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文档简介

有限覆盖定理T紧致性定理证明：设数列｛x｝满足a<x<b。nn先证3xe［a,b］，在x的任一邻域(x-£,x+£)中必含有x的无限项。0000n如果不然。Vxe［a,b］，35A0，使(x-8,x+8)只含｛x｝的有限项。记x x x nE=｛(x-5,x+5)|xe［a,b］，5由上产生｝，是［a,b］的一个覆盖。由有限覆盖x x x定理，知3E中有限个开区间(x-5,x+5)(x-5,x+5) (x-5,x+5)11112222kkkk覆盖［a,b］。则方面：由覆盖的定义，｛x｝中的所有项包含于这有限个开区间内，另一方面，因n为｛x-5,iix+5｝(i=l,2,...k)均只含｛x｝为｛x-5,iiiinn的有限项，这将互相矛盾。故3x0e[a，b]，在x0的任一邻域(x°-£，x0+£)中必含有xn的无限项。特别地，取£=1，则3xe(xo—1,xo+1)，k00取£二1/2，则3誘e(%-1/2,%+1/2),(k2>取£二1/2，取£二1/n，则3xe(x一1/n,x+1/n),(k>k)kn 0 0 n n-1则｛xk｝为｛x“｝的子数列，满足°<x-x0<1/nTo,(ninn故｛xJ收敛于叮定理证完柯西收敛定理T确界存在定理以非空有上界数集必有上确界为例来证明证明：设数集A非空有上界，设b是A的上界1因为A非空，设x0eA，则存在a<x0,a就不是A的上界。1b]，如果a]+勺是A的上界，则取12aYb，用ab]，如果a]+勺是A的上界，则取121111111

1，[a2，b2]=[a1,宁]；如果宁不是A的上界，则取[a2，b2]=[宁，卩用a2，b的中点a2+b2二等分[,b]……如此继续下去，得一闭区间列｛%,b」1，［a,b］二［a1,b1］，lim（b—a）=0nn n+1n+1 limbannnta数列｛数列｛a｝，｛b｝满足Vn，nna不是A的上界，b是A的上界。nn下证｛a｝，下证｛a｝，｛b｝是收敛数列。nn7lim （b-a）=°，即V£a0，3N,ntann当naN，有|b—a|y£。nn又对又对VpgZ+，a<a<b<b，n n+p n+pn故Ia -aI<（b—a）y£，故｛a｝是n+p nnnn）=0，故）=0，故limb=rnntannta最后证r=supA。收敛的，设lima=r。又因lim(b—annta因为b是A的上界，故对VxgA,x<b，由极限的保序性，x<rnn即r是A的上界，设任一r'Vr，我们来说明r'不是A的上界由lima=r

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