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第二章导数、微分、边际与弹性经济数学——微积分——函数的微分中央财经大学若y=f(x)在点

x0处有(有限)导数,则现在反过来想一想：若在x0点处y=f(x)的增量

y可以表示为一个线性函数与一个高阶无穷小量之和的形式回忆讲过的函数的增量与导数之间的关系那么,我们自然要问A=?就是说,在点x0处若可用关于自变量的增量

x的线性函数逼近函数的增量

y时,其关系式一定是

y=f(x0)x+o(x)我们称

f(x0)x(或A

x)为函数在点

x0处增量的线性主部,通常将它记为

dy=f(x0)x(dy=A

x).微分一.函数的微分将以上的讨论归纳一下,

可得出什么结论?1.微分的概念

y=A

x+o(x)此时,称

f(x)在点

x0处可微

。设y=f(x)在

U(x0)有定义,给

x0以增量

x,且x0+xU(x0)。如果函数相应的增量可表示为则称

y的线性主部为f(x)在点

x0处的微分,记为

dy=A

x,其中,

A

叫微分系数

。2.可微与可导的关系定理

y=f(x0)x+o(x)dy=f(x0)x也就是说

,

f(x)在点

x0处的可微性与可导性是等价的

,且

f(x)在点

x0处可微

,则解什么意思？例1自变量的增量就是自变量的微分：函数的微分可以写成:该例说明:此外,当x为自变量时,还可记即函数f(x)在点

x处的导数等于函数的微分dy与自变量的微分dx的商,故导数也可称为微商.哈哈！除法,这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.3.微分的几何意义yDyd

几何上,函数y=f(x)在点x处的微分表示为:相应于自变量x的改变量x,曲线y=f(x)在点

P(x,y)的切线上纵坐标的改变量.微分的运算法则1.微分的基本公式可微

可导

微分的基本公式与导数的基本公式相似

微分公式一目了然,不必讲了.基本初等函数的导数(微分)公式：⒃⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂一阶微分形式不变性

(复合函数微分法则)在点x0处可微.按微分的定义但故

说明什么问题？

我们发现y=f(u),当

u为中间变量时的微分形式与

u为自变量时的微分的形式相同

,均为

dy=f

(u)du,这种性质称为函数的一阶微分形式不变性

.解故例2解例3三.二阶微分其二阶微分为设函数y=f(x)二阶可导,当x为自变量时,由此看出,当x为自变量时,

除法类似可定义n

阶微分:

注意这里x是自变量

四.微分在近似计算中的应用函数增量的近似值：函数值的近似值：将半径为R的球加

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