高中数学常用公式大全

高中数学常用公式大全高中数学常用公式目录第一部分：集合1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键。元素可以是函数关系中自变量的取值、因变量的取值或曲线上的点等。2.数形结合是解决集合问题的常用方法。在解题时，可以借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决。3.集合{a1,a2,...,an}的子集个数共有2^n个，真子集有2^n-1个，非空真子集有2^(n-1)个。第二部分：函数与导数1.映射是指从一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。注意：第一个集合中的元素必须有象，且一对一或多对一。2.求函数值域的方法包括分析法、配方法、判别式法、利用函数单调性、换元法、利用均值不等式、利用数形结合或几何意义、利用函数有界性、平方法和导数法。3.复合函数的有关问题：（1）复合函数的定义域求法；（2）复合函数单调性的判定。4.分段函数的值域、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5.函数的奇偶性：（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；（2）f(x)是奇函数当且仅当f(-x)=-f(x)，f(x)是偶函数当且仅当f(-x)=f(x)；（3）在关于原点对称的单调区间内，奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（4）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性。6.函数的单调性：f(x)在区间M上是增函数当且仅当对于任意的x1,x2∈M，当x1<x2时有f(x1)<f(x2)；f(x)在区间M上是减函数当且仅当对于任意的x1,x2∈M，当x1<x2时有f(x1)>f(x2)。①顶点坐标：顶点坐标可以通过将解析式转换为顶点式得到，或者通过求导数得到函数的极值点，从而得到顶点坐标。②开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负性决定，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下。③对称轴：对称轴是二次函数的一条直线，它通过顶点，并且垂直于开口方向。对称轴的方程可以通过将解析式转换为顶点式得到。④零点：零点是二次函数与x轴相交的点，可以通过零点式得到。当a>0时，二次函数有两个零点，当a<0时，二次函数没有实数解的零点。⑤最值：二次函数的最值即为顶点的函数值，当a>0时，最小值为k，当a<0时，最大值为k。10.指数与对数函数的性质：①指数函数的性质：指数函数的图像是单调递增的，且过点(0,1)。指数函数的导数等于它本身，即f'(x)=f(x)。②对数函数的性质：对数函数的图像是单调递增的，且过点(1,0)。对数函数的导数等于其自变量的倒数，即f'(x)=1/x。对数函数与指数函数是互逆函数，即loga(a^x)=x，a^loga(x)=x。注：指数与对数函数是高中数学中的重要内容，掌握它们的性质和应用非常重要。二次函数y=ax²+bx+c的图像的对称轴方程是x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a,c-b²/4a)。对于函数图像的绘制，可以采用描点法、图像变换法或导数法。其中，图像变换法包括平移变换、对称变换和翻折变换。对于函数图像的对称性证明，可以通过关于对称中心的对称点是否在图像上来判断。对于y=f(x)图像的对称性，可以通过f(a+x)=f(b-x)（x∈R）来判断，其中对称轴为x=(a+b)/2；对于关于点(a,b)的对称性，可以通过f(a+x)+f(a-x)=2b来判断，其中关于点(a,0)的对称性可以通过f(a+x)=-f(a-x)来判断。1.函数图像的对称性函数y=f(x-a)与函数y=f(a-x)的图像关于直线x=a对称；函数y=f(a+x)与函数y=f(a-x)的图像关于直线x=0对称。2.求函数的零点有三种方法：直接法（求f(x)=0的根）、图像法、二分法。零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。3.导数导数定义：f(x)在点x处的导数记作y'x=f'(x)=lim(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx。常见函数的导数公式：①C'=0；②(x^n)'=nx^(n-1)；③(sinx)'=cosx；④(cosx)'=-sinx；⑤(a^x)'=a^xlna；⑥(e^x)'=e^x；⑦(log_ax)'=1/(xlna)；⑧(lnx)'=1/x。导数的四则运算法则：(u±v)'=u'±v'；(uv)'=u'v+uv'；(1/v)'=-u'v/u^2。4.导数的应用①利用导数求切线：注意：i）所给点是切点吗？ii）所求的是“在”还是“过”该点的切线？②利用导数判断函数单调性：i）f'(x)>0，f(x)是增函数；ii）f'(x)<0，f(x)为减函数；iii）f'(x)≡0，f(x)为常数；③利用导数求极值：i）求导数f'(x)；ii）求方程f'(x)=0的根；iii）列表得极值。④利用导数求最大值与最小值：i）求极值；ii）求区间端点值（如果有）；iii）比较得最值。5.三角函数、三角恒等变换与解三角形⑴角度制与弧度制的互化：π弧度=180°，1°=π/180弧度≈0.01745弧度。⑵弧长公式：l=θR；扇形面积公式：S=1/2θR^2。⑶三角函数定义：角α终边上任一点（非原点）P(x,y)，设|OP|=r，则sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。⑷三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦（简记为“全stc”）。⑸诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”。⑹函数y=Asin(ωx+φ)对称轴：令ωx+φ=kπ+π/2，得x=kπ-φ/ω；对称中心：(kπ-φ/ω,A)（k∈Z）。⑺函数y=Acos(ωx+φ)对称轴：令ωx+φ=kπ，得x=kπ-φ/ω；对称中心：(kπ-φ/ω,A)（k∈Z）。1.周期公式：对于函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)，它们的周期T是常数，且A≠0。对于函数y=Atan(ωx+φ)，它的周期T=π/ω。2.同角三角函数的基本关系：sin^2x+cos^2x=1。3.三角函数的单调区间及对称性：⑴y=sinx的单调递增区间为[2kπ,2kπ+π/2](k∈Z)，单调递减区间为[2kπ+π/2,2kπ+π](k∈Z)，对称中心为(kπ,0)，对称轴为x=kπ。⑵y=cosx的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ](k∈Z)，单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z)，对称中心为(kπ+π/2,0)，对称轴为x=kπ。⑶y=tanx的单调递增区间为(kπ-π/2,kπ+π/2)(k∈Z)，对称中心为(kπ,0)。4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)。②sin(α+β)sin(α-β)=sin^2α-sin^2β；cos(α+β)cos(α-β)=cos^2α-sin^2β；③asinα+bcosα=√(a^2+b^2)sin(α+φ)（其中，辅助角φ所在象限由点(a,b)所在的象限决定，tanφ=b/a）。5.二倍角公式：①sin2α=2sinαcosα；(sinα±cosα)=1±2sinαcosα=1±sin2α。②cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α（升幂公式）。1+cos2α1-cos2α（降幂公式）。cos2α=———，sin2α=———。226.正、余弦定理：⑴正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R是△ABC外接圆直径）。注：①a:b:c=sinA:sinB:sinC；②a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；③a^2=b^2+c^2-2bccosA，b^2=a^2+c^2-2accosB，c^2=a^2+b^2-2abcosC。本文介绍了三角函数的一些基本知识，包括周期公式、同角三角函数的基本关系、三角函数的单调区间及对称性、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、正、余弦定理等。这些知识是学习高等数学的基础，对于理解和掌握高等数学知识有很大的帮助。1.三角形公式：①三角形面积公式：S=1/2*a*b*sinC，S=1/2*b*c*sinA，S=1/2*c*a*sinB；②内切圆半径r=2S/(a+b+c)，外接圆直径2R=a*b*c/(4S)，sinA=a/(2R)，sinB=b/(2R)，sinC=c/(2R)。2.立体几何公式：①柱体：表面积S=S侧+2S底，侧面积S侧=2πrh，体积V=S底h；②锥体：表面积S=S侧+S底，侧面积S侧=πrl，体积V=1/3*S底h；③台体：表面积S=S侧+S上底+S下底，侧面积S侧=π(r1+r2)l，体积V=(S底+S上底+S下底)*h/3；④球体：表面积S=4πR²，体积V=4/3*πR³。3.位置关系的证明：①直线与直线平行：公理4，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理；②直线与平面平行：线面平行的判定定理，面面平行推论；③平面与平面平行：面面平行的判定定理及推论，垂直于同一直线的两平面平行；④直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理；⑤平面与平面垂直：定义为两平面所成二面角为直角，面面垂直的判定定理。注：以上理科还可用向量法。4.求角：①异面直线所成角的求法：平移法，用向量法；②直线与平面所成的角：直接法，用向量法。5.求距离：点到平面的距离：等体积法，向量法。6.结论：以上公式和方法可用于解决立体几何的问题。1B10，B1C2B2C10，A1C2A2C10.②l1l2A1A2B1B20.4．圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中圆心坐标为(a,b)，半径为r.5．圆的一般方程：Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0，其中圆心坐标为(-B/2A,-C/2A)，半径为√(B²+C²-4AD)/2A.6．直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相离；（2）直线与圆相切；（3）直线穿过圆.7．判别式：对于圆的一般方程Ax²+Ay²+Bx+Cy+D=0，有：（1）B²+C²-4AD>0，则圆为实心圆；（2）B²+C²-4AD=0，则圆为一点；（3）B²+C²-4AD<0，则圆为虚圆.1.问题描述：文章中存在大量的格式错误，需要进行修正，并删除明显有问题的段落。另外，每段话需要进行小幅度的改写。2.修改后的文章：4.求解线性规划问题的步骤包括：（1）列出约束条件；（2）绘制可行域，写出目标函数；（3）确定目标函数的最优解。5.下面是两个公式：⑴点P（x，y）到直线Ax+By+C=0的距离为：d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)⑵两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离为：d=|C1-C2|/√(A^2+B^2)6.圆的方程有两种形式：⑴标准方程：-(x-a)^2+(y-b)^2=r^2-x^2+y^2=r^2⑵一般方程：Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0表示圆，其中A=C≠0且B=0且D+E-4AF>0。7.求解圆的方程可以使用两种方法：⑴待定系数法；⑵几何法。8.下面是点、直线和圆的位置关系（主要掌握几何法）：⑴点与圆的位置关系：-d=R：点在圆上；-d<R：点在圆内；-d>R：点在圆外。⑵直线与圆的位置关系：-d=R：相切；-d<R：相交；-d>R：相离。⑶圆与圆的位置关系：-d>R+r：相离；-d=R+r：外切；-R-r<d<R+r：相交；-d=R-r：内切；-d<R-r：内含。9.直线与圆相交所得弦长为：|AB|=2√(r^2-d^2)10.圆锥曲线的定义如下：⑴椭圆：|MF1|+|MF2|=2a，其中2a>|F1F2|；⑵双曲线：||MF1|-|MF2||=2a，其中2a<|F1F2|；⑶抛物线：|MF|=d。11.直线与圆锥曲线相交的弦长公式为：若弦端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]，或AB=|x1-x2|/√(1+k^2)，或AB=|y1-y2|√(1+1/k^2)，其中k为直线的斜率，b为圆锥曲线的常数。12.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx^2+ny^2=1（当m和n同时大于0时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线）。当点P与椭圆短轴顶点重合时，∠F1PF2最大。13.双曲线中的结论：①双曲线的渐近线是两条直线y=kx和y=-kx，其中k为双曲线的斜率；②双曲线的离心率为e=√(a^2+b^2)/a，其中a和b分别为双曲线的半轴长；③双曲线的两支分别称为左支和右支，左支的离心率为e1=√(a^2-b^2)/a，右支的离心率为e2=√(b^2-a^2)/a。1.双曲线的渐近线为：$\frac{x}{a}\pm\frac{y}{b}=0$（$a>0,b>0$且$a^2-b^2>0$）。2.双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$（$\lambda$为参数且$\lambda\neq0$），其中双曲线为等轴双曲线当且仅当$e=2$，此时渐近线互相垂直。3.解决直线与圆锥曲线问题的方法有直接法和设而不求（点差法），注意联立方程时要考虑直线斜率不存在的情况，且要验证判别式。4.求轨迹的常用方法有定义法、直接法、代入法、待定系数法、消参法、交轨法和几何法。5.平面上两点间的距离公式为$d_{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，向量的平行与垂直条件为$b=\lambdaa$和$a\cdotb=0$，向量的数量积公式为$a\cdotb=|a||b|\cos\theta$。6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式为$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$或$AB=\frac{|x_1-x_2|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|y_1-y_2|}{\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}$。椭圆和双曲线的通径为$\frac{2a}{\sqrt{m+n}}$，抛物线的通径为$2p$。过两点的椭圆和双曲线的标准方程为$mx^2+ny^2=1$（$m,n>0$）。1.圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线是平面上的一类曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。它们都可以由一个双曲面和一个平面相交而得到。其中，椭圆是在双曲面两个焦点之间的曲线，双曲线是在双曲面两个焦点之外的曲线，抛物线是在双曲面一个焦点和一个顶点之间的曲线。2.椭圆和双曲线的基本性质（1）椭圆中心和双曲线中心为焦点连线的中点。（2）椭圆和双曲线的离心率分别为小轴长度和大轴长度的比值，即e=c/a。（3）椭圆和双曲线的焦距为2a*e，其中a为长轴长度。（4）椭圆和双曲线的面积分别为πab和πab*e^2。（5）双曲线的渐近线方程为y=±b/a*x，其中a为双曲线的长轴长度，b为短轴长度。3.焦点三角形问题求解对于椭圆和双曲线，我们可以利用它们的定义和余弦定理来求解焦点三角形问题。4.直线与圆锥曲线问题解法解直线与圆锥曲线问题时，可以采用直接法或设而不求的方法。对于设而不求的方法，我们可以使用点差法来处理弦中点问题。5.求轨迹的常用方法求轨迹的常用方法包括定义法、直接法、代入法、待定系数法、消参法、交轨法和几何法。6.三点共线的充要条件三点共线的充要条件是P、A、B三点共线当且仅当OP=xOA+yOB且x+y=1。7.等差、等比数列的基本性质等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。等差数列的前n项和为S_n=n(a1+an)/2，等比数列的前n项和为S=a1(1-q^n)/(1-q)。等差数列和等比数列的性质包括通项公式、前n项和公式和特殊情况下的求和公式。1.数列通项公式的求法：①定义法（利用数列的定义）；②递推公式法（利用数列的递推关系）；③公式法（利用数列的通项公式）；例如，将差为d的等差数列的通项公式表示为a_n=a_1+(n-1)d，将公比为q的等比数列的通项公式表示为a_n=a_1*q^(n-1)。④合并法（将两个数列合并成一个新的数列，再求其通项公式）。2.数列的性质：①等差数列的前n项和为n/2×(首项+末项)；②等比数列的前n项和为a_1×(1-q^n)/(1-q)（当q≠1时）或na_1（当q=1时）；③一般数列的前n项和可通过递推公式或累加法求得。3.常见数列类型：①等差数列（公差为常数d）；②等比数列（公比为常数q）；③等差数列的前缀和为等比数列（首项为1，公比为d）；④等比数列的前缀和为等比数列（首项为1，公比为q）。4.常见数列通项公式的求法：⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵递推公式法（a_n+1-a_n=c_n型）；⑶公式法（a_n=S_n-S_n-1）；⑷累乘法（a_n+1/a_n=c_n型）；⑸待定系数法（a_n+1=ka_n+b型）转化为na_n+1+x=k(a_n+x)；⑹间接法（例如：a_1-a_n=4a_na_n-1，推导得到a_-1=4）；⑺数学归纳法（n=1时成立，假设n=k时成立，证明n=k+1时也成立）。5.前n项和的求法：⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项法。6.等差数列前n项和最值的求法：⑴S_n最大值：当a_n≥(a+an)/2时，S_n最大；当a_n≤(a+an)/2时，S_n次大；⑵S_n最小值：利用二次函数的图象与性质。7.不等式：①均值不等式：对于任意正数a,b，有ab≤(a+b)²/4，当且仅当a=b时取等。②极值定理：已知x,y都是正数，则当xy为定值p时，x+y最小为2√p，当x+y为定值s时，xy最大为s²/4。③解一元二次不等式ax²+bx+c>0（或<0）：当a>0时，解集为“大于根号下(b²-4ac)的一切实数”或“小于根号下(b²-4ac)的一切实数”；当a<0时，解集为“介于两根之间的实数”。④含有绝对值的不等式：当a>0时，有：①|x|<a等价于-a<x<a；②|x|>a等价于x<-a或x>a。⑤分式不等式：（1）f(x)/g(x)>a等价于f(x)>ag(x)；（2）f(x)/g(x)<a等价于f(x)<ag(x)；（3)a≤f(x)/g(x)≤b等价于af(x)≤bg(x)≤bf(x)。1.指数不等式与对数不等式(1)当$a>1$时，$af(x)>ag(x)$。可得$f(x)>g(x)$，并且$\log_af(x)>\log_ag(x)$。(2)当$0<a<1$时，$af(x)>ag(x)$等价于$f(x)<g(x)$。可得$\log_af(x)>\log_ag(x)$，并且$g(x)<f(x)$。3.不等式的性质：⑴$a>b$等价于$b<a$；⑵若$a>b$且$b>c$，则$a>c$；⑶$a>b$等价于$a+c>b+c$，且若$a>b$且$c>d$，则$a+c>b+d$；⑷若$a>b$且$c>d$，则$ac>bd$；若$a>b$且$c<d$，则$ac<bc$；⑸若$a>b$，则$a^n>b^n$，其中$n\inN^*$；⑹若$a>b$，则$na>nb$，其中$n\inN^*$。4.复数1.概念：⑴$z=a+bi\inR$等价于$b=0$，且$z=z^*$，并且$|z|\geq0$；⑵$z=a+bi$是虚数等价于$b\neq0$；⑶$z=a+bi$是纯虚数等价于$a=0$且$b\neq0$，且$z+z^*=0$，并且$z<0$；⑷$a+bi=c+di$等价于$a=c$且$b=d$。2.复数的代数形式及其运算：设$z_1=a+bi$，$z_2=c+di$，其中$a,b,c,d\inR$，则：（1）$z_1+z_2=(a+b)\pm(c+d)i$；（2）$z_1\cdotz_2=(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$；（3)$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{a+bi}{c-di}=\dfrac{(a+bi)(c+di)}{c^2+d^2}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i$（其中$z_2\neq0$）；（4）$z_1\divz_2=\dfrac{a+bi}{c-di}=\dfrac{(a+bi)(c+di)}{c^2+d^2}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}-\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i$（其中$z_2\neq0$）。3.几个重要的结论：（1）$z_1+z_2+z_1-z_2=2(z_1+z_2)$；（2）$z\cdot\overline{z}=|z|^2$，其中$\overline{z}$表示$z$的共轭复数；（3)$(1\pmi)^2=\pm2i$；（4）$i$的性质：$i^2=-1$，$i^4=1$，$i^{4n}=1$，$i^{4n+1}=i$，$i^{4n+2}=-1$，$i^{4n+3}=-i$，且$i^{4n}+i^{4n+1}+i^{4n+2}+i^{4n+3}=0$。4.模的性质：⑴$|z_1\cdotz_2|=|z_1|\cdot|z_2|$；⑵$|\dfrac{z_1}{z_2}|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}$；⑶$|z^n|=|z|^n$。5.实系数一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解：$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$\Delta=b^2-4ac$。如果$\Delta>0$，则有两个不等的实数解；如果$\Delta=0$，则有两个相等的实数解；如果$\Delta<0$，则有两个共轭复数解。1.二次方程的根公式：对于二次方程ax²+bx+c=0，其中a≠0，它的根公式如下：①若Δ=b²-4ac>0，则方程有两个不同实根：x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a；②若Δ=b²-4ac=0，则方程有两个相同实根：x1=x2=-b/2a；③若Δ=b²-4ac<0，则方程在实数集R内无实根，在复数集C内有两个共轭复根：x1=(-b+√-Δ)/2a，x2=(-b-√-Δ)/2a。2.概率基本概念：⑴事件B包含事件A：当事件A发生时，事件B一定发生，记作A⊆B；⑵事件A与事件B相等：当A⊆B且B⊆A时，事件A与B相等，记作A=B；⑶并（或）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作A∪B（或A+B）；⑷交（与）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作A∩B（或AB）；⑸事件A与事件B互斥：当A∩B=∅时，事件A与B互斥；⑹对立事件：当A∩B=∅且A∪B必然发生时，事件A与B互为对立事件。2.概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：P(A)=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数；⑶几何概型：P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积等）/试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）。3.抽样方法：⑴简单随机抽样：从总体中逐个不放回地抽取n个个体，且每个个体被抽到的概率相等，称为简单随机抽样；⑵系统抽样：将总体均衡地分成几个部分，从每个部分抽取一个个体，得到所需样本，称为系统抽样；⑶分层抽样：将总体分成几部分，按照各部分占总体的比例进行抽样，称为分层抽样。以上三种抽样方法在抽样过