椭圆及其性质训练题

椭圆及其性质训练题一、题点全面练1．方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A．(4，＋∞)C．(－∞，4)B．{4}D．(0,4)xy22解析：选D因为椭圆的标准方程为＋＝1，焦点在x轴上，所以0＜k＜4.4kxy222．(2019·六盘水模拟)已知点F，F分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P4312在椭圆C上，且∠FPF＝60°，则|PF|·|PF|＝()1212A．4C．8B.6D．12解析：选A由|PF|＋|PF|＝4，|PF|2＋|PF|2－2|PF|·|PF|·cos60°＝|FF|2，12121212得3|PF|·|PF|＝12，所以|PF|·|PF|＝4，故选A.1212xy223．(2018·大连二模)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点ab22b相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为()3和两个焦点1A.41B.31C.22D.3解析：选C由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得2×2c×b＝21(2a＋2c)×3，得a＝2c，即e＝＝，故选C.a21bc1xy224．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则43―→OP·―→FP的最大值为()A．2B.3C．6D．8xy3x204―→―→22解析：选C设点P(x，y)，则＋＝1，即y＝3－.因为点F(－1,0)，所以OP·FP00432000＝x(x＋1)＋y＝x＋x＋3＝(x＋2)2＋2.又x∈[－2,2]，所以(―→OP·―→FP)＝6.1120204400000maxxy225.(2019·滁州模拟)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点ab22为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离4不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()5343A.0，B.0，2343C.，1D.，12解析：选A根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，|AF|＋|BF|＝2a＝4，所以a＝2.设M(0，b)，|3×0－4×b|4≥，所以1≤b＜2.又e＝＝ac1－＝1－，所以0＜bb22因为d＝3＋－5a24223e≤.故选A.2x26．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F，F，过F作垂直于x轴的直线与椭圆相交，4121一个交点为P，则|PF|＝__________.21解析：F(－3，0)，∵PF⊥x轴，∴P－3，±，211―→1∴|PF|＝，21―→17∴|PF|＝4－＝.2227答案：27.与圆C：(x＋3)＋2y2＝1外切，且与圆C：(x－3)＋2y2＝81内切的动圆圆心P的轨12迹方程为__________．解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC|＝r＋1，|PC|＝9－r.所以|PC|121＋|PC|＝10＞|CC|＝6，即P在以C(－3,0)，C(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，所21212xy22以点P的轨迹方程为＋＝1.2516xy22答案：＋＝12516xy228.(2019·嘉兴模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为ab22F，F，若以F为圆心，b－c为半径作圆F，过椭圆切线，上一点P作此圆的切点为T，且1222|PT|的最小值不小于23(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________．解析：因为|PT|＝|PF|－2b－c2，|PF|的最小值为a－c，所以|PT|的最小值为22a－c2－b－c2.依题意，有a－c2－b－c2≥23(a－c)，所以(a－c)≥24(b－c)，所以2a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)≥24(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.①又b＞c，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以2e2＜1.②32联立①②，得≤e＜.5232答案：，5239．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.2(1)求椭圆C的方程；(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.xy22解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．22aba＝2，a由题意得c解得c＝3.所以b2＝a2－c2＝1.3＝，2x2所以椭圆C的方程为＋y2＝1.4(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．由题设知m≠±2，且n≠0.n直线AM的斜率k＝，m＋2AMm＋2故直线DE的斜率k＝－.nDEm＋2所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．nn直线BN的方程为y＝(x－2)．2－m＋2ymxm＝－－，n联立ny＝x－，2－mn－m2解得点E的纵坐标y＝－4－m＋n.22E4由点M在椭圆C上，得4－m＝4n2，所以y＝－5n.2E又S＝12|BD|·|y|＝|BD|·|n|，25△BDEE1S＝|BD|·|n|.2△BDN所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.xy2210．(2019·西安模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，离心率为e.2ab223(1)若e＝，求椭圆的方程；2(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF，BF的中点，若坐标2223原点O在以MN为直径的圆上，且＜e≤，求k的取值范围．22c3解：(1)由题意得c＝3，＝，所以a＝23，又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3.所以椭a2xy22圆的方程为＋＝1.123xy(2)由22＋＝1，ab得(b2＋ak22)x2－ab22＝0.22y＝kx设A(x，y)，B(x，y)，1122－ab22所以x＋x＝0，xx＝，依题意易知，OM⊥ON，四边形OMFN为平行四边形，所b＋ak12222122以AF⊥BF.22―→―→因为FA＝(x－3，y)，FB＝(x－3，y)，211222―→―→所以FA·FB＝(x－3)(x－3)＋yy＝(1＋k2)xx＋9＝0.22121212－aa－＋k222即ak22＋a2－＋9＝0，a－18a＋818142将其整理为k2＝＝－1－.－a＋18aa－18a424223因为＜e≤，所以23≤a＜32，即12≤a2＜18.22221所以k2≥，即k∈－∞，－∪，＋∞.844二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分xy221．(2019·长沙模拟)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，22abB关于原点对称，且满足―→FA·―→FB＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是()5B.，125A.，233D.[3－1，1)2C.，3－12解析：选A设椭圆左焦点为F′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，又―→FA·―→FB＝0，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.设|AF′|＝n，|AF|＝m，则在Rt△F′AF中，m＋n＝2a①，m2＋n2＝4c2②，联立①②得mn＝2b2③.mn2cm12c22②÷③得＋＝，令＝t，得t＋＝.nmbntb2212c52mn又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得＝t∈[1,2]，所以t＋＝∈2，.故椭圆C的离心率的tb2225取值范围是，.23xy222．(2019·郑州质量预测)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点和上顶点分别为A，B.22ab左、右焦点分别是F，F，在线段AB上有且只有一个点P满足PF⊥PF，则椭圆的离心率的1212平方为()3A.23－5B.2－1＋53－1D.2C.2解析：选B由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF⊥PF，得点P是以点O为圆心，线段FF为直径的圆1212x2＋y2＝c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且|OP|＝c，即点O到直线AB的距离为c.又直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0，点O到直线ABab的距离d＝＝c，两边同时平方整理得，ab22＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，b＋a22bbb－1＋5c2222可得b4＋ab22－a4＝0，两边同时除以a4，得＋－1＝0，可得＝，则e＝＝22aaaa22222a－bb－1＋53－5＝1－＝1－＝，故选B.222a2a222(二)交汇专练——融会巧迁移3．[与立体几何交汇]如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()31B.2A.323D.2C.2243解析：选B设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为＝，sin60°32331即长半轴长为，所以半焦距为，故离心率为3.32xm24．[与数列交汇]已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为()30A.6B.730C.6或75D.或76解析：选C由题意知m2＝36，解得m＝±6.当m＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a30＝6，b＝1，c＝5，则e＝6；当m＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝6，c＝7，则e＝7.故选C.xy225．[与圆的交汇]设F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P是椭圆C上的点，ab22a2圆x＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为()2935B.3A.31017D.5C.4解析：选D如图，取线段PF的中点H，连接OH，OA.设椭圆另一个焦点为E，连接PE.∵A，B三等分线段PF，∴H也是线段AB的中点，即OH⊥AB.a－d设|OH|＝d，则|PE|＝2d，|PF|＝2a－2d，|AH|＝.3在Rt△OHA中，|OA|＝2|OH|＋2|AH|，解得2a＝5d.在Rt△OHF中，|FH|＝45a，|OH|＝，a5|OF|＝c.由|OF|＝2|OH|＋2|FH|，2c17化简得17a2＝25c2，＝.a517即椭圆C的离心率为.故选D.5xy6．[与向量交汇]已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足―→AP＝(λ－1)―→OA(λ∈R)，22259且―→―→OA·OP＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为__________．解析：∵―→AP＝