由最小作用量到量子化条件

最小作用量原理到量子化条件一•问题背景为了说明从最小作用量原理到量子化的过程是有多么惊心动魄，我们先要明白量子化的原理,并且在一开始我也要声明这不是唯一的一种方法，并且也是当代的一位物理学家做的工作。我仅表示最崇高的敬意而写下这些可以让我好好赏析的艺术。首先是介绍什么是作用量:WIKI的解释二•最小作用量原理在物理学里，最小作用量原理(英语：leastactionprinciple)，或更精确地，平稳作用量原理(英语：stationaryactionprinciple)，是一种变分原理，当应用于一个机械系统的作用量时，可以得到此机械系统的运动方程。这原理的研究引导出经典力学的拉格朗日表述和哈密顿表述的发展。卡尔•雅可比特称最小作用量原理为分析力学之母[U在现代物理学里，这原理非常重要，在相对论、量子力学、量子场论里，都有广泛的用途。在现代数学里，这原理是莫尔斯理论的研究焦点。本篇文章主要是在阐述最小作用量原理的历史发展。关于数学描述、推导和实用方法，请参阅条目作用量。最小作用量原理有很多种例子，主要的例子是莫佩尔蒂原理(Maupertuis'principle)和哈密顿原理。从英文中的造字角度看该问题可以略见端倪，”leastactionprinciple"。看了部分关于最小作用量原理的论文和赏析后。从历史的角度看，费马原理是最原始的表述，而到现在，近乎所有的物理理论都可以表述成最小作用量的形式，但是无法想象的是竟然没有覆盖全部的物理学。简直无法忍受！接着先介绍电磁学的作用量：S=t2(动能—势能)dtt1t21S=mv2—V(x))dtt12t2 S= (—mc21—v2/c2—q©x,y,z,t—v•A(x,y,z,t)])dtt1t21 1S= -eE2—-€C2B2—pe+jAdt22t1F=qE+vXBeVXFH0写下这些方程是为了很好地表现拉氏量在力学和电磁学中发挥的作用~先从洛伦兹力下手，然后把势能函数表示出来，接着可以先给出非相对论情形下的拉格朗日函数:dpr %F=dt=qej—Ve—乔+VXVX力TOC\o"1-5"\h\zdA dA—V0—亍+vXVXA=—V0——■+Vv•A—v•VAL/<✓ L/<✓\o"CurrentDocument"dA(x,y,z,t) —A —Adx —Ady —Adz —A\o"CurrentDocument" = 1 1 1 = +v•VA

dt —t —x—t —y—t —z—t —tddtp+qeA=—Vqe©—"A

发现电磁理论的动量和势能函数的形式，F=—BtUp=q=(p—我们可以从中阅读到的信息是qA拥有真实的动量含义，下面我们将看到一些十分惊人的结果!1厶=-mv2—q(p—v•A2edLp=—=mv—qAdv e1H= P"—L=2mp—qeA2—qp接下来是给出相对论形式的拉氏变换，为了方便我将引入四维矢量的描述方式：L]xT,XT,TT粒子的四维坐标可以视为粒子“原时“的函数PS:原时的概念是这么引入的：我们都知道四维时空都有一个不变的间隔即11—AxAx=At2t一c2At2—Ax2—Ay2—Az2=At2C2MR c2=At1—=At1—V2/c2At=—卄c2—v2c我们把这个不随参考系变化的时空间隔称为”原时” AT.那么就有：6；；接着用拉格朗日乘子法，AxAx=c2

卩卩接着用拉格朗日乘子法，引入辅助函数得：入TL'=L■— (AxAx—c2)2'卩"丿对新函数取变分求极值：6LdT=0t由欧拉方程可推导得:dL'ddL‘一dx证明对L的任意变换，上式都是成立的。这里再介绍自由粒子的作用量形式：狭义相对论性的自由粒子的作用量表示：=—m0c2 1=—m0c2 1—v2/c2I卩 口同样从力出发(一种本征的思考，力是与能量，动量，角动量直接相互联系的基本量):drr=5,炽％TT亦=ei基矢量dp dvdr 一p=dp dvdr 一p=mu，丁=F =F•e.且我们可知F•e.是一标量Q.dT dTdq. 1 iid(dr—]mu•dTddr—mu———Q=0dTdq. 1dr du d (洛必达法则给出：亍=亍=厂And—-dq. dq. dq. dT dq.drdrdu=兀dd(—m0C2 1—U2/c2d1叫 du2d1du2=不(2肌亦)dTdr21—u2/c2dq.注意到：d du du d°1注意到：d du du d°1mu2mu• -mu• -Q=0t2—az dq. dq. 1 azdq.d1mu2=0TOC\o"1-5"\h\zd(—me21—U2/c2 1du20 =m・'如 2叫dVL(x(t),X(t),T=—me21—U2/c2—V,Q= -卩卩 0 idq.我们现在得到了相对论条件下的自由例子的拉氏方程-LagrangeEquation接下来是确定V的表达式。我们知道在电磁场情形下，粒子将会收到电磁场的局域作用，而势的作用在A-B效应中体现出比场更加基本的性质。所以写下势能函数优先用基本势来完成！V=q(©-v•A由此可得：L(x(t),x^(t),t=—m0c21—u2/c2—q(©-v•A接着可以写成简洁的四矢量的形式：A=(¥，£C VU= ,^=卩 1—V2/c21—V2/c2P口=(iW/ctp)此时同样可以给出相对论形式下的作用量,哈密顿量和共轭动量的表达式：drt2dry—1(—mnc2—qAU

0卩卩1dLP= =mu+qAduH=P—qA2+ 2c4+q©三•电磁场的协变性电磁场方程的表达式可以写为：dAE=——dtB=VXA为了保证电磁场在势函数规范变化后不发生变化(基于势函数的随机性，但势函数也有限制)因此作电磁势的规范变换：A=A+dW d 、，V=示,—V-四维梯度dt 口dtL'=L-qvWu于是有：

变换前的作用量表达式为（声明以下的X,u都是四维矢量）:TOC\o"1-5"\h\zt2 t2QL dLSS=S Ldrc= 8x+8udr\o"CurrentDocument"dx dut1 t1dL必+dL必+乔叫2一t2ddLdtdut1Sxdz由于吐氐在时间河流上的两端的变分为0•所以上式可以继续写为:dut2dLddL— 8xd.T=0T1 dXdtdU变换后:TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"t2 t2\o"CurrentDocument"SS'=S厶'必=6 L—u drT1 l1=屮I=屮I?—屮Judr= dxdx dx卩T1 卩 T1 卩由此可知规范变换的函数在其两端点的变分为0！t2 t2 CSS'=S厶'必=8 L必+ -^T=021\o"CurrentDocument"t1 t1于是可得电磁场规范变换的协变性成立 用作用量的变分不变证明!四•作用量应用的范围物理是一门描述物体运动规律和物质结构的学科。一般性地描述运动都是用微分方程来描述,诸如弦振动方程，热传导方程和波动方程，只要给定方程的初值与边界条件我们就可以将物体的运动规律详细地表示出来。物体的运动轨迹是受一定的规律支配,在我们的世界就是四项基本作用力。物质的构成在我们现在的认识基础上是十二种基本粒子构造了所有的我们宇宙的物质。可是我们能否探究自然界为什么选择此方程？物体为什么会那样运动？我们第一次接触物体为何运动是在学习牛顿力学过程,力学研究运动学和动力学。运动学 就是物体是怎样运动的？动力学---物体为何运动？牛顿的理论是决定形式的,只要给了初始条件,我们就知道物体的运动轨迹。一种巧合是某一种与物体位移和速度相关联的量会在整个运动过程中取得一个极小值,而这种巧合不仅仅发生在机械力学,在热学（熵）和电动力学（麦克斯韦方程组和洛伦兹力）都可以找到这些极小值来描述物体运动。并且所有的物体运动方程都可以由这些作用量推导出来！我介绍一个极简的粒子,以表示我对费曼的倾佩之情:121S= 2mv2dt……自由粒子的作用量11t21mv2t21mv2dt=2limAtt0Ax2LAt21At>mlim2At-0ZAx2LnAtPS:用到的不等式af+aj+a2+a2+…+呻>可知自由粒子作匀速运动是作用量极小需要满足的！总体的极小整体描述-分段的极小微观描述-微分方程最小作用量原理要求爲呦2沁到极小值的那个行进方式是自然界的选择吗？是谁的意

图和旨意呢？物体本身是”闻出”了所有的路径后选择了一条作用量最小的值吗?我觉得统计力学的“熵”给了一种微观的解释。物体的确走了所有的路径，在微观下他们表现出一种概率分布，随着时间的流逝，这种分布趋于稳定的宏观值。而至于物体是怎么走的所有路径？首先要澄清一个观点，真的有所谓的确切的路径吗？当我们去确定（也就是探测”路径“的时候）实际上已经影响了物体的路径，而真实的路径已经不是我们观察的到的那样。而真实的路径也是无法观察的！那么对于真实的不确定就赋予了真实各种可能性。这也就是量子力学的观点：到量子力学层次，按波函数的解释，物体实际上所以可能的路径都是要走的。每条路径通过一个权重因子e；对体系的"振幅"产生贡献。对一般的路径稍微偏离一点，就会有变化，产生干涉相消（•’'•）---类似于双缝干涉。而只有（唯一性保证）S取极小值，权重AS变化最微弱，路径稍偏离S基本不变6S=0,此时才会产生相干叠加！此路径”经典路径"对振幅起重要贡献，类似于光选择最短光程，留下可观测的经典宏观效应。而散步在全空间的各种路径仍然是存在的，只不过此时他们的概率极低，不至于我们敏感度极低的眼睛和现有的普通仪器观测到！现在讨论关于最小作用量的”逆问题“：即所有的物理量都有其对应的作用量吗？当初费曼发明”路径积分“就因有些系统无法用哈密顿系统描述！如果可以的话，这就意味着最小作用量原理可以完全取代微分方程决定的运动规律。费曼发现洛伦兹力找不到其对应的作用量表示。王青老师ppt自由质点被约束在单位球面上运动：S=/曲:肌/r.F=1m[r-Fm[r-Ff)]=D现假设此质点带电电量鸽并且在球心放置一个单位磁单极：B场方程中应出现洛伦兹力项：+rr-r）—qvX疗一gFxF洛伦兹力项如何在作用量中体现？产（尹XR=0五.从作用量推导量子化条件现在考虑一位物理学家的工作，他是一位弦论物理学家。这是我对他的全部了解了。他假设了磁荷存在的情形下，我们可以有最小作用量原理给出量子化条件。也就是解释一个悬而未决的问题：为什么元电荷是e=1.60217656535X10-19C这个值？不过同时假定磁荷的话，就需要思考元磁荷的问题？这也是一个我们即将面对的问题！消息：2015/4/30科学家已经发现了量子磁荷的存在。/news/2015-04-physicists-quantum-mechanical-monopoles.htmOutm_sourcenmenu&utm_medium=link&utm_campaign=item-menu不过这也不算是好消息，因为大物的挂科率和退课率要呈指数式上升了~。电荷在磁荷外围的球面上作闭合回路运动。我们可以计算该回路的作用量：t2 S= (―mc21—v2/c2—q^[^x,y,z,t—v•A(x,y,z,t)])dtt1TOC\o"1-5"\h\zt2 12S= (—mc21—v2/c2—qg^)dt—qg A•dl\o"CurrentDocument"ti 11t2 t2A•dl= BdS可是我们发现磁通量积分可以选择任意两个曲面C]，C2！ti ti\o"CurrentDocument"t2 12 aBdS+BdS=显uti,C1 t