土连续刚构桥的主要设计参数如边中跨比值、梁底曲线指数、梁高、板厚等参数进行收集和整理，找到各个参数的经验取值范围，为后面优化算法中约束条件的取法提供依据。(2)介绍了工程结构优化的发展概况，重点介绍了仿生学算法(遗传算法、神经网络和模拟退火算法)的发展概况，并对桥梁结构的优化进行了综述。二．工程结构优化理论概述2.1概述优化设计是上世纪60年代发展起来的一门新的学科，这种设计方法是数学规划与现代电子计算机技术相结合的产物。优化计算是计算力学的一个分支，致力于研究高效率的改进结构设计的方法，以便设计出既经济又可靠的结构。一般工程设计问题都有许多种可行的设计方案，如何根据设计任务和要求，在众多的可行方案中寻求一个最好的方案，即最优方案，是设计人员的首要任务。要完成这样的任务，必须掌握先进可靠的设计方法。然而长期以来设计工作一直沿用经验类比设计方法。通过多次反复的“设计－分析－再设计”的过程，才可能得到一个较为满意的设计方案，显然这个设计过程是人工试凑与类比分析的过程，不仅需要花费较多的时间，增长设计周期，而且只限于在少数候选方案中进行比较分析。所以这种方法虽然可能获得较好的方案，但是由于设计过程缺乏严格、科学的定量分析计算，一般很难得到近乎最优的设计方案，特别是对于影响因素很多的复杂设计问题更是如此。所谓最优化，是指在满足某种限制条件下达到给定目标的最佳结果。最优化技术目前已深入应用到各个生产和科技领域，如机械工程、土木工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划和经济管理等。所谓优化设计，就是用优化法作设计。又将其定义为：“(结构的)优化设计就是使结构系尽力设计的合理，使其在某种定义的目标函数之内，充分满足所规定的若干技能上的要求。”结构优化设计则是从符合结构使用功能上的要求并满足结构强度、稳定性和刚度要求的所有可行设计中，相对设计者预定的标准，找出最优的设计方案。通常的设计都是针对具体结构工程的设计要求，根据经验和判断并借鉴已有的工程设计，提出结构设计方案，然后进行强度、稳定性、刚度等方面的验算，校核是否安全和可行。设计者可根据计算结果对结构布局、构件尺寸乃至所用的材料进行修改，以便获得更合理的设计方案。从一定意义上说这也是一种优化过程，但这样得到的改进是有限的，虽然有实践经验和结构分析数据作为背景，但缺乏更严密的优化理论指导。结构优化设计则是将最优化技术的数学理论用于结构设计，建立优化设计模型，选择合适的优化方法，从而得到优化后的结构设计。结构最优设计方法，通过先给出评价设计最优性的信息(目标函数)，进行结构的状态变量(应力和位移)分析的同时，用最优化方法使设计变量自动的改善，使它们充分满足约束条件，使目标函数达到最大值或最小值，以决定最优设计的诸因素。这样，不仅过去设计上的计算部分，而且以前要由设计者进行分析、判断和决定的大部分工作也能够让计算机来自动进行，设计者可以把注意力转移到更富有创造性的工作上去。那么即使是没有很多实际经验的设计者也能设计出最优化的结构。结构优化分为两个层次，即总体方案优化和设计参数优化。总体方案优化是总体布局、结构或系统的类型以及几何形式的优化设计，设计参数优化是在总体方案选定之后，对具体设计参数(几何参数、性能参数等)的优化设计。结构优化设计的基本原理与方法2.2.1优化问题分类结构优化按照不同要求与求解难度，通常可划分为三个不同层次：截面尺寸优化、形状优化、拓扑与布局优化。目前结构构件截面优化已比较成熟，不论用力学准则法、数学规划法或者两者结合，一般都能成功地解决。结构形状优化是通过调整结构内外边界形状来改善结构性能和达到节省材料地目的。结构形状优化从对象上区分，主要有桁架框架类的杆系结构和块体、板、壳类的连续体结构。对于杆系结构的形状优化，一般选择节点坐标作为设计变量，但通常要同时考虑截面尺寸与结构形状优化，此时出现构件尺寸与结构几何形状两类设计变量，因此优化方法与策略分为两类。一类方法是将两类变量统一同时处理，采用无量刚化，构造近似问题求解。这类方法的优点是可以同时考虑两类变量的耦合效应，缺点是设计变量数较多、计算工作量较大。另一类方法是把尺寸变量和几何变量分成两个设计空间，分别对两类变量交替优化，即每步固定一类变量只对另一类变量进行优化，两步间通过迭代协调，又称为分布优化方法。优点是避免两类不同性质的变量可能产生的数值病态，每步的优化规模较小，容易求解。对于连续体结构，结构物的边界形状常采用适当的曲线或曲面方程、或一组基函数再附加可以自由变化的参数来描述，此时形状优化就可以选择这些自由参数作设计变量。与形状优化和截面尺寸优化相比，拓扑和布局优化的难度最大，亦最具有挑战性，它探讨结构构件的相互连接方式，结构内有无孔洞、孔洞的数量、位置等拓扑形式，使结构能在满足有关平衡、应力、位移等约束条件下，将外荷载传递到支座，同时使结构的某种性态指标达到最优。拓扑优化的主要困难在于满足一定功能要求的结构拓扑具有很多种甚至无穷多的形式，而且结构的这种拓扑形式难以定量描述或参数化，同时由于需要设计的区域预先是未知的，于是更增添了问题的难度。拓扑优化问题分为离散结构的拓扑优化和连续结构的拓扑优化。对于离散结构的拓扑优化可以采用基于截面积为拓扑变量的模型，将拓扑优化转化为尺寸优化问题。连续结构的拓扑优化一般使用均匀化方法。2.2.2优化问题分析方法分类实际设计中的优化分析主要有数值分析方法和优化理论的分析，以下予以叙述。优化问题可用如下不同方法分类：按是否有约束分类。如前所述，取决于问题中有无约束，任何优化问题可分为有约束或无约束两种。按设计变量性质分类。根据遇到的设计变量的性质，优化问题可分为两大类别。第一类问题为寻找一组设计参数值，使在满足一定约束条件下，这些参数的某规定函数达极小。第二类问题的目的是寻找一组设计参数(这些设计参数是一些其他参数的连续函数)，在满足规定的约束条件下使目标函数极小。这类优化问题不仅取决于一组变量，而且取决于在某类空间中设计变量的轨迹，这就是所谓轨迹优化问题或动态优化问题。按问题的物理结构分类。根据问题的物理结构，优化问题可分为最优控制问题和非最优控制问题。最优控制问题。一个最优控制问题通常可用两类变量描述，即控制变量(设计变量)和状态变量。控制变量调节系统从一阶段到另一阶段的演变，而状态变量描述系统在任一阶段的形态。明确地说，最优控制问题是包含若干个阶段地数学规划问题，这里每一阶段都是由前一阶段按确定方式演变来的。问题是要求一组控制或设计变量，在满足于对状态变量和控制变量有关的一定约束条件下，使总的目标函数在整个l个阶段为极小。此问题可叙述如下：求X，使(2.1)极小，满足约束，(2.2)，(2.3)，(2.4)这里是第i个控制变量，是第i个状态变量，是第i阶段对总目标函数的作用，、分别为的函数。按所包含方程式的特性分类。这种优化问题分类方法是根据目标函数和约束函数表达式的特性来分。按这种分类法，优化问题可分为线性规划，非线性规划，几何规划和二次规划问题。从计算观点来说，这种分类法很有用，因已研究出的很多方法仅对某一类问题能有效的求解。因此设计师的首要任务是研究遇到的问题的类别，这将确定于解决该问题的解法步骤。(1)非线性规划问题若在式求，使极小(2.5)满足约束(2.6)其中目标函数和约束函数的任一个函数是非线性的，则此问题称非线性规划问题。这是一类最普遍的规划问题，且所有其他问题均可看作非线性规划问题的特殊情况。(2)几何规划问题。若h可表示为下面指数项(i从1变化到N)之和。式中和为常数，且及。这样，一个正多项式可表示为(2.7)则函数称为正多项式。几何规划问题是目标函数和约束函数可表示为X的正多项式的规划问题。故几何规划问题可如下提出：求X，使(2.8)极小，满足于(2.9)式中分别指目标函数和第j个约束函数中正多项式的项数。(3)二次规划问题目标函数为二次，约束为线性的非线性规划问题称二次规划问题。一般形式如下：求X，使(2.10)为极小，并满足于(2.11)(2.12)这里为常数。按设计变量容许取值来分类。根据设计变量容许的取值，优化问题可分为整数规划问题和实数规划问题。若优化问题中几个或全部设计变量只能限于取整数(或离散值)，这种问题称为整数规划问题。另一方面，若所有设计变量可取任何实数，这种优化问题成为实数规划问题。按包含变量确定性的性质分类。根据所包含变量的确定性的性质，优化问题可分为确定性规划问题和随机规划问题。当某几个或全部参数(设计变量或预先给定的参数)是概率性的(不确定的或随机的)优化问题称随机规划问题。按函数的可分离性分类。按目标函数和约束函数的可分离性，优化问题可分为可分离规划问题和不可分离规划问题。根据目标函数的个数分类。根据极小化的目标函数个数，优化问题可分为单目标和多目标规划问题。多目标规划问题可这样描述：求X，使极小化，满足于(2.13)这里表示应同时极小化的目标函数。非线性规划、线性规划、几何规划、二次或整数规划方法，可用来求解正如方法名称表示的特殊种类问题。所有这些方法都是数值方法，它们从一初始解开始以迭代方式搜索一个近似解。非线性规划是最一般的优化方法，可用它来求解任何优化问题。当两个或更多个对手为达到有抵触的目的而竞争时，就是一个对抗问题。一般来说，这种问题中，一个对手的失利意味这其他对手的得益。当然，此时目标函数取决于一组控制变量及不受控制变量，而不受控制变量取决于对手的策略。这种优化问题可用对策论求解。2.2.3随机性的优化算法随机性，即非确定性的优化算法，优化步骤在一定程度上依赖于概率事件。遗传算法即属于随机性的优化算法，遗传算法的特点可以从它和传统的搜索方法的对比以及分析它和若干搜索方法的亲近关系充分体现出来[41]。遗传算法具有很强的鲁棒性，这是因为与传统的优化搜索方法相比，它采用了许多独特的方法和技术[39,54]。(1)遗传算法对参数编码集起作用，而不是对参数本身起作用。遗传算法的处理对象不是参数本身，而是对参数集进行了编码的个体。此编码操作，使得遗传算法可直接对结构对象进行操作。(2)遗传算法的优化过程是从点集开始的，而不是从单点开始的。许多传统搜索方法都是单点搜索算法，即通过一些变动规则，问题的解从搜索空间中的当前解移到另一解。这种点对点的搜索方法，对于多峰分布的搜索空间常常会陷入某个单峰的局部最优解。相反，遗传算法是采用同时处理群体中多个个体的方法，即同时对搜索空间中的多个解进行评估。(3)遗传算法在搜索过程中只使用评价函数，而不是导数或其他辅助信息。许多优化方法需要用到辅助信息使搜索过程顺利进行，如梯度法要用到导数信息确定达到峰顶的方向。在遗传算法中，基本上不用搜索空间的知识或其他辅助信息，而仅用个体适应值来评估个体，并在此基础上进行遗传操作。遗传算法的适应值函数不仅不受连续可微的约束，而且其定义域可以任意设定。对适应值函数的唯一要求是：对于输入，可计算出能进行比较的正的输出。对于不同类型的优化问题，传统方法需要不同形式的辅助信息，没有一种优化方法能适应各类问题的要求。(4)遗传算法使用概率转换规则而不使用确定性规则。与其他方法不同，遗传算法使用概率转换规则来调整搜索“路径”，各编码串集合之间没有统一的联系规律。遗传算法的具体应用将在第四章讲述。2.2.4有约束的非线性规划有约束优化问题可用下面的标准形式表示：求X使并满足约束条件解有约束非线性规划问题的方法有很多种，可以将它们分成两大类，即直接法和间接法，见图2.1图2.1有约束优化方法分类直接法中，直接处理约束条件。而在大多数间接法中，是将约束问题变换为一个序列的无约束问题而求解。直接法有下列三种：(1)直觉搜索法直觉搜索法没有更多的理论依据，最为直观。(2)约束近似法这类方法将非线性目标函数和约束函数在某点线性化，然后用线性规划方法解此近似的线性规划问题。其后用求出的解再次构造一新的线性近似问题，再用LP方法求解，继续进行，直到满足规定的收敛准则为止，属于本类的两种方法即割平面法和近似规划法。(3)可行方向法可行方向法能依次沿适用的可行方向产生一系列改进的可行向量X，所谓可行方向就是沿该方向至少能移动一小步而不离开可行域。一个适用的可行方向是指沿该可行方向至少能使目标函数有所下降。可行方向法中，每次迭代包含两个重要步骤，第一步是对一个指定的点找出一个适用的可行方向，第二步是沿第一步找到的适用可行方向求一合适的步长。间接优化方法有以下两种：(1)变量变换法有些约束优化问题的约束方程是决策变量的简单的显函数。在这些情形中，有时可以通过变量变换使约束自动满足。另外一些情况下，在优化进程中可能知道哪些约束对最优点是起作用的，这时可用约束方程将某些变量从问题中消去。(2)罚函数法有两类罚函数法，即内点罚函数和外点罚函数法。这两类方法都是将约束问题变换为一个序列的无约束极小化问题，求解这个序列的无约束极小化问题就可找出约束极小化。内点罚函数中，无约束极小点都在可行域内部，它是可行域内部收敛到约束极小点的。外点罚函数法中，无约束极小点的序列在不可行域中，它是从可行域外部收敛到所要求的解的[53]。多目标最优化在实际问题中，常常需要研究在某种限制条件下，同时考虑多个目标的最优化问题，多个目标之间大多数是相互冲突的。把一组决策变量用向量形式记作。如此，m个目标函数可表为，约束函数可表为和。也可以再用向量形式来表示m个目标函数：(2.14)并称f(x)为模型的向量目标函数。在几何上，决策变量的一组取定值对应n维欧氏空间中的一个点，一个向量目标函数f(x)对应到的一个映。此外，把满足约束条件的点x叫做考虑模型的可行解或可行点，由所有可行解所组成的集合叫做可行域或约束集。求解多目标极小化模型的一个重要和基本的途径，是根据问题的特点和决策者的意图，构造一个把m个目标转化为一个数值目标的评价函数。通过它对m个目标的“评价”，把求解多目标极小化问题归结为求解与之相关的单目标(数值)极小化问题。这种借助于构造评价函数把求解的问题归为求的最优解的方法，统称为评价函数法。一般说来，采用不同形式的评价函数可求得多目标极小化问题的不同意义下的解，这时也就对应了一种不同的求解方法。2.3.1线性加权和法根据各个目标在问题中的重要程度，分别赋予它们一个数并把这个数对应地作为各目标的系数，然后把这些带系数的目标相加来构造评价函数。极小化由该评价函数所构成的数值函数，其最优解即作为原多目标极小化问题的解。具体地说，对于多目标极小化问题，设给定一组与各目标对应的非负数：(2.15)(2.16)其中各的大小代表相应目标在多目标中的重要程度(越大表示在多目标中越重要)。把各目标带上相应的系数得到，再对它们求和，作出如下的评价函数：(2.17)通过这个评价函数，便可以把m个目标函数综合起来转化为一个数值函数，如式2.18：，(2.18)使各目标值尽可能的小，即极小化式(2.18)，即求解(2.19)其最优解便是按各目标重要程度的意义下，使各目标值尽可能小的解。通常，把评价函数中反映重要程度的各个数叫做对应项的权系数(一般还要求使之规范化)，由一组权系数组成的向量叫做权向量或简称为权。由于上述方法的主要特点是，对各目标“加权”之后以其线性和作为评价函数，故叫做线性加权和法。它的求解步骤归纳如下：第1步：给出权系数。按各目标在多目标中的重要程度，给出一组对应的权系数(要求)。第2步：极小化线性加权和函数。通过线性加权和评价函数把多目标归为求解数值极小化问题，得到最优解。2.3.2极大极小法该方法对各个目标来说是最不利的情况下找出最有利的解。具体地说，对于多目标极小化模型，可以用各个目标中的最大值作为评价函数的函数值来构造它，即取(2.20)为评价函数，其中。通过式(2.20)把求解多目标极小化归结为求解数值极小化问题(2.21)并把它的最优解作为多目标极小化模型的解。这种求解方法的特点是，对各目标函数作极大值选择之后，再在可行域上进行极小化，故叫做极大极小法。为了在评价函数中反映各目标的重要程度，一般我们考虑比式(2.20)更一般的带权系数的情况。设对应于目标的权系数为，则可取评价函数为(2.22)于是，求多目标极小化模型相应地可归为求解数值极小化问题(2.23)极大极小化步骤：(1)给出权系数。按各目标在多目标极小化模型中的重要程度，确定相应的权系数(要求)(2)极小化辅助问题。求解(2.24)设得最优解，输出x*。2.3.3理想点法该方法先分别求出各目标函数的极小值，然后让各目标尽可能接近各自的极小值来获得它的解。设对多目标极小化模型的m个分目标函数极小化后各自得到最优解，即(2.25)如果各个均相同，则记。因为是的最优解，故有(2.26)这说明为多目标极小化模型的绝对最优解，因而即为所求的解。在一般情形，设各个不全相同，并记。(2.27)由于各个最小值分别是对应目标最理想的值，故通常把由它们组成的目标空间中的点(2.28)叫做多目标极小化模型的理想点。在目标空间中引进某个模，并考虑在这个模的意义下目标f与理想点f*之间的“距离”(2.29)以式(2.29)为评价函数，把求解多目标极小化模型的问题归为求解数值极小化问题(2.30)则上述极小化问题的最优解，就是在问题的可行域X内目标f(x)与理想点f*之间的“距离”尽可能小的解。因为这类求解方法主要是利用了使用所考虑的目标尽可能接近问题的理想点这一思想，故叫做理想点法。2.3.4确定权系数的几种方法2.3.4.1此法是确定刻划各目标重要程度的权系数的一种方法。它主要是根据m个目标的极小点信息，借助于引进一个辅助参数的思想，通过求解一个m+1阶线性方程组来确定出各目标的权系数。具体地说，对于多目标极小化模型，现在其可行域上极小化各目标函数，设得极小点：(2.30)利用可以计算出个目标值(2.31)现在，引进参数并作如下关于和的m+1阶线性方程组(2.32)设前m个方程的系数矩阵(2.33)可逆，这时可求得的唯一解为(2.34)其中是m维向量，是的逆矩阵。式中的各即为所求的一组权系数。由于这一确定权系数的办法在形式上是通过引进一个辅助参数进行的，故叫做－法。其实，在进行求解时并没有用到这个，也不需要去解方程组。我们只要在求得各目标的极小点之后，就可算得一组权系数。2.3.4.2均差排序法仍然利用m个目标的极小点信息来确定各目标的权系数，但为了保证所得到的权系数为非负数，现在采用目标关于各极小点的某种平均离差来表述。如－法那样，现在可行域X上求出各目标函数的极小点：。(2.35)利用这m个极小点，可以算出第个目标关于各个极小点的离差(2.36)特别地，当j＝i时，有(2.37)因为是的极小点，故一般有(2.38)设各不全同(否则，若，则已求得多目标极小化模型得绝对最优解)，这时对于至少存在一个使，因此由式(2.38)式可知一般至少有一使。由于除式(2.36)外，第i个目标关于其他各目标的极小点的离差共为m－1个，对这些离差作算术平均可得第i个目标关于各极小点的平均离差，(2.39)并且从式(2.38)可知。为了使平均离差较大的目标对应较小的权系数，平均离差较小的目标对应较大的权系数，我们把由(2.39)所确定的各平均离差依大小进行排序。设有(2.40)(其中，那么我们可取(2.41)作为与目标对应的权系数。可以验证，当m=2时，上述的均差排序法实际上就是－法，但当m>2时它们一般并不相同。这种用平均离差来确定权系数的方法，具有计算简单和保证所得的权系数为非负的特点。但由于仅仅是按平均离差的逆序来确定的，它只能较粗略的描述出各目标的相对重要程度。2.3.4这是一种凭借经验评估，并结合统计处理来确定权系数的方法。这种方法不限于对目标来确定权系数，也可用于在一些求解方法中对某些形式的项的重要程度来确定权系数。首先，我们要选聘一批对所研究的问题由充分见解的L个老手(他们是专家或是丰富经验的实践工作者)，请他们各自独立的对问题中要确定重要程度的m个事项给出相应的权系数。设第位老手提供的权系数方案为(要求)，则汇集这些方案后可列出一个权系数的方案表，表中的最后一行是L个权系数方案的均值或权系数的数学期望估计值。(2.42)表中的最后一列是各老手所提供的权系数和权系数均值的偏差或方差估值(2.43)设给定允许误差，我们来检验由式(2.43)确定的各方差估值。如果上述各方差估值的最大者已不超过规定的s，即若(2.44)则说明各老手所提供的方案没有显著的差别，因而是可接受的，这时，我们即以式(2.42)所确定的一组权系数均值作为各对应项(2.45)的权系数。如果式(2.44)不满足，那么我们需要和哪些对应于方差估值大的老手进行协商。充分交换意见，消除误解(但不交流各老手所提供的权系数方案)，然后，让他们重新调整系数方案，并将它们再列入权系数方案表。重复上述过程，最后得到一组满意的权系数均值作为问题的权系数。此法比较实用，但一般要求老手的人数不能太少。检验各老手所提供的权系数和权系数均值的偏差的式(2.43)也可用(2.46)或其他形式的条件取代之[55]。2.3.4.4判断矩阵法当某问题中需要确定的权系数的项数非常多时，人们往往难于对所有各项的重要程度一揽子的作出有把握和正确的判断。但是，对于两两各事项之间的重要程度要作出比较判断，一般的说却是比较容易的。鉴于此，这里给出一种通过比较两两各事项间的重要程度的信息，最后确定出与所有各事项对应的权系数的方法。先引进事项相对于事项的判断数如下：——相对于同样重要；——相对于稍为重要；——相对于明显重要；——相对于非常重要；——相对于极端重要；＝2，4，6，8依次表示相对于的重要程度介于1，3，5，7，9之间。为了确定某问题中个事项的权系数，我们把由所有事项相对于事项的判断数为元素组成的m×m方阵(2.47)叫做该问题的判断矩阵。按照这一定义，在任一判断矩阵中显然都有(2.48)因此，要给出某问题的判断矩阵，只要给出其中右上角的个判断数即可。下面利用已知的判断矩阵给出问题的各事项的权系数。因为问题中的第i个事项相对于其他各事项的判断数表示事项相对于其他各事项的重要程度，故事项在整个问题中的重要程度可由这些两两重要程度的几何平均给出，即(2.49)将上述各数规范化，便得到问题的一组权系数[55](2.50)2.4本章小节(1)总结了工程结构优化的种类和优化问题的分析方法。并列举出优化方法的分类。(2)介绍了多目标优化的方法，以及计算多目标时应该注意的问题。三.预应力连续刚构桥的参数优化3.1概述预应力混凝土连续刚构桥是一种结构整体性好、受力合理、造型简洁明快的混凝土桥型，既保持了连续梁无伸缩缝、行车平顺的特点，又有T型刚构桥不设支座、施工方便的特点。同时，在竖向荷载作用下，主梁在梁、墩连接处将产生负弯矩，可以使得主梁跨中的正弯矩值更小。随着刚构体系跨径的增大，结构的轻巧、纤细，无疑会推动桥梁结构设计理论和施工技术的发展。在长期的设计实践中，由于结构分析的复杂冗长，结构的优化设计依靠人们积累起来的经验，以进化的方式进行。这种设计过程工作量大，且凭经验性居多，所以在大跨径预应力混凝土连续刚构桥设计中，对主要参数进行优化研究是必要的。目前桥梁设计仍然是常规设计，这种半经验、半理论的设计方法，常常带有一定的盲目性和偶然性，很难得到较优的方案。综合计算力学、数学规划方法、计算机科学、有限元理论和其他具体学科的结构优化设计是现代结构设计的重要方向。它使得设计者由被动的分析校核变为主动的设计控制。优化设计的层次由高到低依次为：在给定结构的类型、材料、布局和外形几何条件的情况下，优化各组成截面的尺寸，使得结构的质量最小或最经济，这种优化称为尺寸优化；假如结构的几何外形也是事先不定的，则为结构形状优化；进而对结构的布局进行优化，这就是拓扑优化。在实际结构优化中，约束条件和目标函数不仅非线性，而且是隐式的。常用的优化算法主要有3种：准则法、数学规划法和遗传算法。准则法的优点是物理意义明确、方法简便、收敛速度较快。数学规划法以规划论为基础，理论严谨，适用面广，且收敛有保证。遗传算法以达尔文的进化论为哲学基础，放弃了传统优化算法的单个计算点的优化追踪过程，同时对多个计算点进行操作。遗传算法的主要优点是具有很强的通用化能力，不需要梯度信息，也不需要函数的凸性和连续性，对离散变量同样适用。数学规划法和遗传算法的缺点是分析次数多，收敛速度慢。3.2模型建立本文以龙潭河特大预应力混凝土连续刚构桥的设计为背景进行优化。龙潭河特大桥是沪蓉国道主干线湖北至恩施公路上的一座5跨预应力混凝土连续刚构箱梁桥，该桥主桥墩最高178m，居国内梁式桥之最，跨径布置为106＋3×200＋106m，箱梁根部梁高12m，跨中梁高3.5m，顶板厚28cm，底板厚从跨中至根部由32cm变化为110cm，腹板从跨中至根部分三段采用40cm，55cm，70cm三种厚度，箱梁高度和底板厚度按1.8次抛物线变化。预应力钢筋纵向分别为1215.24、1915.24及2215.24三种不同束数的钢绞线，=1860MPa；横向为312.7钢绞线，=1860MPa；竖向预应力筋采用315.24钢绞线；图3.1为龙潭河特大桥立面布置图，图3.2为其跨中及根部断面尺寸图。图3.1龙潭河桥示意图(图中尺寸为厘米)3.2.1截面尺寸横断面为直腹单箱单室，箱梁根部高12m，跨中高3.5m，顶板厚28cm，底板厚从跨中至根部由32cm变化为110cm，腹板从跨中至根部分三段采用40cm，55cm，70cm三种厚度，梁高按1.8次抛物线变化。箱梁顶板横向宽12.5m，底板宽6.5m，翼缘悬臂长3m在墩顶及跨中处设置有横隔板。图3.2龙潭河桥断面图(图中尺寸为厘米)在计算过程中材料特性参数及荷载取值如下：3.2.2材料特征主梁：C55混凝土；墩身：C50混凝土；C50混凝土弹性模量：E=3.45×104MPa；C55混凝土弹性模量：E=3.5×104MPa；泊松比：＝0.167；温度线膨胀系数：＝1.0×10－5。3.2.3荷载取值荷载等级：汽—超20、挂—120。悬浇预应力混凝土连续刚构桥施工过程为：下构施工完成后，在墩旁托架上浇注0号块，其余块件(除合拢段及边跨现浇段外)均以挂篮悬臂对称浇筑，并张拉各阶段预应力钢束，直至最大悬臂；然后按先中跨后边跨的顺序依次合拢；最后进行桥面系施工。按此流程逐阶段计算结构各截面内力、应力和位移。考虑到该桥规模庞大，为了缩短计算时间，本文近似的将五跨连续刚构桥简化为三跨预应力连续刚构桥(如图3.3)进行计算。取定刚构桥模型总长为L。除了优化所用到的边中跨比值、梁底曲线指数、主跨与根部梁高之比和薄壁墩间距这四个参数改变外，其他条件都与龙潭河连续刚构桥相同。图3.3计算模型示意图图3.3中L1是边跨跨长，L2为中跨跨长，H为薄壁墩高度，D为薄壁墩间距。从示意图可以得到如下的两个关系式：(3.1)将边中跨比值，梁底曲线指数，薄壁墩间距和主跨与根部梁高的比值作为计算模型的建模参数，墩身参数以及其他参数都与龙潭河大桥相同。箱梁顶板宽为12m，底板宽为6.5m，顶板厚为0.28m，底板厚度从跨中的0.4m变化到跨中的0.7m模型采用ANSYS中的APDL语言建立，结构用shell63单元模拟。在模型计算过程中对施工阶段进行模拟，估算预应力钢筋用量，考虑在结构发生变化时，预应力钢筋用量的变化，并将其用等效荷载的形式施加在结构上。计算模型如图3.4。图3.4ANSYS计算模型3.2.4施工阶段的模拟采用ANSYS分析中的生死单元来实现。ANSYS提供单元生死功能，用于模拟材料的添加和删除，模拟实际工程中的开挖、结构安装和拆除、浇注、焊接等问题。对于被杀死的单元仅仅是把单元刚度矩阵乘以一个很小的因子。3.3设计参数分析影响桥梁受力因素主要有桥梁跨径、主梁高度、顶底板厚度、腹板厚度、梁底曲线指数、墩间距及薄壁墩壁厚。为了对预应力混凝土双薄壁墩连续刚构桥的几何参数进行分析，本章是以上述计算模型为研究对象，考虑不同的荷载工况和不同的连续刚构参数进行分析计算。预应力混凝土双薄壁墩连续刚构桥的主要设计参数(边中跨比值、梁底曲线指数b，主跨与根部梁高之比，双肢薄壁墩间距H)与桥梁的受力效应间存在着复杂的内在联系。在对计算模型进行结构计算时，可使四个参数中的三个参数保持不变，使另一个参数在一定的范围内变化。这个参数的变化范围从以往已建连续刚构桥梁的设计参数的回归和整理得到。3.3.1参数变化范围的确定根据表1.1中已建桥梁的资料，统计各个参数的经验取值范围。边中跨比值连续刚构跨径的布置一般采用不等跨的形式。一般边跨长度可取为中跨长度的(0.5～0.7)倍，这样可使中跨跨中不致产生异号弯矩。此外，边跨跨长与中跨跨长的比值，还与施工方法有着密切的联系。对于采用支架现场浇筑的桥梁，边跨长度取为中跨跨长的0.8倍是经济合理的。但若采用悬臂施工方法，考虑到一部分边跨采用悬臂施工外，剩余的边跨部分还需另搭脚手架施工。为使脚手架长度最短，则边跨长度应取中跨长度的0.65倍为宜。如果边跨小于或等于0.3，则边跨墩台则会产生负反力，支座或桥台必须采用相应的抗拔措施。图3.5为对已建连续刚构边中跨比值的统计。(2)连续刚构桥梁高从预应力混凝土连续刚构的受力特点来看，立面应采用变高度的布置。连续刚构在恒、活载作用下，墩顶截面将出现较大的负弯矩，从绝对值来看，墩顶截面的负弯矩往往大于跨中截面的正弯矩，因此采用变高度梁能较好的符合梁的内力分布规律。同时，采用悬臂法施工的连续刚构，变高度梁又与施工的内力状态相吻合。另外变高度梁使梁体外形美观，节省材料，并增大桥下净空。变高度梁的截面变化规律可采用圆弧线、二次抛物线和直线等，通常以二次抛物线为最常用，因为二次抛物线的变化与连续梁的弯矩变化规律基本相近。常用1.5次和1.8次抛物线。采用直线形截面变化布置可使桥梁的构造简单，施工方便。图3.6是对已建连续刚构桥主跨与根部梁高比值以及主跨与跨中梁高比值的统计]。图3.5已建连续刚构桥边中跨比值统计图3.6已建连续刚构桥跨高比统计当桥梁跨度逐渐增大时，箱形截面是最适宜的横截面形式。箱形截面的抗扭刚度很大，对于弯桥和采用悬臂施工的桥梁尤为有利。同时，其顶板和底板都具有较大的面积，所以能够有效的抵抗正负弯矩，并满足配筋要求。(3)箱形截面细部尺寸。箱形截面的顶板和底板是结构承受正负弯矩的主要工作部位。当采用悬臂施工方法时，梁的下缘特别是靠近桥墩的截面将承受很大的压应力。箱形截面的底板必须提供足够大的承压面积，发挥良好的受力作用。在发生变号弯矩的截面中，顶板和底板也都应各自发挥良好的作用。底板除承受自身荷载外，还承受一定的是施工荷载。用悬臂施工法施工箱梁时，底板还承受挂篮底模梁后吊点的反力，设计时应考虑该力对底板和腹板的作用。底板厚度随箱梁负弯矩的增大而逐渐增厚直至墩顶，以适应受压要求，并且在破坏阶段还应使中和轴保持在底板以内，并有适当的富裕。图3.7已建连续刚构桥墩顶底板厚度统计图3.8已建连续刚构桥跨中底板厚度统计确定箱形截面顶板厚度一般考虑两个因素：满足桥面板横向弯矩的要求和满足布置纵向预应力钢束的要求。箱梁腹板的作用是承受截面的剪应力和主拉应力。腹板最小厚度还应该考虑预应力束的布置与混凝土浇注的要求。在大跨径预应力混凝土箱梁中，腹板厚度从跨中逐步向支点加大，以承受支点处较大的剪力。图3.9已建连续刚构桥根部腹板厚度统计图3.10已建连续刚构桥跨中腹板厚度统计在顶板和腹板接头处设置的梗腋提高了截面的抗扭刚度和抗弯抗度，减少了扭转剪应力和畸变应力。桥面板支点刚度加大后，可以吸收负弯矩，从而减少了桥面板的跨中正弯矩。加腋有竖加腋和水平加腋两种，在顶板和腹板交接处如设置竖向加腋，则可加大腹板的刚度，对腹板受力有利。由于每个参数对桥梁结构受力性能都有影响，于是研究四个参数对连续刚构桥的耦合作用。文中利用正交表“均衡分散性”和“整齐可比性”减少分析数据的数量，并用正交表的性质得到最优的参数组合。3.3.2目标函数的确定目标函数的选取直接关系着优化设计结果的可行与否，是结构优化设计的关键环节。在连续刚构桥的参数优化中，随着参数的变化，结构的内力和应力分布将发生较大的变化。合理的参数应该在一定的条件下使结构的应力最均匀，材料得到最大程度的利用。由于大跨径预应力混凝土连续刚构桥沿纵向一般为变截面结构，因此本文从截面的应力分布方面考虑目标函数的构造。目标函数=1\*ROMANI：(3.1)其中：构造的目标函数=1\*ROMANI是使所有选择的截面应力的方差最小，该目标函数最小则计算模型的上、下缘应力与应力平均值的差最小。但是当截面应力的平均值很大的时候，也达不到使结构的上下缘应力最均匀，于是引出目标函数=2\*ROMANII。目标函数=2\*ROMANII：(3.2)目标函数=2\*ROMANII是所有选择的截面应力的平均值最小，通过第一和第二目标函数就可以寻找到使截面应力最均匀的参数组合。在要求结构截面应力均匀的同时，我们还希望能够减小材料用量，于是有目标函数Ⅲ:目标函数Ⅲ：(3.3)3.3.3约束函数的确定经过对已建桥梁设计参数的回归得到各参数的取值范围：边中跨比值取0.5～1.0，梁底曲线参数取1.0～2.0，主跨与根部梁高之比取为12～22，墩间距取为5～15m。将这些参数取定在一定的范围，方便程序循环计算。约束条件为：施工阶段应力约束：(3.4)运营阶段应力约束：(3.5)运营阶段位移约束：(3.6)公式中：——预应力混凝土受弯构件在施工荷载作用下截面边缘混凝土最大压应力；——预应力混凝土受弯构件在施工荷载作用下截面边缘混凝土最大拉应力；——运营阶段预应力混凝土受弯构件截面混凝土最大压应力；——运营阶段预应力混凝土受弯构件截面混凝土最大拉应力；——运营阶段预应力混凝土受弯构件挠度最大值；——连续刚构模型的计算跨径。3.3.4多目标优化在实际问题中，常常需要研究在某种限制条件下，同时考虑多个目标的最优化问题，多个目标之间大多数是相互冲突的。常用的多目标优化方法有：评价函数法、交互规划法、混合选优法、分层求解法和目标规划法。本文采用评价函数法中的极小距离理想点法。该方法主要是利用了所考虑的目标尽可能接近问题的理想点这一思想。针对本文的三个目标函数，理想点法的步骤为：第1步：求理想点。对三个目标函数分别求最小，即(3.7)得理想点。由于三个函数值的数量级不同，为了正确使用理想点法，将它们做统一量纲处理，即(3.8)第2步：检验理想点。若理想点是绝对最优点，即若，则输出绝对最优解，若理想点不是绝对最优点，即若，则进行第三步。第3步：求极小距离(3.9)对每一组参数求极小距离，并运用正交表和神经网络遗传算法求得多目标极小值，并输出最优参数组合和最优值[55]。3.4正交设计用于参数优化3.4.1正交表及其用法在科学研究和生产实践中，研发新材料和新仪器设备及研制新产品、改革工艺、寻求好的生产条件等等，都需要先作试验；而做试验要花费时间，消耗人力、物力，因此人们总是希望做试验的次数尽量少，而得到的结果则尽可能的好，要达到这个目的，就必须事先对试验做合理的安排，也就是要进行试验设计。实际问题是复杂的，对试验有影响的因素往往是多方面的，我们要考察各个因素对试验的影响。在多因素、多水平试验中，如果对每个因素的每个水平都互相搭配进行全面试验，需要做的试验次数就会很多，比如对两个7水平的因素，如果两因素的各个水平都互相搭配进行全面试验，要做次试验，而三个7水平的因素要进行全面试验，就要做次试验，照这样，对六个7水平的因素，进行全面试验就要做次试验，做这么多次试验，既花费大量的人力、物力，还要用相当长的时间，显然是非常困难的。有时，由于时间过长，条件改变，还会引起试验失败。人们在长期的实践中发现，要得到理想的结果，并不需要进行全面试验，即使因素个数、水平都不太多，也不必做全面试验，尤其对那些试验费用很高，或是具有破坏性的试验，更不要做全面试验，我们应当在不影响试验效果的前提下，尽可能的减少试验次数，正交试验就是解决这个问题的有效方法。正交设计的主要工具是正交表，用正交表安排试验是一种较好的方法，在实践中得到广泛应用。将正交表应用到结构的参数优化，与利用正交表安排试验的思想是一样的。本文的优化方法就用到正交表，如表3.1。利用正交表进行优化，并分析优化结果的步骤为：(1)明确优化目的，确定要考核的优化指标。(2)根据优化目的，确定要考察的因素和各因素的水平。(3)选用合适的正交表，安排计算项目。(4)根据安排的计划进行计算，得到正交表中的各个参数组合及多目标值。(5)对正交表计算结果进行分析，得到合理的结论。中，字母L表示正交表；数字9表示这张表共有9行，说明用这张表来安排试验要做9次试验；数字4表示这张表共有4列，说明这张表最多可安排4个因素；数字3表示在表中主题部分只出现1，2，3三个数字，它们分别代表因素的三个水平。一般的正交表记为，n是表的行数，也就是要安排的试验次数；k是表中的列数，表示因素的个数；m是个因素的水平数。对于正交表来说，每个因素的每个水平相碰一次，则只需要作9次试验就可以了。表3.1正交表因素号试验号1234111112122231333421235223162312731328321393321正交表有两条重要性质：(1)每列中不同数字出现次数是相等的，如正交表每列中不同的数字是1，2，3，它们各出现3次。(2)在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数是相等的，如，有序数对共有9个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，它们各出现一次。由于正交表有这两条性质，各因素的各种水平的搭配是均衡的[62,63]。3.4.2正交设计的基本原理与特点为了将正交表的应用方法讲述清楚，仅以为例，用几何图形来直观的说明正交设计的基本原理。考察水泥品种、混凝土初始坍落度和出搅拌机口时的温度对坍落度损失的影响。考核指标：坍落度损失越小越好。因素水平表列于表3.2。表3.2坍落度损失因素水平表因素水平A、水泥品种B、初始坍落度(cm)C、出机口温度(。C)1甲高(18～19)212乙低(8～9)29如果将表3.2中三个因素的每个水平都相碰一次，则共组成八个不同组合或八种不同的试验条件，如表3.3。将表3.3八个试验号，用正方体的八个顶点对应的表示出来，各个参数间的关系就表现在图3.11中。表3.323＝8次全面试验组合条件试验号A、水泥品种B、初始坍落度C、出机口温度组合条件1A1(甲)B1(高)C1(21)A1B1C2A1(甲)B1(高)C2(21)A1B1C3A1(甲)B2(高)C1(21)A1B2C4A1(甲)B2(高)C2(21)A1B2C5A2(甲)B1(高)C1(21)A2B1C6A2(甲)B1(高)C2(21)A2B1C7A2(甲)B2(高)C1(21)A2B2C8A2(甲)B2(高)C2(21)A2B2C图3.11八次试验的几何图形根据均衡分散性原理，我们从该图中的八个试验点挑选出=1\*GB3①、=4\*GB3④、=6\*GB3⑥、=7\*GB3⑦这四点，它们在正方体内分布的很均匀并分散到各个角落，表现为：从六个平面来看，每个面上的四个点挑到了两个点；十二条边来看，每条边上的两个点中挑到了一个点，按照同样道理，我们也可以挑选=2\*GB3②、=3\*GB3③、=5\*GB3⑤、=8\*GB3⑧这四个点。显而易见，挑出的=1\*GB3①、=4\*GB3④、=6\*GB3⑥、=7\*GB3⑦或=2\*GB3②、=3\*GB3③、=5\*GB3⑤、=8\*GB3⑧这四个点在正方体内均衡分散。根据整齐可比性原理，我们让A、B、C三个因素在试验中整齐有规律的变化，在变化中比较各因素和水平间的差异和联系，这正是正交表安排试验的巧妙之处。3.4.3正交表用于参数优化影响预应力混凝土连续刚构桥受力性能的因素很多，如边中跨比值，梁底曲线指数，主跨与跨中(墩顶)梁高的比值，薄壁墩间距，薄壁墩壁厚及预应力钢筋等。各种因素耦合作用，共同影响着连续刚构的受力性能，因而使得优化问题变得复杂，并且当上部结构采用变截面时，问题变成了隐式的，这使得问题更为复杂。如果采用直接搜索法进行寻优，各各因素的每个水平都相碰一次计算，将要计算的模型非常多，非常耗时。于是采用正交设计的方法进行优化计算，并分析参数的敏感性。采用正交表进行参数优化，是通过比较计算各个水平的目标函数值的和来取得的，目标和越小则在该参数水平下能得到最小的目标函数值。由于各个因素的水平数都不相同，于是要用到水平数目不相等的正交表——混合正交表。各个因素及水平的取值取自各因素的经验取值范围。考虑因素的个数及水平数，各个因素的水平选择见表3.4。表中：因素1代表边中跨比，因素2为薄壁墩间距，因素3为主跨与根部梁高之比，因素4是梁底曲线指数。正交表计算结果分析：表3.5分别给出了各水平相应的多目标之和、、、、、和平均多目标值、、、、、以及离差R。表3.4因素水平表因素水平1234边中跨比墩间距(m)跨高比梁底曲线10.55151.020.67161.530.79171.840.81118—50.91319—61.01520—对于第一列值来说：的计算方法同上。的计算方法同上。离差，这里。正交表中其他列的各水平多目标之和、离差以及各水平多目标平均值的计算方法与第一列的计算相同。表3.5正交表与极差计算结果试验号因素多目标123410.55171.50.9120.57151.00.8730.59161.80.8140.65161.00.9050.67171.80.8360.69151.50.8570.75151.80.9380.77161.50.8690.79171.00.84100.85181.00.89110.87191.80.83120.89201.50.83130.95201.80.92140.97181.50.85150.99191.00.82161.05191.50.89171.07201.00.84181.09181.80.81190.511191.80.73200.513201.50.82210.515181.00.83220.611181.50.83230.613191.00.82240.615201.80.73250.711201.00.82260.713181.80.78270.715191.50.80280.811171.50.82290.813151.00.82300.815161.80.80310.911161.00.82(续表)试验号因素多目标1234320.913171.80.80330.915151.50.81341.011151.80.82351.013161.50.81361.015171.00.804.975.445.0910.08—4.955.075.0010.08—5.024.965.009.79—4.994.855.00——5.034.864.89——4.994.764.96——R0.080.690.200.29—0.830.910.850.84—0.820.850.830.84—0.840.830.830.82—0.830.810.83——0.840.810.82——0.830.790.83——通过简单的计算可以达到下列目的：（1）、分析因素与多目标的关系，即当因素的水平变化时，多目标是怎样变化的；（2）、确定最优的配合掺量，即四个因素各取什么水平时，多目标最小[62]。比较各列中的各水平多目标总和的大小，最小的为最好的水平，例如对于因素一（边中跨比值），比较的大小，发现最小，于是相应的为使目标函数最小的最优的边中跨比值。其他各个因素的优化结果与因素一相同。于是得到该优化问题最优的参数组合为，梁底曲线指数为1.8，边中跨比值为0.6，跨高比为19，薄壁墩外侧间距为15m，墩中心矩为11.4m（相应的根部梁高为9.8m，跨中梁高为2.3m，主跨与薄壁墩间距比为16.4在用正交表计算的过程中，要注意两点：(1)对于混合水平表，应根据指标和的极差大小，来决定因素的主次关系，而不能用指标平均值的极差。因为各因素的水平数目不相等，当两个因素对指标有同等影响时，水平多的因素的极差理应大些。(2)混合水平表的空列极差在直观分析中可以用来估计试验误差进行相比较。这里只是模型计算，于是空列可以不用[62]。3.5本章小结(1)利用ANSYS大型软件建立连续刚构桥计算模型，考虑桥梁施工阶段以及材料用量的变化。(2)总结了以往混凝土连续刚构桥主要设计参数的取值和变化规律。确定了参数的经验取值，为以后进行优化计算给出了参数的变化范围。边中跨比值的经验取值范围是0.5～0.7；主跨跨长与根部梁高的比值为15～20，主跨跨长与跨中梁高的比值为50～65之间；梁底曲线目前一般取为1.5次抛物线或是1.8次抛物线(3)利用正交试验的方法进行结构的优化，并得到了一组优化参数。最终的优化结果是梁底曲线指数为1.8，边中跨比值为0.6，跨高比为19，薄壁墩外侧间距为15m，墩中心矩为11.4m(相应的根部梁高为9.8m，跨中梁高为2.3m，主跨与薄壁墩间距比四．遗传算法和神经网络在预应力连续刚构桥参数优化中的应用4.1概述正交表寻优有很多优点，正交表能有规律的减少试验次数，作有代表性的部分试验，并能在错综复杂的试验中对结果作出科学的分析；正交表能考察因素间的交互作用和便于回归分析。但是，正交表也有缺点，正交表计算能够利用的正交表数量有限，并且正交表格式呆板，只能在给出的因素水平中寻找最优，无法寻找到所给范围之外的参数组合。因此，有必要寻找更为灵活的寻优方法。遗传算法具有很强的鲁棒性，与其他优化方法相比具有很大的优点，这可以从它和传统的搜索方法的对比中体现出来。遗传算法是一个利用随机技术来指导对一个被编码的参数空间进行高效搜索的方法。遗传算法具有很强的鲁棒性，遗传算法对参数编码集起作用，而不是对参数本身作用。因此优化过程是从点集开始的，而不是从单点开始的。遗传算法在搜索过程中只使用评价函数，而不是导数或其他辅助信息。因此，遗传算法的适应值函数不受连续可微的约束，而且其定义域可以任意设定。另外遗传算法使用概率转换规则来调整搜索路径，各编码串集合之间没有统一的联系关系。它只是使用概率转换作为工具来调整搜索过程，使之更趋于目标不断改进的区域。遗传算法本身也有它一定的局限性，因此需要对它进行改进，让遗传算法和其他算法(如模拟退火算法和神经网络)相结合，既可以弥补遗传算法的缺陷，又可以充分发挥两种算法的优越性。人工神经网络是基于模仿生物大脑的结构和功能而构成的一种信息处理系统或计算机。人工神经网络的操作有两种过程，一是训练学习，二是正常操作或称回忆。训练时，把要教给网络的信息(外部输入)作为网络的输入和要求的输出，使网络按某种规则(称训练算法)调节各处理单元间的连接权值，直到加上给定输入，网络就能产生给定输出为止。这时，各连接权已调节好，网络的训练完成了。将遗传算法和神经网络结合可以弥补遗传算法的不足，并缩短优化时间。正交表能够有规律的减少试验次数，作有代表性的部分试验。将正交表、遗传算法和神经网络三者结合，将会提高参数优化的效率。本章对三种优化方法进行比较，并将三种方法结合讨论其用法。4.2遗传算法用于参数优化4.2.1遗传算法的概念遗传算法(GeneticAlgorithm，简称GA)起源于对生物系统所进行的计算机模拟研究。美国Michigan大学的Holland教授及其学生受到生物模拟技术的启发，创造出了一种基于生物遗传和进化机制的适合于复杂系统优化的自适应概率优化技术——遗传算法。1967年，Holland的学生Bagley在其博士论文中首次提出了“遗传算法”一词，他发展了复制、交叉、变异、显性、倒位等遗传算子，在个体编码上使用双倍体的编码方法。Holland教授用遗传算法的思想对自然和人工自适应系统进行了研究，提出了遗传算法的基本定理——模式定理。20世纪80年代，Holland教授实现了第一个基于遗传算法的机器学习系统，开创了遗传算法的机器学习的新概念。1975年，DeJong基于遗传算法的思想在进行了大量的纯数值函数优化计算试验，建立了遗传算法的工作框架，得到了一些重要且具有指导意义的结论。1989年，Goldberg出版了《GeneticAlgorithminSearch，OptimizationandMachineLearning》一书，系统地总结了遗传算法的主要研究成果，全面完整地论述了遗传算法的基本原理及其应用。1991年，Davis出版了《HandbookofGeneticAlgorithms》一书，介绍了遗传算法在科学计算、工程技术和社会经济中的大量实例。1992年，Koza将遗传算法应用于计算机程序的优化设计及自动生成，提出了遗传编程(GeneticProgramming)的概念。在控制系统的离线设计方面遗传算法被众多的使用者证明是有效的策略。从遗传算法的整个发展过程来看，20世纪70年代是兴起阶段，20世纪80年代是发展阶段，20世纪90年代是高潮阶段。遗传算法作为一种实用、高效、鲁棒性强的优化技术，发展极为迅速，已引起国内外学者的高度重视。生物的进化(Evolution)过程主要是通过染色体之间的交叉和变异来完成的。基于对自然界中生物遗传与进化机理的模仿，针对不同的问题，很多学者设计了许多不同的编码方法来表示问题的可行解，开发出了许多中不同的编码方式来模仿不同环境下的生物遗传特性。这样，由不同的编码(Coding)方法和不同的遗传算子就构成了各种不同的遗传算法[38]。遗传算法是模仿自然界生物进化机制发展起来的随机全局搜索和优化方法，它借鉴了达尔文的进化论和孟德尔的遗传学说。其本质是一种高效、并行、全局搜索的方法，它能在搜索过程中自动获取和积累有关搜索空间