调和数列研究课件

2、提出问题：H(n)是否收敛？我们借助于数学软件Mathematica对H(n)的收敛性进行观察。

Step1定义前n项和H(n)H[n_]:=Sum[1/k,{k,1,n}]

Step2列出H(n)随n变化的数据表

t=Table[{n,N[H[n],6]},{n,1,100}]2、提出问题：H(n)是否收敛？我们借助1nH[n]11.0000021.5000031.8333342.08333…………995.177381005.1873810007.48547100009.78761100000014.39273nH[n]11.0000021.5000031.8333342

Step3根据数据表画出H(n)的图形

ph1=ListPlot[t]Step3根据数据表画出H(n)的图形3通过对所得图象的观察和分析，我们发现它很接近对数函数的图象。我们把它与对数函数y=lnx

的图象一起比较一下。

Step4与对数函数y=lnx作比较

ph2=Plot[Log[x],{x,1,100}]Show[ph1,ph2]通过对所得图象的观察和分析，我们发现它很接近4调和数列研究课件5根据图象比较的结果可以看出，当n很大时，H(n)的图象与ln(n)的图象非常相似，但它们大致相差一个常数。这个常数约为

C=H(100)-ln100≈0.5822.我们将lnx的图象向上平移C个单位后再进行观察。

c1=H[100]-Log[100]ph3=Plot[Log[x]+c1,{x,1,100}]Show[ph1,ph3]根据图象比较的结果可以看出，当n很大时，H(6调和数列研究课件7

猜测1

调和数列的前n项和H(n)是发散数列，它的数值与ln(n)+C很接近。

猜测2

数列H(n)-ln(n)可能是收敛的。猜测1猜测28可以得到如下的数据表：

Step5用计算数据作印证对充分大的n，计算H(n)-ln(n)的值：

t2=Table[N[{n,H[n],Log[n],H[n]-Log[n]},10],{n,1000,10000,1000}]可以得到如下的数据表：Ste9nH(n)ln(n)H(n)-ln(n)10007.485470861

6.9077552790.577715581620008.1783681047.60090245950.577465644130008.5837498908.006367568

0.577382322340008.8713903008.29404964010.577340659750009.0945088538.5171931910.57731566160009.2768137448.6995147480.577298995970009.4309525208.8536654280.577287091880009.5644749848.98719682070.577278163690009.6822510769.1049798560.5772712194100009.7876060369.2103403720.5772656641nH(n)ln(n)H(n)-ln(n)10007.485410

3、研究数列H(n)-ln(n)的收敛性

Step1

令C(n)=H(n)-ln(n)，通过图象观察其特性：

Cup[n_]:=H[n]-Log[n]tup=Table[{n,N[Cup[n],6]},{n,1,100}]ph4=ListPlot[tup,PlotStyle->RGBColor[0,0,1]]

Step2

令c(n)=H(n)-ln(n+1)，通过图象观察其特性：

Clow[n_]:=H[n]-Log[n+1]tlow=Table[{n,N[Clow[n],6]},{n,1,100}]ph5=ListPlot[tlow,PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]3、研究数列H(n)-ln(n)的收敛性11

Step3

比较C(n)和c(n)，在同一坐标系中作出它们的图象。

Show[ph4,ph5]Step312通过观察可知如下事实：

1、C(n)是单调递减数列；

2、c(n)是单调递增数列；

3、c(n)≤C(n)；

4、c(n)，C(n)都是收敛数列，而且它们有相同的极限。通过观察可知如下事实：13

4、结论与证明结论：极限