gs函数的极限与连续VIP

会计学1gs函数的极限与连续前面讨论了数列xf=(n)的极限,它是函数极限中的特殊情形,特殊性在于:n只取自然数,且n趋于无穷大.n第1页/共133页现在讨论x)=y(f的极限,自变量x大致有两种变化形式x)1(.x2),(x(有限数.)0并且x,不是离散变化的,而是连续变化的.第一节 函数的极限一、x

时,

f(x)的极限内有定义,也可记为(fx)x,(a+)定义1.设f

(x)在(M,+若>,0X,0>当x>X(或<xX)时,相应的函数值(f)x满足(|fx)a|<.则称常数a为f(x)当x+时的极限,记作(或()))(或x)也可记为f(x)a,(x))第2页/共133页此时也称当x

+

(x

–

)时,

f

(x)的极限存在.否则,称它的极限不存在.若>0,X>0,当x>X(或x<X)时,有|f(x)a|<.若>0,正整数N,使得当n>N时,都有|xna|<,第3页/共133页注第4页/共133页1.将这个定义和数列极限定义相比较,n就是将x=f(n)换成了f(x).将“正整数N”换成“实数X>0”.但是,数列极限中n是离散变化的,而这里x是连续变化的.例11..证明其中0a<1.<证::0<<1,要使x|a|0<xa=.看图.yy=axx10yx

x只须若

>0,

X

>0,

当x>X

(或x<

X)

时,

有|f

(x)

a

|<第5页/共133页.定义2.设f

(x)在(,

M)

(M,

+)内有定义.X

>0,当|x|>X时,相应的若

>0,函数值满足|f(x)a|<则称a为f(x)当x时的极限,由定义1,2可知记作第6页/共133页直观地,表示当自变量x

无限增大时,曲线y

=f

(x)上的对应点的纵坐标f(x)会无限接近于数a.从而曲线y=f(x)会越来越贴近直线y=a.第7页/共133页即,当x无限增大时,曲线y=f(x)以直线y=a为渐近线.如图xoyy

=

f

(x)a第8页/共133页任作直线

y

=

a

.

( >

0),

都存在X

>

0.当x

>X

时,函数y

=f

(x)的图形夹在这两直线之如图间.xyoa+aaXy

=

f

(x)第9页/共133页直观地,这个式子表示当x<0且|

x

|无限增大时,函数y=f

(x)图象以y

=a为渐近线.按定义,作直线

y

=

a

.

( >

0),

存在X

>

0.之当

x

<

X

时,

y

=

f

(x)的图形夹在两直线y

=

a如图间.xyoa+

aaXy

=

f

(x)第10页/共133页按定义,作直线

y

=

a

.

( >

0),

存在X

>

0.xo当|

x

|

>X

时,y

=f

(x)的图形夹在两直线y

=a如图之间.ya+

aaXX第11页/共133页比如,由y=arctgx的图象yoy

=

arctg

xx第12页/共133页二、当x

x0时,

f

(x)的极限第13页/共133页x0时的极限,f

(x)a可用|

f

(x)

a

|<

刻划,x0时,

对应的函数值f

(x)

a,

则如何用精确的数学而xx0则可用x||<x0刻划.若当x称a是f

(x)当x语言刻划这一事实?定义3.设f

(x)在x0的某个去心邻域Û(x0)内有定义,a时,f

(x)的极限存在,第14页/共133页若>0,>0,当0<|xx0|<时,相应的函数值)x(f满足)x(f|<|a,则称常数a为)(fx的当xx0时的极限,记作此时也称当x否则,称当xa时,f(x)的极限不存在.注1.与数列极限定义比较:将“)nf=nx(”换成x,)(f将“N”换成“0>”,将“Nn>”换成“x|<0x<|0”.若

>0,

正数数N,

使得当n>N

时,

都有|xn

a|<

,>0,

>0,当0<|xx0|<

时,

|

f

(x)

a

|<

,则记第15页/共133页00第16页/共133页而现在x,x“<|x0<|x”表示了这一意思.这是因为在数列极限中.n.而“N>n”表示了n充分大这一意思.x0|<

”.

表示x

x0.例22..设c为常数,则例33..x0x总表示x无限接近,0x但x0x这一意思.注2.定义中“0<|x因此,f(x)在0x是否有定义与fx)(在0x是否有极限无关.>0,

>0,当0<|xx0|<时,

|

f

(x)

a

|< ,

则记第17页/共133页例44..证明证::,0>要使|f(x)–2|<,只须|x–1|<.(本例说明x()f在0x无定义,但其极限可能存在)取=.则当0<|x1|<时,有|(x)f–<2|,故x0|<

时,>0,有|

f

(x)>0,

当0<|xa

|<

,第18页/共133页看图.x01第19页/共133页y2yyy=f

(x)x

1

x

xx

1证：>0,第20页/共133页|x31|=|x(+x+1)|=|xx()121||x2+x+1|因x1,故不妨设0|x<1|<1,即<20<x故|=x2+x+1|x+2x+1<4+2+1=7从而3|x7<||1x.1|例55..考虑要使|x31|<,只须7|x1|<,即|x1|<即可.取=min(,1),则当0<|x1|<时,(有|x1|<1及|x1|<)有|x31|<.第21页/共133页例66..证明证::注意到不等式|sin|x|x|>0,要使x|sin–0xnis<|,只须x|–<|0x,取=.x0|<

时,>0,有|

f

(x)>0,

当0<|xa

|<

,第22页/共133页(本例说明sinx和cosx在x0处的极限值就等于它在x0处的函数值。)第23页/共133页证::>0要使|lnxln|0x或,第24页/共133页0e-x<x<x0e-即只须(1x0e-)<x0<x0(ex

1).取min{x0(=1e-),x0(e

1)},则当0<|xx0|<时,(有xx0<<x0(e

1),(1x0e-)<

<xx0)例77..有|lnxlnx0|<.从本例可见,一般,与和x0有关,第25页/共133页对同一个,当x0不同时,可能不同。曲线y=f(x)上对应点的纵坐标会无限接近于a.即第26页/共133页如图xyoa+aax0y

=

f

(x)xx0+第27页/共133页定义4：设f

(x)在x0的右边附近(左边附近)有定义，>0.

当0<x–x0<

(或0<

x0–

x若

>0,<

)时，有则称a为f(x)当xx0的右极限(或左极限,)记作左、右极限第28页/共133页即，f(x)在点0x处的极限存在的充要条件是(fx)在0x的左、右极限存在，并且相等。定理11..>0,

>0,当0<|xx0|<时,

|

f

(x)

a

|< ,

则记若>0,>0.当0<x–x0<(或0<x0–x

<)时，有第29页/共133页第30页/共133页例88..设=)(fxx,n,xsi当当0>x时x,0时,解：由于当x0时,对应的函数值.x=)x(f由于当x>0时,对应的函数值f=sinx.(x))fx(是一个分段函数，=0x是这个分段函数的分段点.对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论.第31页/共133页例99..设(x)=fx,cosx,当当x>0时x,0时,左、右极限存在,但不相等,解：第32页/共133页以后,常用下列记号表示函数的左,右极限看图0+cosxxx0¯y1yyx第33页/共133页定理22..定理33..三、函数极限性第34页/共133页质推论11::第35页/共133页推论22..(1)若存在>0,使当0<|xx0|<时,有f(x)g(x).当0<|xx0|<时,有f(x)g(x).(2)则存在>0,第36页/共133页证::(1)由于当0<|xx0|<时,有f(x)g(x).所以,若记F(x)=f(x)g(x),则当0<|xx0|<时,有F(x)=f(x)g(x)0.由推论1及第四节极限的运算法则,有从而(2)自证第37页/共133页当x时情形类似,自述,自证.定义5:若存在x

的某去心邻域Û(x

)，使得f(x)0

0第38页/共133页在Û

(x

)内有界，则称f

(x)是x

x

时0

o的有界量.若>0，使得f(x)在(–,–X)(X,+)内有界,则称f(x)是x时的有界量.比如y=x2在定义域(– ,

+ )

内是无界的,但在x=0的某个小邻域内是有界的.因此,y=x2是x0时的有界量.y=x20xy–第39页/共133页M0yx–第40页/共133页在(–

,+

)内有界，是x比如:y=sinx时的有界量.但定理44..第41页/共133页定理4的逆命题不成立.xy1第42页/共133页y=sinx0–1则称f

(x)是该极限过程中的一个无穷小量(省去x

xo

,

x的极限符号“lim”表示任一极限过程).第43页/共133页第二节 无穷大量、无穷小量一、无穷小量定义11.若0,limf(x)=小量,但第44页/共133页注1：无穷小量与极限过程分不开,不能脱离极限过程谈无穷小量如xnis是x0时的无穷,例：注2第45页/共133页由于limC

=C(常数),所以,除0外：的任何常数不是无穷小量.注3：0是任何极限过程的无穷小量.是该极限过程中的无穷小量.A为常数.,0>0>,当0<|x–x0|<时,有|f(x)–A|<定理11..第46页/共133页证：类似可证x时情形.第47页/共133页定义2：若>0(无论多么大),记作：第48页/共133页(>0或,)0>X当<|x0–xo|<(或||x>X)时，有Mf,|x()|>则称f(x)是xx0(或x)时的无穷大量.二、无穷大量(x)|>M

”,就得到正无穷大量的定义.若以“f

(x)>M

”代替定义中的“|f若以“f()<x–M”代替定义中的“)x(f|>M|”,就得到负无穷大量的定义.分别记作：>0,

>0(或

X>0),

当0<|x–xo|<

(或|x|>X)时，有|f

(x)|>M,第49页/共133页-10 1

x第50页/共133页x

yyx1+x11–例11：证：例22::试从函数图形判断下列极限.第51页/共133页解：(1)xy0y

=

tgxxx

yy第52页/共133页第53页/共133页(2)xoyxyyxx

+第54页/共133页x

–第55页/共133页注1：若在定义2中，将“f

(x)”换成“nx

”

,注2：若lim

f

(x)=

,将“X”换成“N”,将“x”换成就得到数列xn为无穷大量定义.“n

”,则表示在该极限过程中(x)f的极限不存在.>0,

X>0,当|x|>X

时,有|f

(x)|>M,第56页/共133页注3：不能脱离极限过程谈无穷大量.第57页/共133页注4：无穷大量一定是无界量,任何常量都不是无穷大量.但无界量不一定是无穷大量.说明>0,x0(–,+)，使得M|>x0inx0|s即可.例33：第58页/共133页解：第59页/共133页例44：第60页/共133页定理22：在某极限过程中,若)x(f为无穷大量,则反之,若(f)x为无穷小量三、无穷小与无穷大量的关系第61页/共133页第62页/共133页证：只证两个无穷小量的情形.设当x0x时,(要证(x))x(为无穷小量),,>0(x),0)x(,0四、无穷小量的运算定理定理33：有限个无穷小量的代数和为无穷小量.第63页/共133页故(x)(x)是无穷小量.第64页/共133页注：定理3中“有限个”不能丢，无限个无穷小量的和不一定是无穷小量,n个第65页/共133页比如：定理4：若)(x是某极限过程中的无穷小量,f(x)是该过程的有界量,则f(x)(x)为该过程的无穷小量.即,有界量与无穷小量之积为无穷小量.第66页/共133页证：第67页/共133页推论：设

(x),

(x)是某极限过程中的无穷小量,.C为常数则)(x

,)x(Cx)(都是无穷小量.例22：第68页/共133页解：

±

，

都不一定是无穷大量，也不一定是无穷小量.0 ,

(有界量)

不一定是无穷大量，也不一 定是无穷小量(其中0表无穷小量).第69页/共133页33..无穷大量是无界量,但无界量不一定是无穷大量.五、无穷大量的运算性质44..((++

))++((++

))==++

,,((

))++((

))==

..第70页/共133页55..==,,±((有界量))==，±常量==..66..CC==((其中CC等非00常量))..(1)lim[fx)((x]g=)mlif(x))]=limgx(AB]=x(f[gil)2()(xm)ml(f)xi·])x(gmil=A·B)3(第三节 极限运算法则第71页/共133页一、极限四则运算法定理则理则11..若存在则,A=lB=)x(gmi,)x(fmil证::(2)因limf(x)=A,limg(x)=B,均存在,第72页/共133页则f(x)=A+(x),g(x)=B+(x).从而f(x)·g(x)=[A+(x)]·[B+(x)]=AB+[A(x)+B(x)+(x)(x)]得lim[f(x)·g(x)]=AB同理可证(1),(3).推论::设limf(x)存在.C为常数,n为自然数.则第73页/共133页(1)lim[Cf(x)]=Climf(x)(2)lim[f(x)]n=[limf(x)]n例11..解::由于=2–6=–4=2·23+22–4=16,第74页/共133页例22..解::由定理1及其推论,有第75页/共133页例33..第76页/共133页更一般的,以后将有结论:若f

(x)为初等函数.且f

(x)在点x0处有定义.则比如:第77页/共133页例44..解:将x=1代入分母,分母为0,不能用例3或定理1(3)的方法求极限.想办法约去使分子分母都为零的因子x–1.有第78页/共133页例55..解:将x=0代入.分子,分母都为0.不能用定理1(3).想法约去零为此,有理化.因子x.第79页/共133页例66..时的极限问题.分子,.不存在.不能用定理解:这是有理函数.当x分母的极限都为同除以分母的最高次幂x2.1(3).第80页/共133页将本题改为x3=0x3=第81页/共133页改为例77..则第82页/共133页总结::设f(x),g(x)为多项式.=第83页/共133页例88..解:这是两个无穷大量之差的极限问题.无穷大量的和,差不一定是无穷大这类问题,称为“”型.量.第84页/共133页通分例99..解::这是两无穷大量之差的问题.即“”型.对无理函数,可考虑有理化.第85页/共133页解::这是一分段函数.分段点x=0.在分段点处极限要分左,右极限讨论.分段函数2=b=故,当=b2时0)=f(00,f(+–=2,0)例1100..何值时,问常数b为第86页/共133页例1111..证::先用“单调有界数列必有极限”证明((11))单调性..=xn–1故xn单调递增.0n–1个an个a第87页/共133页((22))有界性..故nx有界.<xn0n个an个an–1个a第88页/共133页综合(1),(2),知xn单调,有界.由于n+1个a从而第89页/共133页A2=a+A解出A.因xn>0,由保号性定理,A0从而即第90页/共133页求复合函数的极限时,常可用“换元法”简化运算.第91页/共133页二、复合函数的极限例1122..解::直观地看.当x

1时,

lnx

0,

而当lnx0时,cos(lnx)cos0=1.或者,令=ulnx,当x1时,u0,代入这种方法称为换元法.使用时,将原式中所有x换写成u的表达式.极限过程x

x0换成相应的u的极限过程.第92页/共133页定理22..设y=f[(x)]由y=f(u),u=(x)复合而成.且在x0的某去心邻域Û(x0)内,(x)u0证(略).第93页/共133页例1133..解::(1)令u=sinx.代入.(2)也可直接利用例3后介绍的结论,有第94页/共133页例1144..解::代入,x第95页/共133页0+1)内,则第四节 函数极限存在定理第96页/共133页一、夹逼定理定理1.设在点x0的某去邻域Û(x0,有

F(x)

f

(x)

G(x),证::>0.当0<|x–x0|<2时,有F(x)|–A|<且x)|G(–A|<.从而,2>0.故A–<F(x),G(x)<A+即|f(x)–A|<.注::定理对x的情形也成立.第97页/共133页定理2.其中a可为有限数，也可为。证：只就a为有限数的情形证明.D

(

f

),

n，并任取数列xn

x0+

)。必要性：设(xn

x0,

xn要证(，0当时，有)|fx(n>nNN>0,|<a)第98页/共133页二、函数极限与数列极限的关系的充要条件是任何以x0为极限的数列(xnxn0,xnxD(f)),有由于则0,0,当0xx0时,有f(x)a.由于xnx0(n+).当nN时,有0|xnx0|

(xn.x0)从而，对0,N0,当nN时,有故所以，对上述0,N,0第99页/共133页f

(xn)

a充分性：用反证法..若对任何数列xnx0(xnx0),有但(注意，)就是“00,对0,存在x"D(f),虽然0x"x0,但f(x")a.”对上述00,取依次等于1,……可设相应的x1,x2,…,xn,…,满足第100页/共133页0x1x0

1,但f(x1)a

00

x2x0,但f(x2)a

0……0

xnx0,但f(xn)a

0……第101页/共133页左边一列说明nx(nx0+,xn),x0此与条件矛盾.故充分性成立.右边一列说明f)nx(不以a为极限,例11..证明

不存在.证：只须证可取两个数列xn0,的极限不相等即可.第102页/共133页第103页/共133页如图,若当xx0时,f(x)a.f

(x1)x12xx3f

(x2)

f

(x3)f

(xn)xn0x0xax(f=y)第104页/共133页y显然,当xnx0时,f(xn)a.反过来,若对任意的数列xn,xnx0(xnx0),有f(xn)a,则f(x)a(xx0).注:1.若对某个数列xn不能得出f

(x)x0

(xna

(xx0),

有

f

(xn)

a

,x0

)的结论.考虑x=0处的极限.第105页/共133页2.该定理对x也成立.的充要条件是0,0,,

0

x2

x0当x1,

x2

D(f

)且0

x1

x0时,

有

f

(x1)

f

(x2).证：略第106页/共133页x时的柯西收敛准则可依照定理3给出.三、柯西收敛准则定理3.10xy1AxDBC总有SS<COA扇形OS<BABOD第107页/共133页第五节 两个重要极限一、重要极限证::)(1先证第108页/共133页(2)再证事实上,令u=