14二次函数与一元二次方程的联系

1.4二次函数与一元二次方程的联系湘教版九年级下册第1章二次函数探究画出二次函数y=x2-2x-3的图象，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？

二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系？xyo1234-1-2-3-42-13-241-3-4y=x2-2x-3xyo1234-1-2-3-42-13-241-3-4y=x2-2x-3如图，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标分别是：（-1，0），（3，0）.由交点坐标可知：当x=-1时，y=0,即x2-2x-3=0，也就是说x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；同理：当x=3时，y=0,即x2-2x-3=0，也就是说x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根；y=ax2+bx+cAxo(x1,0)(x2,0)By一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不同的交点(x1,0)，(x2,0)，那么对应的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x=x1,x=x2.

求二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根动脑筋y=x2-2x+2y=x2-6x+9xyo1234-1-22-13-24155观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象，分别说出对应的一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+2=0的根的情况.y=x2-2x+2y=x2-6x+9xyo1234-1-22-13-24155二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有重合的两个交点，其坐标都是(3,0),而一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根：

x1=3,x2=3.二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点，而一元二次方程x2-2x+2=0没有实数根.一般地二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的位置关系有三种：有两个不同的交点，有两个重复的交点，没有交点。这对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况：有两个不相等的实根，有两个相等的实根，没有实根。因此可通过方程的根的判别式Δ=b²-4ac来判别抛物线与x轴的交点的个数（其中a、b、c为抛物线表达式中二次项系数，一次项系数和常数项）结论b2-4ac的取值b2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0yxoyxoyxoyxoyxoyxo有两个不同的交点有两个重合的交点没有交点有两个不同的交点有两个重合的交点没有交点有两个不相等的实数根x=x1,x=x2有两个相等的实数根x=x1=x2没有实数根a>0a<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系一元二次方程x2+bx+c=0的实数根二次函数与一元二次方程的联系举例例1

判断下列抛物线与x轴的交点情况:(1)y=4x2+12x+5;(2)y=x2+2x+1;解：∵b2-4ac=122-4×4×5=64>0,∴抛物线与x轴的有两个不同的交点.解：∵b2-4ac=22-4×1×1=0,∴抛物线与x轴的有两个重合的交点.例2求抛物线y=4x2+12x+5与x轴的交点的横坐标.解:令y=0,则4x2+12x+5=0，∵a=4，b=12，c=5，∴b2-4ac=122-4×4×5=144-80=64.∴即∴抛物线y=4x2+12x+5与x轴的交点的横坐标为或注意：求抛物线与x轴的交点的横坐标需要令y=0,再解关于自变量x的一元二次方程.

随堂练习1.试判断下列抛物线与x轴的交点情况:(1)y=x2-3x+1;(2)y=2x2+3x+2;2.若抛物线y=-mx²-x+1与x轴没有公共点，求m的取值范围.3.求证：抛物线y=x²+ax+a-2与x轴总有两个交点。4.求抛物线y=x2+2x+1与x轴的交点的横坐标.

探究从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切.那么求一元二次方程能不能借助二次函数呢？求一元二次方程

ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=0时，自变量x的值，也就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根.由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的.求二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根例3求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值(精确到0.1).分析:一元二次方程x2-2x-1=0的根就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标.因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与x轴的交点的横坐标.这种解一元二次方程的方法叫作图象法.解:设二次函数y=x2-2x-1=(x2-2x+12-12)-1=(x-1)2-2.∴对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1,-2).列表

x122.53y=(x-1)2-2-2-10.252描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在对称轴左边的部分.y=x2-2x-1

通过观察或测量，可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4，因此方程x2-2x-1=0的根的近似值为：x1≈-0.4或x2≈2.4。(-0.4,0)(2.4,0)..AB思考:(1)当x取何值时，y>0;(2)当x取何值时，y<0.解：x<-0.4或x>2.4解：-0.4<x<2.4y=x2-2x-11.试判断下列抛物线与x轴的交点的情况：练习（1）y=x2-x-2；（2）y=9x2+12x+4；两个不同的交点.（3）y=x2-2x+3.两个重合的交点.没有交点.解:设二次函数y=x2-2x-2=(x2-2x+12-12)-2=(x-1)2-3.∴对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1,-3).列表：

用图象法求一元二次方程x2-2x-2=0根的近似值(精确到0.1).x122.53y=(x-1)2-3-3-2-0.751解：（1）x1=-1，x2=3；

（2）当x＜-1或x＞3时，x²-2x-3>0；

（3）当-1＜x＜3时，x²-2x-3<0；3.观察二次函数y=x²-2x-3的图象，利用图象回答：

(1)方程x²-2x-3=0的解是什么？

(2)当x取什么值时，函数值x²-2x-3>0？

(3)当x取什么值时，函数值x²-2x-3<0？例4

如图，在扔铅球时，铅球沿抛物线

运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.

（其中点A表示铅球的出手点，点B表示铅球的落地点）.xyoAB

(1)当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平

距离是多少？∴当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m。2.115CDxoAB

(2)铅球离地面的高度能否达到3m，它离初始位置的水平

距离是多少？

即铅球离地面的高度不能达到3m.xyoAB

(3)当铅球在空中离地面的最大高度，并求出此时它离初

始位置的水平距离是多少？∴当铅球在空中离地面的最大高度为2.5m时，此时它离

初始位置的水平距离是3m。P2.53xoAB

(4)求丁丁能将铅球扔出多远？即丁丁能将铅球被扔出去8m.(,0)8xoAB

(5)求铅球出手点离地面的高度？(0,)

即铅球出手点离地面的高度为m.例5二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）

A.a<0B.abc>0C.a+b+c>0D.b2-4ac>0C解析∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵抛物线与y轴交于正轴，∴c>0，∵抛物线的对称轴x=<0，∴b<0，∴abc>0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac>0，∴A、B、D都正确.∵当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，∴C错误.故选C.代数式作用a>0,开口向上cb2-4aca+b+ca-b+ca<0,开口向下a|a|越大,开口越小；|a|越小,开口越大；|a|相等,形状相同；若a,b异号，则对称轴在y轴右侧；若b=0，则对称轴为y轴；若a,b同号，则对称轴在y轴左侧；若c>0，则函数图象交y轴于正半轴；若c=0，则函数图象交y轴于原点；若c<0，则函数图象交y轴于负半轴；若b2-4ac>0,则函数图象与x轴有两个不同的交点；若b2-4ac=0,则函数图象与x轴有两个重合的交点；若b2-4ac<0,则函数图象与x轴无交点.表示二次函数y=ax2+bx+c,当x=1时的函数值的大小；表示二次函数y=ax2+bx+c,当x=-1时的函数值的大小；二次函数y=ax2+bx+c常见代数式的作用

随堂练习1.2.3.4.5.6.1.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程.如图，已知刻画了该公司年初以来累积利润y(万元)与销售时间x(月份)之间的关系.试根据图象提供的