人教B版数学课件1-1-1第2课时集合的表示方法

第2课时集合的表示方法第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.掌握集合的两种表示方法——列举法和描述法.(数学抽象)2.能够利用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(直观想象)3.理解集合的特征性质,会用集合的特征性质描述一些集合,如数集、解集和一些基本图形构成的集合等.(直观想象)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】根据集合的概念,我们知道:1.不等式2x+3<15的所有自然数解组成集合A;2.不等式2x+3<15的所有实数解组成集合B.同学们想一下,这两个集合有区别吗?如何表示这两个集合呢?【知识点拨】

知识点一、列举法把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.名师点析

用列举法表示集合时,必须注意以下几点:(1)元素与元素之间需用“,”隔开.(2)集合中的元素必须是确定的.(3)不必考虑元素出现的前后顺序,但不能重复.例如,集合{1,3}与{3,1}表示同一个集合.(4)一般地,列举法适用于有限集:①元素个数有限且比较少时,可以全部列举出来,如{1,2,3};②元素个数有限且比较多时,可以列举一部分,中间用省略号表示,称为中间省略列举,如从1到1

000的所有正整数组成的集合,可以表示为{1,2,3,…,1

000}.(5)对于含有较多元素的无限集,如果元素的排列呈现一定的规律,在不发生误解的情况下,也可列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.如自然数集N可以表示为{0,1,2,3,…},称为尾端省略列举.(6)这里集合的“{

}”已包含“所有”的意思.例如:{整数},即代表整数集Z,所以不能写成{全体整数}.微思考

用列举法可以表示无限集吗?提示

可以.但构成集合的元素必须具有明显的规律,并且表示时要把元素间的规律呈现清楚,如正整数集N+可表示为{1,2,3,4,5,6,…}.微练习用列举法表示集合{x∈N|-1≤x≤}为____________.

答案

{0,1,2}知识点二、描述法一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)},这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称描述法.名师点析

使用描述法表示集合时要注意:(1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1};(2)用简明、准确的语言进行描述,如方程、不等式、几何图形等;(3)不能出现未被说明的字母,如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的;(4)所有描述的内容都要写在大括号内,如“{x∈Z|x=2m},m∈N+”不符合要求,应将“m∈N+”写进“{

}”中,即{x∈Z|x=2m,m∈N+};(5)元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系来看,若x∈R是明确的,则x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20};(6)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<-1或x>1};(7)“{

}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数},但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的,因为“{

}”本身既表示集合的意思,也表示了“所有”“全体”的意思,此处是初学者容易犯的错误,要注意领会.微思考

用列举法与描述法表示集合的区别是什么?提示

表示方法列举法描述法一般形式{a1,a2,a3,…,an}{x∈I|p(x)}适用范围有限集或规律性较强的无限集有限集、无限集均可特点直观、明了抽象、概括微练习不等式5x<2021在实数范围内的解集可表示为_____.

知识点三、区间的概念已知a<b.定

义名

称符

号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]

{x|a<x<b}开区间(a,b)

{x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b)

{x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b]

定

义名

称符

号数轴表示{x|x≥a}—[a,+∞)

{x|x>a}—(a,+∞)

{x|x≤a}—(-∞,a]

{x|x<a}—(-∞,a)

R—(-∞,+∞)取遍数轴上的所有值名师点析

(1)区间的左端点的值小于右端点的值.(2)区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开.(3)左、右端点值a,b都能取到的叫闭区间;左、右端点值a,b有一端能取到,另一端不能取到的叫半开半闭区间;左、右端点值a,b都不能取到的叫开区间.(4)几何表示时,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点.微思考

(1)如图,如何把满足数轴上的数的集合表示出来?提示

A={x|-3<x≤2}(2)能否用更为简洁的符号表示A={x|-3<x≤2}?提示

可以用区间表示为(-3,2].(3)区间与数集有何关系?提示

(1)联系:区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的符号表示,是集合的另一种表达形式;(2)区别:不连续的数集不能用区间表示,如整数集、自然数集等.微练习将下列集合用区间及数轴表示出来:(1){x|x<2};(2){x|x≥3};(3){x|-1≤x<5}.答案

(1){x|x<2}用区间表示为(-∞,2),用数轴表示如下:(2){x|x≥3}用区间表示为[3,+∞),用数轴表示如下:(3){x|-1≤x<5}用区间表示为[-1,5),用数轴表示如下:课堂篇探究学习探究一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合:(1)36与60的公约数构成的集合;(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根构成的集合;(3)一次函数y=x-1与

的图像的交点构成的集合.分析(1)要明确公约数的含义;(2)注意4是重根;(3)要写成点集形式.解

(1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}.(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根是4,2,所求集合可表示为{2,4}.探究二用描述法表示集合例2用描述法表示以下集合:(1)所有不小于2,且不大于20的实数组成的集合;(2)使

有意义的实数x组成的集合;(3)200以内的正奇数组成的集合;(4)方程x2-5x-6=0的解组成的集合.分析用描述法表示集合时,关键要先弄清元素的属性是什么,再给出其满足的性质,注意不要漏掉类似“x∈N”等条件.解

(1)集合可表示为{x∈R|2≤x≤20}.(2)要使该式有意义,需有

解得x≤2,且x≠0.故此集合可表示为{x|x≤2,且x≠0}.(3){x|x=2k+1,x<200,k∈N}.(4){x|x2-5x-6=0}.反思感悟

用描述法表示集合时应注意的问题1.写清楚该集合中的代表元素,即弄清代表元素是数、点还是其他形式;2.准确说明集合中元素所满足的特征;3.所有描述的内容都要写在集合符号内,并且不能出现未被说明的符号;4.用于描述的语句力求简明、准确,多层描述时,应准确使用“且”“或”等表示描述语句之间的关系.变式训练

2给出下列说法:①在平面直角坐标平面内,第一、三象限内的点组成的集合为{(x,y)|xy>0};②所有奇数组成的集合为{x|x=2n+1};③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是同一集合.其中正确的有(

)个个个个答案

A探究三含参数问题例3若集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.分析明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k的值→写出集合A解

当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2},满足题意.当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.反思感悟

1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.2.本题因kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,而分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.3.解集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.延伸探究(1)本例中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值集合.(2)本例中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值集合.探究四区间概念的理解及应用例4(1)若集合M是一个数集,且可应用区间(a,3a-1)表示,则实数a的取值范围用区间表示为

;

(2)使函数

有意义的实数x的范围用区间表示为

;

(3)若区间(5,a)的长度是12,则实数a的值是

.

变式训练

3(1)若区间[2,a]的长度不超过5,则实数a的取值范围用区间表示为

;

解析

(1)由题意可知a-2≤5,且a>2,所以2<a≤7,即实数a的取值范围是(2,7].

素养形成元素分析法解决集合问题,应对集合的概念有深刻理解,解题时能不能把集合转化为相关的数学知识是解决问题的关键,而集合离不开元素,所以分析元素是解决问题的核心.元素分析法就是抓住元素进行分析,即元素是什么?具备哪些性质?是否满足元素的三个特征?(即确定性、互异性、无序性)典例

下列四个集合:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1};④{y=x2+1}.(1)它们各自的含义是什么?(2)它们是不是相同的集合?分析在解答用描述法表示的集合的问题时,不能只关注条件中的关系式,而不注意“代表元素”的含义.元素是集合的基本组成部分.看到一个集合,先要关注元素是什么,再关注元素的基本特征.解

(1)①{x|y=x2+1}中的代表元素是x(二次函数y=x2+1中的自变量),表示的是该函数自变量的取值范围.显然x∈R,该集合表示实数集R.②{y|y=x2+1}中的代表元素是y(二次函数y=x2+1中的因变量),表示的是该函数的函数值构成的集合.由图易知(图略),y≥1,该集合就是{y|y≥1}.③{(x,y)|y=x2+1}中的代表元素是(x,y),该集合可以理解为是满足y=x2+1的有序实数对(x,y)的集合,也可以认为是坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的集合.④集合{y=x2+1}表示的是以方程y=x2+1(或函数解析式y=x2+1)为元素的集合.(2)由(1)知,集合①是实数集,集合②是不小于1的实数集,集合③是抛物线上的点构成的点集,集合④是单元素集.故它们是互不相同的集合.方法点睛

元素分析法是解决集合问题时常用的基本方法.本题的分析始终关注集合中代表元素及其满足的条件.集合①是后面要学到的函数定义域,集合②是函数的值域.

当堂检测2.不等式x-2≥0的所有解组成的集合表示成区间是(

)A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,2]答案

B解析

不等式x-2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2},表示成区间为[2,+∞).