信号描述与处理

第五章信号描述与处理

信息就是信息，不是物质也不是能量。——维纳

信息是用来消除不确定的东西。是熵的减少。——先农

信息是现实物质世界的反映，是物质运动的动态和方式，具有可识别、转换、存贮、传输的特性，并与能量密切相关。信息与信号的概念：

信息科学是研究信息现象及其规律的科学，是关于如何认识信息和如何利用信息的科学。

信息技术是可扩展人的信息功能的技术。

信号是信息的载体，包含着反映被测系统状态或特性的某些有用信息。通常用函数图形等描述。第五章信号描述与处理第五章信号描述与处理第一节信号的分类与描述

信号分类主要是依据信号波形特征来划分的，在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。信号波形：被测信号的幅值随时间变化的历程。第五章信号描述与处理电容传声器oAt

信号波形图：用被测信号的幅值作为纵坐标，用时间做横坐标，记录被测信号随时间的变化情况。第一节信号的分类与描述

为了深入了解信号的物理实质，必须将其进行分类研究，常见的分类方法有：（1）从信号描述(规律)上分——

确定性信号与非确定性信号。（3）从信号的幅值和能量上分——

能量信号与功率信号。（2）从信号的函数性质分——

连续时间信号与离散时间信号。一．信号的分类第一节信号的分类与描述1.确定性信号与非确定性信号(按规律分)确定性信号：可以用明确的数学关系式来描述。非确定性信号：不能用数学关系式来描述。第一节信号的分类与描述（1）周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号。

x(t)=x(t+nT0)简单周期信号复杂周期信号第一节信号的分类与描述（2）非周期信号：不会重复出现的信号。

瞬变信号:

持续时间有限的信号。如:x(t)=x0e-at

sinω0t准周期信号:

由多个周期信号合成，但各信号频率不成公倍数。如:第一节信号的分类与描述（3）非确定性信号(随机信号)：不能用数学式来描述，其幅值、相位、频率变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。

噪声信号(平稳)统计特性变异噪声信号(非平稳)第一节信号的分类与描述2.连续信号与离散信号(按函数性质分)

（2）离散时间信号：在若干时间点上有定义。采样信号（1）连续时间信号：在所有时间点上有定义。第一节信号的分类与描述3.能量信号与功率信号(按能量分)

（1）能量信号：在所分析的区间(-∞，∞)，能量为有限值，满足条件：

一般持续时间有限的瞬变信号为能量信号。第一节信号的分类与描述（2）功率信号：在所分析的区间(-∞，∞)，能量不是有限值。但在有限区间(t1，t2)的平均功率为有限值，即一般持续时间无限的信号都属于功率信号。第一节信号的分类与描述4.时域有限信号与频域有限信号

（1）时域有限信号在时间段(t1，t2)内有定义，其外恒等于零。

三角脉冲信号（2）频域有限信号

在频率区间(f1，f2)内有定义，其外恒等于零。

正弦波幅频谱第一节信号的分类与描述信号频谱X(f)代表了信号在不同频率分量成分上的大小，能够提供比时域信号波形更直观，更丰富的信息。

二．信号时域与频域描述时间幅值频率时域分析频域分析第一节信号的分类与描述

时域描述只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐信号外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量幅值及相角的大小。

图例：受噪声干扰的多频率成分信号

第一节信号的分类与描述1.

函数：理想函数，在物理上不可实现的信号。三．信号分析中常用的函数tS(t)tS(t)tS(t)

1/第一节信号的分类与描述

函数的特性：（1）乘积特性(抽样)（2）积分特性(筛选)第一节信号的分类与描述（3）拉氏变换（4）傅氏变换（5）卷积特性第一节信号的分类与描述2.sinc函数波形第一节信号的分类与描述3.复指数函数图示：频率放大第一节信号的分类与描述第五章信号描述与处理第二节周期信号与离散频谱

一．周期信号的定义：经过一定时间可以重复出现的信号，即信号x(t)在所有时间内均能满足：

x(t)=x(t+nT0

)n——任意整数；T0——常数(周期)。

例如：最简单的正弦(余弦)信号

可见，正弦信号的周期，周期的倒数为频率，即，角频率，为常数。二．周期信号的傅里叶级数展开式第二节周期信号与离散频谱1.傅里叶级数的三角函数展开式(单边谱)——常值分量(均值)；——余弦分量幅值；——正弦分量幅值。——基波角频率；改写为：——

第n次谐波的幅值；——

第n次谐波的初相角。

周期信号由无限多个不同频率的谐波分量叠加而成。以角频率为横坐标，幅值或初相角为纵坐标所作的图形分别称为幅频谱图和相频谱图。

第二节周期信号与离散频谱例：求周期性矩形波的傅里叶级数及其幅频谱。解：第二节周期信号与离散频谱第二节周期信号与离散频谱结论（1）奇函数：x(-t)=-x(t)（2）偶函数：x(-t)=x(t)第二节周期信号与离散频谱2.傅里叶级数的复指数函数展开式(双边谱)欧拉公式：代入式(1-7)第二节周期信号与离散频谱比较傅里叶级数的两种展开式可知：

三角函数展开式的频谱为单边谱，而复指数函数展开式的频谱为双边谱。——复数傅里叶系数第二节周期信号与离散频谱周期性矩形波的频谱：单边谱双边谱双边谱与单边谱相比：直流分量相等，各谐波分量单边谱是双边谱的2倍。第二节周期信号与离散频谱周期信号的频谱特点：（1）周期信号的频谱是离散的——离散性；（2）每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是谐波分量频率的最大公约数

——谐波性；（3）谱线高度表示相应谐波分量的幅值大小，谐波幅值总趋势是随着谐波次数的增高而减小——收敛性。第二节周期信号与离散频谱第二节周期信号与离散频谱三．周期信号的强度表述（2）均值：

——常值分量（1）峰值：

——最大瞬时值（3）绝对均值：

——全波整流后值（4）有效值：

——均方根值（5）平均功率：

——均方值第三节瞬变非周期信号与连续频谱

非周期信号包括准周期信号和瞬变非周期信号，一般指瞬变非周期信号。瞬变非周期信号可以认为是周期为无穷大的周期信号。

当周期信号的周期时，频谱间隔，周期信号瞬变非周期信号，离散频谱连续频谱。因此瞬变非周期信号的频谱为连续频谱。第五章信号描述与处理一．非周期信号的傅里叶变换周期信号的复指数函数展开式:第三节非周期信号与连续频谱非周期信号的傅里叶变换：FTIFT——傅里叶变换——傅里叶逆变换第三节非周期信号与连续频谱非周期信号的频谱：

由于周期信号的傅里叶系数

为复数，类似非周期信号的傅里叶变换

为复变函数，即

与周期信号类似，为双边谱，也可折算为单边谱，且单边谱的频谱高度为双边谱的2倍。——非周期信号的幅频谱——非周期信号的相频谱第三节非周期信号与连续频谱非周期信号的双边谱与单边谱：双边谱单边谱非周期信号的频谱特点：（1）瞬变非周期信号的频谱是连续的

——连续性；（2）频谱密度分散在连续的频带内

——密度性。第三节非周期信号与连续频谱例：求单个矩形脉冲(窗函数)的傅里叶变换及其频谱。解：第三节非周期信号与连续频谱单个矩形脉冲的频谱：第三节非周期信号与连续频谱二．傅里叶变换的性质(表1-3)1.奇偶虚实特性

由于为偶函数，为奇函数，则有：若为实偶函数，则为实偶函数；

若为实奇函数，则为虚奇函数；

若为虚偶函数，则为虚偶函数；

若为虚奇函数，则为实奇函数。第三节非周期信号与连续频谱3.对称特性

若

←→

，则←→

2.线性叠加特性

若

←→，←→则←→

4.尺度改变特性

若←→，则

←→5.时移和频移特性

若

←→，则

←→若

←→，则

←→第三节非周期信号与连续频谱6.卷积特性

若←→，则

←→若←→，则

←→7.微分和积分特性

若←→，则

←→若←→，则

←→若←→，则

←→第三节非周期信号与连续频谱例：求下图波形的频谱。+用线性叠加特性简化+第三节非周期信号与连续频谱时移特性

系统的时域分析：系统的零状态稳态输出等于输入信号与系统的单位脉冲响应函数的卷积。

系统的频域分析：系统的零状态稳态输出的傅里叶变换等于输入信号的傅里叶变换与系统的频率响应函数的乘积。例：若，则。第三节非周期信号与连续频谱三．几种典型信号的频谱1.矩形窗函数的频谱(例1-3)

时域有限，频域无限。一个时域被窗函数截断的信号，相当于原信号与矩形窗函数相乘，而在频域则为原信号的频谱与函数的卷积。2.单位脉冲函数的频谱

时域有限，频域无限，而且在各频率上的信号强度都相等，即频谱为常数(白噪声)。第三节非周期信号与连续频谱3.正余弦函数的频谱

第三节非周期信号与连续频谱4.周期单位脉冲序列的频谱

时域周期单位脉冲序列的频谱仍为周期脉冲序列。若时域周期为，则频域周期为；若时域脉冲幅度为1，则频域脉冲幅度为。第三节非周期信号与连续频谱频谱分析的应用

:

频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。案例：齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。案例：螺旋浆设计通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。第三节非周期信号与连续频谱作业：P40：1-1求周期方波的傅里叶级数(复指数形式)。

(先求三角函数形式，再转换成复指数形式)

1-5求被截断余弦信号的傅里叶变换。(结合P29例1-3、P35图1-19和FT性质——时域相乘、频域卷积及任意函数与脉冲函数的卷积特性)第五章信号描述与处理第四节随机信号描述与处理

随机信号是非确定性信号，不能用确定的数学关系式来描述，但其幅值的变化服从统计规律。一．基本概念

对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作x(t)。在有限时间区间上的样本函数称为样本记录。在同一试验条件下，全部样本函数的集合就是随机过程。第五章信号描述与处理第四节随机信号描述与处理

时间平均是按单个样本函数的时间历程进行平均的计算。

集合平均是某时刻对所有样本函数的观测值求平均的计算。

平稳随机过程是统计特征参数不随时间变化而改变的随机过程。否则就是非平稳随机过程。

各态历经随机过程是平稳随机过程中任取一个样本函数，其时间平均参数与所有样本函数在某时刻的集合平均参数一致。一般工程上遇到的平稳随机过程大多数是各态历经随机过程。二．随机信号的主要特征参数(幅值域描述)1.均值(反映随机信号的直流分量)

x(t)——

各态历经随机信号的样本记录；T——

样本记录时间

。工程实际用估计值(采用直流电压表测量)：第四节随机信号描述与处理2.方差(反映随机信号的交流分量)

方差的大小反映了随机信号对均值的分散程度，其正平方根称为标准差。工程实际用估计值：第四节随机信号描述与处理3.均方值(反映随机信号的强度或平均功率)

其正平方根称为有效值。工程实际用估计值(采用均方电压表测量):

第四节随机信号描述与处理4.概率密度函数

表示信号瞬时值落在某指定区间内的概率。

Tx——样本函数瞬时值落在区间(x,x+Δx)的时间。x(t)xx＋ΔxTtxP(x)oΔt第四节随机信号描述与处理

概率密度函数反映了随机信号幅值的分布规律。用概率密度分析仪实现对随机信号的概率密度分析。其估计值为：▼四种典型信号的概率密度函数图：正弦信号正弦信号加随机信号窄带随机信号xop(x)xop(x)p(x)p(x)ooxx宽带随机信号第四节随机信号描述与处理

变量相关是指变量之间的线性关系。统计学中用相关系数来描述两个随机变量x，y之间的相关性。

三．相关分析(时差域描述P161)1．变量相关的概念(相关系数)——随机变量x,y的均值；——随机变量x,y的标准差。

——

数学期望；第四节随机信号描述与处理xyxyxyxy第四节随机信号描述与处理2．波形相关的概念(相关函数)

研究的变量x,y是时间的函数，即x(t)与y(t)。x(t)y(t)第四节随机信号描述与处理（1）自相关函数——时移量。

自相关函数描述信号的某时刻值与延时一定时间后的值之间的相互关系，定量地描述一个信号在时间轴上平移后所得波形与原波形相似的程度，其估计值为：第四节随机信号描述与处理自相关函数的性质：

（1）自相关函数是

的实偶函数，Rx(

)=Rx(-

)；（4）周期信号的自相关函数仍然为同频率的周期信号，其幅值与原周期信号的幅值有关，但丢失了原周期信号的相位信息。

（2）当

=0时自相关函数具有最大值，；（3）随机干扰信号(均值为零)的自相关函数将随

的增大快速衰减，当时而趋于零，即第四节随机信号描述与处理例：求正弦信号的自相关函数。

可见正弦信号的自相关函数是一个余弦信号，在

时具有最大值。保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失了初始相位信息。积分后为第四节随机信号描述与处理

两个同频率周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留了原信号的相位信息。

两个不同频率的周期信号互不相关。即同频相关，不同频不相关。（2）互相关函数

互相关函数描述两个信号波形相似的程度，其估计值为：第四节随机信号描述与处理相关分析的工程应用：

案例：机械加工表面粗糙度自相关分析被测工件相关分析利用性质3、4：提取出回转误差等周期性的故障源第四节随机信号描述与处理案例：自相关测转速理想信号干扰信号实测信号自相关函数利用性质3、4：提取周期性转速成分第四节随机信号描述与处理案例：地下输油管道漏损位置的探测tx1x2too第四节随机信号描述与处理案例：地震位置测量第四节随机信号描述与处理

自相关函数的傅里叶变换称为自功率谱密度函数，简称自功率谱或自谱。

四．功率谱分析(频率域描述)1.自功率谱密度函数

曲线和频率轴所包围的面积就是信号的平均功率，表示信号的功率按频率分布的规律。第四节随机信号描述与处理2.互谱密度函数

互相关函数的傅里叶变换称为互谱密度函数，简称互谱。

自谱和互谱在频率范围内定义为双边谱，而在频率范围内定义为单边谱。单边谱是双边谱的2倍。第四节随机信号描述与处理一．数字信号处理概述

1.数字信号处理的主要研究内容

用数字序列来表示测试信号，并用数学公式和运算来对这些数字序列进行处理。内容包括数字波形分析、幅值分析、频谱分析和数字滤波。第五节数字信号处理第五章信号描述与处理0AX(0)X(1)X(2)X(3)t2.测试系统数字信号处理的基本组成

物理信号对象传感器电信号放大调制电信号A/D转换数字信号计算机显示D/A转换电信号控制物理信号第五节数字信号处理3.数字信号处理的优点

（1）用数学计算和计算机显示代替复杂的电路和机械结构第五节数字信号处理（2）计算机软硬件技术发展的有力推动

a)多种多样的工业用计算机

第五节数字信号处理b)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统第五节数字信号处理二．A/D和D/A转换

采样：时间上离散。利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离散值，使之成为采样信号x(nTs)的过程。编码：将经过量化的值变为二进制数字的过程。

量化：幅值上离散。把采样信号经过“舍入”变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化。1.模数(A/D)转换

第五节数字信号处理4位A/D:XXXXX(1)0101X(2)0011X(3)0000第五节数字信号处理信号的6等份量化过程012345678A/D转换器的技术指标:

（3）模拟信号的输入范围如：5V，+/-5V，10V，+/-10V等。（1）分辨率用输出二进制数码的位数表示。位数越多，量化误差越小，分辨力越高。常用8位、10位、12位、16位等。（2）转换速度指完成一次转换所用的时间，位数越少转换速度就越快，如：1ms(1KHz)；10µs(100kHz)。

第五节数字信号处理2.数模(D/A)转换

D/A转换器的技术指标：

分辨率；转换速度；模拟信号的输出范围。第五节数字信号处理三．采样定理

采样是将模拟信号x(t)与采样脉冲序列δn(t)相乘，取离散点值x(nTs)的过程。tx(t)otδn(t)o第五节数字信号处理x(0),x(1),x(2),……,x(n)

tx(t)•δn(t)otx(nTs)o第五节数字信号处理每周期应该采样多少个点?(最少2点)tx(t)ox(t)ot第五节数字信号处理第五节数字信号处理时域与频域解释:

otx(t)x(t)δ1(t)Tsoottx(t)δ2(t)fX(f)f1/TsX(f)*Δ1(f)foooX(f)*Δ2(f)第五节数字信号处理采样定理：

为保证采样后信号能真实地保留原模拟信号信息，防止出现频率混叠现象，信号的采样频率必须至少为原模拟信号中最高频率成分的2倍。这是采样的基本法则，称为采样定理。即

注意：满足采样定理，只能保证不发生频率混叠，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原模拟信号x(t)。工程实际中采样频率通常大于模拟信号中最高频率成分的3到5倍。第五节数字信号处理四．DFT与FFT

1.离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换(DiscreteFourierTransform)一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词，即利用数字计算机进行傅里叶变换。

x(t)采样、截断、周期延拓xT(t)模拟信号经过时域采样和截断后，其频谱在频域是连续的，如果要用数字描述频谱，就要实行频域采样。频域采样相当于在时域中将窗内的信号波形在窗外进行周期延拓，从而得到周期信号xT(t)。第五节数字信号处理tx(t)ffX(f)FTtδn(t)采样(乘)tx1(t)··············FTfΔn(f)FT卷积tu(t)截断(乘)fU(f)FT卷积tx2(t)·······FTfX1(f)X2(f)第五节数字信号处理fΔk(f)采样(乘)IFTtδk(t)卷积tx3(t)········································fX3(f)取主值序列tx

4(t)··············fX

4(f)DFT第五节数字信号处理2.快速傅里叶变换(FFT)

FFT是DFT的一种快速算法，通过选择和重新排列中间结果，减小运算量。

当采样点数为1024点时，DFT要求一百万次以上计算量，而FFT则只要求一万次。

FFT算法的实质就是把一个长数据序列，经多次分选抽取，最终分割成个，每个有两个数据的序列作DFT计算，分别算出分割