北师大版（2019）数学必修第一册：5.2.2《用函数模型解决实际问题》教案

本资料分享自千人教师QQ群323031380期待你的加入与分享本资料分享自千人教师QQ群323031380期待你的加入与分享用函数模型解决实际问题【教学目标】1．通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养。2．通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养。【教学重难点】1．会利用已知函数模型解决实际问题。(重点)2．能建立函数模型解决实际问题。(重、难点)【教学过程】一、基础铺垫常用的函数模型：二、新知探究1．表格信息类建模问题【例1】某国2015年至2018年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份2015201620172018x(年)0123生产总值(万亿元)8.20678.94429.593310.2398(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值。[解](1)根据表中数据画出函数图形，如图所示。从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为y＝kx＋B．把直线通过的两点(0，8.2067)和(3，10.2398)代入上式，解方程组，可得k＝0.6777，b＝8.2067．所以它的一个函数关系式为y＝0.6777x＋8.2067．(2)由(1)中得到的关系式为f(x)＝0.6777x＋8.2067，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为f(1)＝0.6777×1＋8.2067＝8.8844，f(2)＝0.6777×2＋8.2067＝9.5621．与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元。(3)2019年，即x＝4，由上述关系式，得y＝f(4)＝0.6777×4＋8.2067＝10.9175，即预测2019年该国的国内生产总值约为10.9175万亿元。【教师小结】(1)根据表格信息，画出图像；(2)根据图像特征，选定函数模型；(3)用待定系数法求出函数解析式；(4)检验模型。2．图像信息解读问题【例2】如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图像。图1图2图3(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示。你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？[解](1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利。(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价。(3)斜率表示票价。(4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元。【教师小结】（1）这类问题应结合图像的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决。（2）挖掘图像中的信息是关键。三、课堂总结1．函数模型的应用实例主要包括2个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求。3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化。四、课堂检测1．思考辨析(1)在建立实际问题的函数模型时，除了要考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义。()(2)由函数模型得到的解就是实际问题的解。()[答案](1)√(2)×2．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了akm，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm(b＜a)，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为()ABCDC[由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升。由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段。然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升。故选C．]3．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离x(km)0＜x≤500500＜x≤10001000＜x≤1500…邮资y(元)5.006.007.00…如果某人在西安要快递800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是()A．5.00元 B．6.00元C．7.00元 D．8.00元C[由题意可知，当x＝1200时，y＝7.00元，故选C．]4．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图所示，窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积S最大，窗户应具有怎样的尺寸？[解]由题意得窗框总长l＝eq\f(π,2)x＋x＋2y，∴y＝eq\f(2l－π＋2x,4)，∴S＝eq\f(π,8)x2＋xy＝eq\f(π,8)x2＋x·eq\f(2l－π＋2x,4)＝－eq\f(π＋4,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2l,π＋4)))2＋eq\f(l2,2π＋4)。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＝\f(2l－π＋2x,4)＞0，))得x∈eq\b\lc\(\r