2023年研究生类研究生入学考试专业课量子力学历年高频考题带答案难题附详解

2023年研究生类研究生入学考试专业课量子力学历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.由两个自旋为1的全同粒子组成的系统的哈密顿量为，其中分别是两个粒子的自旋算符，J实常量，求：系统的能级和能级简并度，以及系统的本征函数．2.设一维谐振子的态在其能量表象下为：

3.已知的本证值为，n=1，2，…．若系统变为，求能级的变化，4.氢原子的基态能量为E0=-e2/2a0，其中为玻尔半径，μ为折合质量，近似等于电子质量

(1)写出电子偶素(氢原子中质子由正电子代替)的基态能量和玻尔半径；

(2)由于电子有自旋，电子偶素基态的简并度是多少?写出具有确定总自旋值的可能波函数及其相应的本征值；

(3)电子偶素的基态会发生衰变，湮没为光子这个过程中释放的能量和角动量是多少?证明终态至少有两个光子5.若电子处于d态，试问其总角动量可以取哪些值?这时轨道角动量与自旋角动量之间夹角是多少?6.已知粒子状态波函数为沙，求：

(1)在r0→r0+dr中找到粒子的概率?

(2)在θ0→θ0+dθ中找到粒子的概率?

(3)在φ0→φ0+dφ中找到粒子的概率?

(4)在x0→x0+dx中找到粒子的概率?7.能量为E的粒子束沿x轴正方向射向Step势，证明对于如下图所示的(a)和(b)两种Step势，粒子束的反射系数相等．

8.轨道角动量可以和外磁场的方向平行吗?为什么?9.两个质量均为μ的非全同粒子在一维无限深势阱中运动，设两粒子之间的相互作用为

其中x1和x2分别为两个粒子的坐标，，V0为常量．以该相互作用为微扰，求基态能量的一级修正，结果只保留到b/a的一次项，10.计算：11.两电子在宽度为L的一维无限深方势阱中，电子间排斥势V(|x1-x2|)可视为微扰，试求体系第一激发态和第二激发态的能级(至微扰

论一级)．12.写出能量表象下的薛定谔方程．13.一个带电粒子被限制在半径为R的圆环上运动，其质量为μ，电荷量为q．在圆环中加上磁场，磁通量为Φ，磁场被约束在r＜R的区域，此时环上磁场为零，但矢势A不为零．粒子的哈密顿量可写为

(1)请问能谱是分立的还是连续的?

(2)请求出粒子的能级和波函数．14.一个质量为μ的粒子处在一维谐振子势阱中，(1)粒子最初处在基态，弹性系数忽然加倍，这样新的势阱是V2=k'x2(k'=2k)．现在测量粒子能量，求发现粒子在新势阱基态的概率；(2)弹性系数和(1)问一样加倍，所以V1突变为V2，但是在新势阱中粒子能量没有被测量经过时间t后，弹性系数忽然回到了初值，问t等于多少时能使粒子态完全回复到V1的基态．15.有一个一维束缚体系(如一维谐振子)，其哈密顿量为，束缚定态记为|0〉，|1〉，|2〉，|3〉，…(均已经归一化)，相应的能量本征值为ε0＜ε1＜ε2＜…现体系受到微扰作用，微扰哈密顿量可以表示为

其中λ为小的实数常量，A为已知的厄米算符．计算微扰修正后体系的束缚定态波函数(近似到λ的一阶)和能级(要求准确到λ二阶)．16.一势垒如下图所示，能量为E的粒子由左向右入射，求E＞V0，E＜V0两种情况下的反射系数和透射系数，

17.已知一量子体系只有两个能量本征态|1〉，|2〉，它们是正交归一的，现对一可观测量测得以下数据

求以|1〉，|2〉为基，的矩阵形式和本征值．18.在球坐标下，证明是厄米算符．19.氢原子处于基态，假定库仑相互作用在t=0时突然消失，电子离开原子像自由粒子那样运动，试求在t＞0的时刻测量电子动量得到动量值为p的概率．20.设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即V=V(t)，与坐标r无关．试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解ψ(r，t)的一般形式，并取V(t)=V0cos(ωt)，以一维情况为例说明V(t)的影响．21.电子处于沿y轴方向的均匀恒定磁场B中，t=0时刻，在Sz表象中，电子的自旋态为

不考虑电子的轨道运动，

(1)求任意t＞0时刻体系的自旋波函数ξ(t)；

(2)求t时刻电子自旋各分量的平均值；

(3)指出哪些自旋分量是守恒量，并简述其理由．22.中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能，总角动量J=L+S．Φ是J2，L2，S2，Jz的共同本征态．现有一电子处于3P1/2态，且mj=1/2．

(1)在一级近似下，ξ(r)可用常数代替，请问电子的能量与3P3/2态差多少?

(2)请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少?

23.对于三维谐振子，势能为，设ωx：ωy，ωz=1:1:2，求能级分布和相应的简并度．24.1800个电子经1000V电势差加速后从x=-∞处射向势阶其中V0=750eV．试问在x=∞处能观察到多少个电子?如果势阶翻转一下，即电子射向势阶则结果又如何?25.设有一电子对置于沿x方向的均匀磁场B中，自旋系统的哈密顿量为

设初始时刻该电子对的两个电子自旋均沿z轴方向，但方向相反，且处于自旋三重态，求：

(1)此后任意时刻该电子对的自旋态|ψ(t)〉；

(2)求t时刻的平均值：26.量子力学刚性转子被约束在一平面内转动，它对转轴的转动惯量是I，并有电偶极矩μ(位于平面内)．转子放在一弱均匀电场ε中，电场位于转动平面内．将电场看成微扰，求能量修正值．27.一质量为μ粒子在宽度为a的一维无限深方势阱(0＜x＜a)中运动，在t=0时粒子处于基态，此时突然加上一个高为V0宽为中心在a/2的方势垒微扰，t0(t0＞0)时撤去微扰，求体系处于前三个激发态的概率．28.质量为μ的粒子限制在xy平面上运动，其哈密顿量是

其中λ是小参数．把λxy项当作微扰，试计算能量为的能级的分裂．29.对于三维谐振子，在球极坐标中写出简并第一激发态的波函数，同时是的本征态．30.核子处于三维各向同性谐振子势场中，，能级为

如果此系统受到自旋-轨道耦合的微扰，问N=2能级将如何分裂?画出能级分裂图，给出各能级简并度．31.的本征值分别为an，bn，在任一态|ψ〉先测得值an、再测得值bn的概率为P(an，bn)，而先测得得bn再测得an的概率为P(bn，an)．问：两者相等的条件为何?试证之．32.把传导电子限制在金属内部的是金属内势的一种平均势，对于下列一维模型(如下图所示)：

试就(1)E＞0；(2)-V0＜E＜0两种情况计算接近金属表面的传导电子的反射和透射概率.33.考虑两个质量为m，自旋全同粒子的散射，设两粒子的相互作用为

其中为泡利矩阵，A，B，α为常量，r为两粒子间距离．在实验中，入射粒子与靶粒子皆为完全非极化．若探测器只对自旋向上的粒子计数，试在质心系利用玻恩近似求对应于该探测器的微分散射截面σ(θ)．34.原子核限度为10-13cm，试用不确定原理估算核内质子的动能(以电子伏为单位)．35.电荷为q、质量为μ的点粒子在沿z方向的均匀恒定磁场B中运动时的哈密顿量为

证明：力学量为守恒量．36.在半径为R的不可穿透的球形空腔中有两个自旋的全同粒子，已知两粒子都处于单粒子轨道角动量L=0的态，不计粒子间相互作用，求：体系基态与第一激发态的能量和波函数，并讨论简并度．37.电子在恒定均匀磁场B=Bez中运动(ez为z方向单位矢量)，同时考虑空间运动与自旋运动：

(1)写出体系的哈密顿量；

(2)求的本征值与本征函数．38.试用变分法求解三维空间如下势阱(其中V0＞0，a＞0)的质量为μ的粒子的基态能量．试探波函数取为．39.算符表示同一体系的两个力学量，它们是可对易的．问在有确定值的态ψf中，是否一定也有确定值?试就的本征值没有简并和有简并两种情况分别论述之，并对后者以氢原子中的电子状态为例说明之．40.在外磁场中一个自旋1/1带电+e的粒子的哈密顿量为

计算算符，设的矩阵形式是什么?41.氢原子势能平均值和动能平均值的比值是多少?42.一个处于基态的氢原子，它的原子核忽然受到一个中子的散射，使它得到速度v．设在这个撞击下，氢原子既不激发，也不电离，求在碰撞后氢原子仍然处于基态的概率．43.自然单位制下，某粒子定态波函数为ψ(x)=π-1/4e-x2/2，已知该态下动能和势能平均值相等，求势能函数V(x)及能量本征值．44.以表示费米子体系的某个单个粒子态的产生和湮没算符，满足基本关系式

以表示该单粒子态上的粒子数算符，求的本征值，并计算两个对易式：45.一粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，求在能量表象中粒子坐标x的矩阵元〈n|x|m〉，式中|a〉，|m〉是第n个和第m个能量本征函数．46.一维谐振子系统，设受到微扰的作用，求对第n个谐振子能级的一级微扰修正．47.电子在有心力场中运动，其中a，b是正数，r=|r|，求它的基态能量和函数．

48.运用H-F定理讨论一维谐振子的势能平均值、动能平均值和二者之间的关系式．49.当势能V(r)改变一常量C时，即V(r)→V(r)+C，粒子的波函数与时间无关部分是否变化?能量本征值是否变化?50.两个自旋为1/2的粒子，在表象中的表示为其中，|αi|2是第i个粒子自旋向上的概率，|βi|2是第i个粒子自旋向下的概率．

(1)求哈密顿量的本征值和本征函数(V0为一常量)；

(2)t=0时，体系处于态α1=β2=1，α2=β1=0，求t时刻发现体系在态α1=β2=0，α2=β1=1的概率

分析：(1)已知奈件中的态表示是在非耦舍表象中的表达式，可验证(S1z，S2z)表象(4×4空间)的彼此正交归一的基矢并非全是待求哈密顿量的本征态，可将哈密顿量在非耦合表象中的矩阵表示出，通过久期方程求本征值和本征函数；(2)首先应求出t时刻体系的状态，再利用完备性关系不难求出概率．第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：[解]对于自旋为1的粒子

的属于本征值的本征态为

由上述表达式容易证明：

(1)两自旋为1的粒子在非耦合表象中的力学量完全集为，本征态为

α(1)α(2)，β(1)β(2)，γ(1)γ(2)，α(1)β(2)，β(1)α(2)

β(1)γ(2)，γ(1)β(2)，α(1)γ(2)，γ(1)α(2)

(2)两自旋为1的粒子在非耦合表象中的力学量完全集本征态可由(1)问中9个态线性叠加表示出来令总自旋S量子数为S，则由角动量耦合理论可得

S=S1+S2，S1+S2-1，…，|S1-S2|，S=2，1，0

(2)

总自旋z分量的量子数ms及的共同本征态及简并度为

S=2:ms=2，1，0，-1，-2；本征态记做χ2ms，5重简并

S=1:ms=1，0，-1；本征态记做χ1ms，3重简并

S=0:ms=0；本征态记做χ00，非简并

考虑到，所以体系的能级为

能级列表如下：

(3)下面求解本征态的具体表达式

通过全同粒子的波函数的对称化规则和(1)式容易得到：

χ2m和χ00为对称波函数；χ1m为反对称波函数．

具体表达式如下：

2.参考答案：解：一维线性谐振子哈密顿量在能量表象下为对角矩阵，即

因为

而，所以在该态下能量平均为：

下面计算，由于

所以

同理：可求出3.参考答案：解：方法一：在动量表象中将哈密顿量化为标准形式，然后给出结果．

取显然变换不改变量子化条件(坐标和动量的对易关系)，上式改为

在动量表象中

所以新哈密顿量的能级为

故能级改变为

方法二：利用Hellmann-Feynman定理求解．

令φn为的属于本征值En的本征态，根据Hellmann-Feynman定理可得

因为，所以

故有

由(6)式和(8)式可得

因为，因此(9)式积分可得能量的改变量为

4.参考答案：[解]

me=9.11×10-31kg，mp=1.67×10-24g，

(1)在中μ为折合质量，电子偶素的折合质量为

故电子偶素对应的玻尔半径为

基态能级：

(2)这相当于两电子体系，基态简并度为4．记正电子为粒子1，电子为粒子2，单个粒子的自旋在z方向分量的本征态为α，β(分别对应本征值为)，则基态的具有确定总自旋和总自旋z分量的本征态为

(3)正负电子湮没时，主要来自于两者静质量

①ΔE=2mec2=1.02MeV

释放出的角动量大小取决于湮没前电子所处状态．在基态，轨道角动量为0，没有贡献，所以对S=0的态来说释放的角动量为0，即无角动量放出；对的那些态来说，释放出角动量大小为

②假设电子偶素湮没后只放出一个光子，则过程的能量和动量不可能守恒．原因是：光子只要有能量，就一定同时带有大小为E/c的动量，于是光子在任何一个参考系中动量不为0．而在电子偶素的静止参考系中，过程前后动量都应为0，因此可断定终态至少有两个光子．5.参考答案：[解]电子处于d态，l=2，，所以

由于，所以

故有

同理6.参考答案：[解]首先将波函数归一化

归一化的波函数为

(1)在r0→r0+dr中的概率为

(2)在θ0→θ0+dθ中的概率为

(3)在φ0→φ0+dφ中的概率为

(4)在x0→x0+dx中的概率为

7.参考答案：[解]

令，对于下图1不妨取分界点为0，则

图1

Ⅰ区：，所以有

ψⅠ(x)=eik1x+Re-ik1x(x＜0)

Ⅱ区：，所以有

ψⅡ(x)=Teik2x(x＞0)

由连续性条件得：

所以反射系数为

同理，对于图2有

图2

Ⅰ区：，所以有

ψⅠ(x)=eik2x+Re-ik2x(x＜0)

Ⅱ区：，所以有

ψⅡ(x)=Teik1x(x＞0)

由连续性条件得

所以反射系数为

故两者相同．8.参考答案：[解]轨道角动量不能和外磁场的方向平行，因为在外磁场中，原子的附加能量为-μ·B，而，此项能量，当L和B平行时，原子处于激发态，不能稳定．9.参考答案：解：对于非全同的两粒子，基态未微扰的波函数和能量分别为

能级的一级修正为

因为

所以

由于，故保留到b/a的一次项有10.参考答案：[解]利用两算符相等的定义，将对易式作用在任意波函数上计算

利用两算符相等的定义，可得11.参考答案：解：势能写为

波函数

单粒子自旋波函数为

(1)不考虑自旋相关力，总波函数可分解成空间波函数与自旋部分乘积

(a)自旋部分：{S，Sz}，S=S1+S2

s=0，自旋单态；s=1，三重态

(b)空间部分：

总波函数：

能级：

(ⅰ)基态：n=l=1，空间对称，自旋反对称，

(ⅱ)第一激发态：n=1，l=2，

(ⅲ)第二激发态：n=2，l=2，自旋必为单态，非简并

(2)第一激发态微扰计算

因V=V(|x1-x2|)与微扰无关，可视为非简并情形

第二激发态准至一级：

12.参考答案：解：在能量表象中，哈密顿为对角矩阵，其矩阵元为

即

由于，则Cn=〈n|ψ(r，t)〉为能量表象中的波函数．则在能量表象中的波动方程为

13.参考答案：解：

显然的本征态为系统的本征态，即

代入定态薛定谔方程可得

其中m为整数．因此，粒子的能级是分立的．14.参考答案：[解](1)粒子出现在V2基态的概率为：

(2)当弹性系数加倍后，粒子在时刻t处于V2各偶宇称态的叠加态：

当弹性系数忽然恢复时，处在V1的基态的概率为

显然，只要|Cn|2前系数的相因子一致，上式就等于1，即，从而

15.参考答案：解：一维束缚体系非简并，根据非简并微扰论，第n个束缚定态一级微扰修正为

(1)准确到一级微扰，微扰后体系的第n个束缚定态为

其中

将(3)式代入(2)式可得

因为束缚定态|0〉，|1〉，|2〉，|3〉，…均已经归一化，考虑到它们的完备性(4)式可表示为

其中为厄米算符在|n〉态下的平均值，由(5)式知态的一级修正为

(2)能量的二级微扰修正为

故准确到二级微扰能量为

16.参考答案：E＞V0的情况

薛定谔方程为

令，上述方程化简为

其解为

由x=0处波函数连续性条件得到

解得

由于，所以

又由于，所以

(2)E＜V0的情况

令，在x＞0区域内定态方程为ψ"-ρ2ψ=0，其解为

ψⅡ=D'e-ρx+Deρx

由公式，知

由于当x→∞时，ψⅡ=D'e-ρx+Deρx必须有界，可得D=0．所以jⅡ=0，即在x＞0区域概率流密度为零，于是有透射系数为零，反射系数为1．17.参考答案：解：方法一：充分利用封闭性条件和厄米算符性质求解．

由已知条件和上式可得所以

故有

综合上述结果得力学量在基|1〉，|2〉下的矩阵为

解得其本征值为

方法二：利用厄米算符本征函数的正交归一完备性和厄米算符性质求解．

设，由可得(利用

所以

因为，所以可设

则有

利用力学量算符为厄米算符可有：

所以结合已知条件得：η=1

下同方法一．18.参考答案：[证明]取任意波函数ψ与χ，则

19.参考答案：[解]t=0时电子处于氯原子基态：，其中a0为玻尔半径．

t＞0时电子哈密顿量，p为守恒量，有共同本征态

将ψ(r，θ，φ)用展开

所以

因动量为守恒量，故|Cp(t)|2=|Cp(0)|2，因此t＞0时测量电子动量p的概率为：

20.参考答案：[解]令，代入含时薛定谔方程可得

所以

解得：

取V(t)=V0cos(ωt)，则有

所以对于一维情况有

上式表明：外场的作用仅是给平面波提供一个受时间调制的相角．21.参考答案：[解]哈密顿量为：其中取表象，利用可得

(1)取，由薛定谔方程可得：

所以有：

同理有

(2)式得一般解为：

a(t)=Acos(ωLt+φ1)，φ1为初相位

b(t)=Bcos(ωLt+φ2)，φ2为初相位

由已知初始条件可得，A=B=1，φ1=φ2=α．

故

(2)t时刻电子各分量平均值为：

其中

(3)自旋分量为守恒量，因22.参考答案：[解]Φljmj≡|ljmj〉为的本征态，本征值分别为

对于态：

(1)在一级近似下：

为L·S的本征态，对应的能量为

为L·S的本征态，对应的能量为

所以电子的能量与

(2)由题给公式：，所以

即

所以在态上的平均值为：

所以

在z方向均匀磁场中电子的能量改变为：(近似到一级)

故

即电子能量改变为23.参考答案：[解]由题意可知，能级应该为三个独立的谐振子能级之和，即

其中nz，nx，ny为非负整数，

当ωx:ωy:ωz=1:1:2时，可取ωx=ωyω，ωz=2ω，所以有

取N=2nz+nx+ny，则2nz≤N，

nz有，一共有种取法(注：[]表示取整)．nz确定后，nx≤N-2nz，nx有0，1，2，…，N-2nz，一共有N-2nz+1种取法．

，N-2nz+1=1(N为偶数)或2(N为奇数)所以，N为偶数时，利用等差数列求和公式，总取法数，即能级简并度为

当N为奇数时，总取法数，即能级简并度为

24.参考答案：[解]由散射条件分区写下波函数

ψ=eikx+re-ikx，x＜0

ψ=teik'x，x＞0

其中

连接条件：ψ(0-)=ψ(0+)，ψ'(0-)=ψ'(0+)，导致

1+r=t，ik-ikr=ik't

由此解得

于是穿透系数为：T=1-R=1-r2．

本题：V0=750eV，E=1000eV，所以

r=-1/3，R=1/9；T=8/9．

在x=∞处观察到的粒子数为：N×T=1800×8/9=1600．

对翻转的势阶，由翻转定理，结果不变，即在x→∞处仍观察到1600个粒子．25.参考答案：[解]令，则有

由于的本征值和本征态分别为(α，β为的本征态)：

本征值：1

本征态：

本征值：-1本征态：

所以系统的能级和本征函数如下(χ1ms，ms=，0，-1，自旋三重态；χ00为自旋单态)：

(1)任意t时刻波函数为

|ψ(t)〉=e-i2ωtc++|σx，+〉1|σx，+〉2+ei2ωtc--|σx，-〉1|σx，-〉2

+c+-|σx，+〉1|σx，-〉2+c-+|σx，-〉1|σx，+〉2

(6)

由初始时刻体系波函数为|ψ(0)〉=χ10，由(2)式—(5)式，根据态叠加原理和两电子波函数的正交性有

故有

(2)利用

可得

26.参考答案：解：无外场作用时，，本征方程为

解得

微扰哈密顿量为(选x方向为ε方向)

能量一级修正为E(1)=0

能量二级修正为

27.参考答案：解：无微扰时，波函数和能级分别为

由题意，t＞0时，微扰哈密顿量为

在t0时刻，撤去微扰时，由基态跃迁到激发态的概率为

其中

在下，由积分中值定理可得

所以有

对于第一激发态和第三激发态，m=2和m=4，跃迁概率均为零．对于第二激发态，m=3，则有

28.参考答案：解：由题意，故其本征函数为两谐振子本征函数之积，能量为两谐振子系统能量之和，即

当nx=1，ny=0或者nx=0，ny=1时为第一激发态，，2重简并．

现计算在第一激发态对应的2×2空间中矩阵元：

取，则有

由于，故，因此

同理：

故久期方程为

由对应行列式为零，解得：

所以能级分裂为两条，能级间距为，即

29.参考答案：[解]三维谐振子的波函数为

ψn1n2n3(r)=ψn1ψn2(y)ψn3(z)

基态为(n1n2n3)=(0，0，0)，第一激发态为(n1n2n3)=(1，0，0)、(0，1，0)、(0，0，1)，且

将x，y，z用球谐函数展开，重新组合可得lz的本征态

30.参考答案：解：由题意知N=2nr+l=2，故有两种情况：nr=0，l=2，5重简并；nr=1，l=0，非简并，考虑到自旋，简并度加倍，即此能级是12重简并的，本征态为

这是非耦合表象中的基矢量．

微扰哈密顿量为

为求微扰引起的能级分裂，只需要在N=2子空间对角化．选择耦合表象来计算，耦合基是|2ljmj〉，对应的量子数如下

在耦合表象中，微扰哈密顿量为对角矩阵，相应矩阵元为

能级分裂图如下图所示．图中D表示简并度．

31.参考答案：[解]，其中cn=〈an|ψ〉在态|ψ〉中测得an值的概率为|cn|2=|〈an|ψ〉|2，在|ψ〉下测得an后状态变为|an〉，所以在态|an〉下测得bn，的概率为|〈bn|an〉|2，即

P(an，bn)=|〈an|ψ〉|2·|〈bn|an〉|2

(1)

同理可以求出在态|ψ〉下先测得bn再测得an的概率为

P(bn，an)=|〈bn|ψ〉|2·|〈an|bn〉|2

(2)

要使(1)式和(2)式相等对一切n都成立，需要

|〈an|ψ〉|2=|〈bn|ψ〉|2

(3)

而|ψ〉任意，故|an〉=|bn〉对一切的n都成立，所以有共同的完全的本征函数系且不简并为两概率相等的条件．32.参考答案：[解]把代入薛定谔方程，有

x＜0区域

x＞0区域

方程的通解为：

(1)对于E＞0，电子波函数为

显然D=0，由x=0处连续性得：A+B=C，q(A-B)=pC，所以

计算概率流密度可得

所以透射系数和反射系数分别为

(2)在-V0＜E＜0下，则

在x＞0时的有界的解是

ψ2=Ce-(x/2d)

其中

由x=0处的连续性可得

A+B=C

由此得到：

将系数之间的比例表达式代入，则在x＞0处有

33.参考答案：解：不失一般性，取自旋沿着n方向的投影

因为对于单态和三重态：

相互作用势可简记为，由玻恩近似得

其中为折合质量，对单态和三态，分别对称化和反对称化后得：

其中考虑由于高能散射，，相应在上式中作了近似．由于初态完全非极化，散射后体系的状态为

四种情况，各占概率，对于终态我们仅关心一个粒子的自旋，由于波函数已经对称化，容易证明对任何粒子1的测量值和对粒子2的测量值是相等的．

〈Ψ12|O1|Ψ12〉=〈Ψ12|P12(P12O1P12)P12|Ψ12〉=〈Ψ12|(-1)(O2)(-1)|Ψ12〉

=〈Ψ12|O2|Ψ12〉

因此以下只考虑粒子1自旋向上的可能状态，这只有两种情况↑↑，↑↓能满足条件．因此，微分散射截面为：

34.参考答案：[解]可用Δp估计p，，故有

因为

故：

35.参考答案：证明：因为力学量r不显含时间，故只需证明它与系统的哈密顿量对易．

证毕．36.参考答案：解：单粒子在半径为R硬球形空腔中的能级和对应波函数为：

电子为费米子，总波函数应满足反对称的条件．体系能级为

(1)基态

基态能量为：n1=n2=1，

基态波函数为：

简并度为1

其中为电子自旋单态．

(2)第一激发态能量

第一激发态能量为：n1=2，n2=1或n1=1，n2=2，

第一激发态波函数为：(简并度为4)

37.参考答案：解：此题中应该不考虑自旋与轨道间相互作用

(1)

(2)显然自旋角动量与轨道角动量可以分离变量

令ψ=φ(r)χ，代入上式：

即：

解得：

38.参考答案：解：本题中应特别注意动能平均值在球坐标中的计算．

由题意知：波函数关于角向对称，故对于动能只需要计算径向动能，关于角向部分贡献波函数加上归一化因子即可．

取ψ(r)=Ae-λr，首先求归一化因子

经过分部积分解得：

(1)动能平均值计算：

(2)势能平均值计算：

故有在试探波函数下的能量为

因束缚态能量小于零，因此必须

对于束缚态，λ＞0，由极值条件可知，当时有V0极小值，因此

由可得

整理得到：

由(7)式和束缚态条件可得：

由三阶方程求根公式可以求得能量取极小值时(即基态)的，将其代入(5)式可得基态能量为

39.参考答案：无简并情况

由已知条件，，所以有

即亦为算符对应本征值af的本征态又因为的本征值问题是非简并的，则最多与|f〉差一个常数因子，即，bf为常数．故|f〉也是算符的卒征态，本征值为bf．

(2)设有简并，k重简并：

即也是的本征值为af的本征态，但因有简并，一般有，因此在态|fα〉中不一定有确定值．例如：在氢原子中的电子，对易，有共同的本征态|nlm〉，由于有确定值的态是简并的，故在共同的本征态中不一定取确定值如在态中，有确定值，l2有确定值，显然无确定值.40.参考答案：[解]在海森伯表象中，有

因此

若，则

得

其中由初始条件得

因此

41.参考答案：[解]根据位力定理，在定态中，而氢原子所以，故有

即42.参考答案：[解]选择速度为v运动的原子核为参考系(记做K')，刚碰撞的一刻，电子波函数未来得及改变，故碰撞后电子波函数还是氢原子基态ψ100(r)，但应将ψ100(r)变为K'参考系中去碰撞后的状态波函数为

Ψi(r)=ψ100(r)e-ik·r

(1)

其中

碰撞后的状态波函数可由氢原子中电子本征波函数ψnlm(r，θ，φ)来展开

因此，碰撞后氢原子仍处于基态的概率为

W100=|〈ψ100|Ψi〉|2

(3)

其中

所以

43.参