曲线积分与曲面积分20834

§1.对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）

第五部分曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质1.

引例：求曲线形构件的质量。

设一曲线形构件位于xoy平面上的一段曲线弧

L上,线密度ρ

(x,y)为L上的连续函数，求该曲线形构件的质量

M。光滑曲线----具有连续切线的曲线。xy0AB思想方法：(1)分割：

插入分点：设每一小弧段长(2)取近似：则小弧段质量：(3)求和：(4)取极限:2、定义

设L为xoy平面内的一条光滑曲线弧段(各点都具有切线,且当切点连续移动时切线也连续转动),

用L上的任意点

M1,M2,…,Mn-1

把L分成若和式的极限则称此极限值为f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分。函数

f(x,y)在

L上有界，

也称为第一类曲线积分。记作L—积分弧段（积分路径）ds—弧元素说明:(1)f(x,y)在L上连续,则曲线积分必存在。(2)f(x,y)虽为二元函数,但点(x,y)被限制在L上,

变量

x,y不独立,须满足曲线

L

的方程。(3)若L是光滑闭曲线,常记成(4)推广到空间曲线Γ,有3.

性质(与定积分性质相仿)(3)若L是分段光滑的曲线段，即(4)设在

L上，则(5)(积分中值定理)设

f(x,y)

在

L上连续，则必存在使

其中

l为

L的长度。

第一类曲线积分的对称性(1)如曲线L

关于x=0对称，L1

是L

的部分，(2)若交换x,y两变量时，L的方程不变，则------轮换对称性二、对弧长的曲线积分的计算法定理:具有一阶连续导数,且L的参数方程为：则曲线积分存在，且说明:ds——弧元素

(弧微分)(1)(3)(2)当

f(x,y)=1,或(4)(5)(6)上述所有计算公式中，等式右边的定积分的积分下限都必须小于上限。一段弧(如图).例题讨论例1:ABA(0,a),解：法一：选

x

为积分变量，L：xy0a一段弧(如图).法二：选

y

为积分变量，L：ABxy0a一段弧

(如图).ABxy0法三：L

用参数方程表示:axy0122例2：AB解：例3：解：L利用极坐标。0三、几何与物理意义设平面曲线形的物件所占的平面曲线弧段为L，且它的线密度为

若线密度在L上连续，则：它的质量

它的质心(3)例4.的质心坐标。xy0a2a解：由对称性，.§2.对坐标的曲线积分

(第二类曲线积分)一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:求变力沿曲线所作的功。

常力作功:

变力作功,

力

f(x)的方向与运动方向一致,思想方法:(元素法)xy0AB(1)插入分点

M1(x1,y1),…,Mn-1(xn-1,yn-1),n个有向小弧段M1Mn-1Mi-1Mi将L任意分成设一质点在xoy面内沿光滑曲线弧L从A移动到B。移动过程中，这质点受到变力

的作用，其中P、Q在L上连续。现计算在上述移动过程中变力所作的功。xy0ABM1Mn-1Mi-1Mi(2)则由常力:近似代替则(3)(4)取极限

2、定义

设L为xoy平面上从点A到B的一条有向

光滑曲线,函数

P(x,y)、Q(x,y)在L上有界。把L分成

n个有向小弧段则称此极限值为函数

P(x,y)在有向曲线弧

L

上对坐标

x的曲线积分,记作同理,则称此极限值为函数

Q(x,y)在有向曲线弧常用其组合形式：统称为第二类曲线积分。

L上对坐标

y

的曲线积分,记作说明：1)P(x,y),Q(x,y)中的

x,y

受

L

的限制而相互有关。2)对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关。3)前述变力作功(有向弧元素)变号4)对空间曲线L,有5)在

L

上连续,则此曲线积分必存在。

3、性质(1)设有向曲线

L,—

L

与

L

方向相反,则有:(2)其余性质类似于对弧长的曲线积分。注：第一类曲线积分没有这一性质。

第二类曲线积分的对称性

如曲线L

关于x=0对称，L1

是L

的部分，方向不变，

二、对坐标的曲线积分的计算法

设曲线L由参数方程一阶连续导数,

且又函数P(x,y),Q(x,y)

在L上连续,L

的起点

A终点

B描出有向曲线LAB,起点A(x=a),终点B(x=b)f(x)在

[a,b]

或[b,a]有连续导数,则起点A(y=c),终点B

(y=d)g(y)在

[c,d]或

[d,c]有连续导数,则特例：空间曲线Γ:起点

A

(t=α

),终点

B

(t=β),例题讨论例1.(1)L:圆心为原点,半径为1,按逆时针方向绕行的上半圆周。xy0AB1-1解：＝0(2)L:直线AB.xy0AB1-1解：=0.(3)L:

折线

ACB.xy0ABC1-1解：100-1路径不同,值不同。例2.(1)(2)Axy01xxx0101=1.Axy01B(3)0000111101路径不同,值却相同。例3.Γ:由点

(1,1,1)到点

(2,3,4)的直线段。解：求

Γ的方程。Γ的方向向量：Γ的方程：其参数式：(t+1)d(t+1)+(2t+1)d(2t+1)+[(t+1)+(2t+1)-1]d(3t+1)0123]dt=13.三、两类曲线积分之间的联系设有向线段

L:起点A,终点B,xy0ABM(x,y)为L上任一点。M

.得L的参数方程:L的正向为s增大的方向。设

x(s),y(s)在

[0,l]具有一阶连续导数,dxdydsxy类似，切线向量的方向余弦。例：解：∴曲线上点

(x,y)的切线的方向余弦：

§3.格林公式及其应用一、格林公式(

Green1793—1841英

)

在一元函数积分学中,牛顿—莱布尼茨公式：表示：f(x)在区间[a,b]上的积分可以用它的原函数F(x)在这个区间端点上的函数值来表达。

现在要介绍的格林公式，

表示在平面闭区域D上的二重积分也可以用沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达。

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD平面区域的连通性：边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D内在他附近的那一部分总在他的左边,则他行走的方向就是边界曲线L的正向。LL1L2定理1格林公式证明

(1)若区域D既是X—型又是Y—型.L3L4CEDcdL3L4CEDcd类似，把D

看成X—型，有两式相加得证明

(2)DGFCE证明

(3)由(2)知AB例题讨论例1.xy0D由格林公式：解：xy0ABD解:作辅助线:C圆方程代入？用格林公式？非闭曲线。xy0ABDC格林公式的简单应用:例3：利用曲线积分，求下列曲线所围的图形的面积：星形线解：面积

A=二、四个等价命题定理2.

设函数

P(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数,则下列四命题等价:(1)(2)与路径无关，只与起点A与终点B有关。(3)(4)证明：设G内闭曲线

L由ABL1L2G

即曲线积分与路径无关，只与

A,B

点有关。∵积分与路径无关，仅与起点xy0..P,Q有一阶连续偏导数，∴对

G

内任一条闭曲线

L，其所围区域由格林公式：说明：(1)常用（4）来判定

(1)、(2)、(3)的成立。(2)xy0..(3)四个等价命题只适用于单连通域，不适用于多连通域。例：在闭区域上，为多连通域,在此D上不保证例题讨论例1：证明：与路径无关，并求证：∴积分与路径无关。xy0.(1,-1).(1,1)例2：计算xy0∴积分与路径无关。解：例3：是某个函数的全微分，并求出它的一切原函数。证：xy0例4：其中：(1)C1—不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线。(2)C2—以原点为中心的正向单位圆。(3)C3—包围原点的任意无重点正向闭曲线。解：除原点外，(1)C1—不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线

即所围闭区域

D1为单连通域，在D1上,都有(2)C2—以原点为中心的正向单位圆xy0D1D21c1c2在(0,0)P,Q

无一阶连续偏导数，不可用等价命题，由定义求：xy0D3c2c3(3)C3—包围原点的任意无重点正向闭曲线。

D3

中含有P,Q的不连续点(原点)为排除原点，为边界曲线的平面区域上,恒有C2为圆周(取如图方向)。加辅助线C2

，注意：格林公式也适用于多连通域，且当(顺)(逆)计算较复杂的甚至未知的边界曲线如

L1上可找一条易求积分的曲线

L2(常取圆周),用计算L2上的曲线积分来代替。xy0的曲线积分时，L1L2§4.对面积的曲面积分

（又称第一类曲面积分）一、对面积的曲面积分的概念与性质1.

引例求曲面型构件的质量。

设有一张曲面∑,其边界曲线是分段光滑的闭曲线,且曲面光滑,面密度ρ(x,y,z)在∑上连续，求曲面∑的质量。xyz0(1)任分∑为

n

块小曲面(2)任取一点则小曲面的质量：∑(3)(4).2.

定义(1)(2)(3)(4)则称此极限值为f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分。若记作∑——积分曲面dS——曲面面积元素可见，曲面形构件的质量：又称为第一类曲面积分，

说明：(1)f(x,y,z)虽为三元函数，但点(x,y,z)被限制在曲面∑上,∴变量

x,y,z不相互独立，而依赖于曲面∑的方程。(2)(3)(4)若

f(x,y,z)在光滑曲面∑上连续，则上述曲面积分存在。(5)其性质与第一类曲线积分相仿。特别，若∑是闭曲面,则记作二、对面积的曲面积分的计算法设曲面∑：z=z(x,y)(1)(2)(3)(4)z=z(x,y)单值，即与

z轴平行的直线与∑的交点只有一个；z=z(x,y)在Dxy上具有连续偏导数；f(x,y,z)在光滑曲面∑上连续；则同理：例题讨论例1：a把上半球面投影到xoy平面，zxy0解：例2.111zxy=0=00+0+例3：内部的部分。把

Σ1投影到

xoy

平面，解：zxy0内部的部分。解：zxy0把

Σ2投影到

xoy

平面，所围区域的边界曲面。解：zxy0例4：zxy0h问题：∑1能否投影到xoy面上?dS=?解：把∑1投影到yoz面上，则R∑1zxy0h∑1R解：h∑1Rhzxy0第一类曲面积分的应用：设Σ为有界光滑曲面，为面密度，(1)(2)(3)曲面Σ的面积曲面Σ的质量曲面Σ的质心坐标曲面∑的形心坐标S

为曲面

Σ

的面积(4)曲面Σ的转动惯量§5.对坐标的曲面积分(又称第二类曲面积分)一、对坐标的曲面积分的概念与性质1.曲面的侧设所讨论的曲面都是光滑的，双侧的。如一张包围某一空间区域的闭曲面，就有外侧与内侧之分。观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧上侧下侧外侧内侧大家大概都知道莫比乌斯带。

你可以把一条纸带的一段扭180度，再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有一个侧面的曲面。

现用曲面上法向量的指向来定曲面的侧。若曲面上每点的法向量方向向上则认为取定曲面的上侧则有上侧与下侧之分；则有前侧与后侧之分；则有右侧与左侧之分；

则有外侧与内侧之分；指定了侧的曲面称为有向曲面。（下），（下侧）。2、有向曲面在坐标面上的投影设∑是有向曲面，在∑上取小块曲面△S，zxy0△S在xoy面上的投影区域面积假设△S上各点处的法向量与

z

轴正向的夹角有相同符号,

则

规定△S在xoy面上的投影余弦记为△S类似规定：3、引例求流向曲面一侧的流量设稳定流动(速度V与时间

t

无关的流动

)的不可压缩流体的速度场为常向量(设密度ρ=1)，速度场中有一有向平面

A(面积记为

A)，先讨论特殊情形：AA求单位时间内流向A一侧的流量Φ。一般情形：设流体

(ρ=1)的速度场为Σ为流速场中一片光滑有向曲面，函数P,Q,R

在Σ上连续，求单位时间内流向Σ的指定侧的流量

Φ。zxy0利用元素法(1)

把Σ任分成

n

个小块曲面ΔSi;(2)在ΔSi中任取一点用同理：zxy04.

定义设

R(x,y,z)在光滑有向曲面Σ上有界，任分∑为n个小曲面

在xoy平面的投影作乘积存在，则称此极限值为函数

R(x,y,z)在有向曲面∑上对坐标

x,y

的曲面积分。类似可定义：函数P(x,y,z)在有向曲面∑上对坐标

y,z的

函数

Q(x,y,z)在有向曲面∑上对坐标

x,z的

记作曲面积分曲面积分常用其组合形式

：说明：(1)函数

P,Q,R

中变量

x,y,z

不独立，受曲面∑的限制；(2)为有向面积元素(3)对坐标的曲面积分又称为第二类曲面积分，如：则其性质与第二类曲线积分相仿。二、对坐标的曲面积分的计算法类似，取前侧＋(后侧)(—)取右侧＋(—)(左侧)例题讨论例1：zxy01解：1zxy0解：(取上侧）(取下侧）＋11例2：21解：zxy0(前后侧)在

xoy平面，在

yoz平面，=0.投影为曲线，(前后侧)在

yoz平面，21zxy021zxy0在

yoz平面，在

xoy平面，投影为直线，=0=0例3：解：1zxy0(1)在

yoz平面，(有前后侧)zy0(1)zy01zxy0(2)在

xoz平面，(有左右侧)zx0(1)1zxy0(3)在

xoy平面，(只有上侧)yx0例4.求是如图所示的四面体OABC的整个边界曲面，且取外侧。0xyzA(1,0,0