Ch5-大数定律及中心极限定理

第一节大数定律先介绍r.v序列几种收敛性的定义1．几乎处处收敛：设X1，X2，…是定义在同一概率空间（，F，P）上的r.v列，如果

则称r.v列几乎处处（或依概率1）收敛于，记为（或a.s）第一节大数定律2．依概率收敛：若对任意的＞0，有

（或：）

则称r.v列依概率（或随机收敛）收敛于r.vX，记为

第一节大数定律3．依分布收敛（或弱收敛）：设r.vX，Xn各自d.f为F(x)和Fn(x)，若在F(x)的每一连续点x处，有

则称r.v列Xn依分布收敛于r.vX，记为或第一节大数定律4．依r阶平均收敛：设对某r＞0，，若有则称r.v列｛Xn｝依r阶平均（矩）收敛到X，记为

以上四者之关系为

第一节大数定律大数定律的数学定义：

设｛Xn｝是r.v列，记，｛an｝是常数列。若＞0，有

即则称｛Xn｝（按算术平均值）服从大数定律。命题1车比雪夫定理

（由车比雪夫在1866年证明的）

设｛Xn｝是相互独立的r.v列，若存在c＞0，使DXn≤c，则｛Xn｝服从大数定律。

证明：取，∵｛Xn｝相互独立，∴故

从而由车比雪夫不等式，有第一节大数定律推论：设r.v列｛Xn｝相互独立，且，存在，则｛Xn｝服从大数定律。例如：某容器内有很多气体分子，它们在不断地运动，每个气体分子运动是随机的，在一定温度下容器内某部分气体分子的动能的算术平均值几乎是一个常数。命题2贝努利定理（BernoulliTh）

在Bernoulli试验中，设事件A在每次试验中出现的概率为p，记nA为前n次试验中A出现的次数，则＞0，有

即第一节大数定律证明：令

则｛Xk，k≥1｝相互独立，且DXk=pq≤1（EXk=p），

，，∴由命题1知

由此Th可知，为什么在实际中，可用频率去代替概率的道理。命题3泊松定理（PoissonTh）

设在独立试验中，事件A在第k次试验中出现的概率为pk，以nA表示前n次试验中A出现的次数，则有

证明：令

则由，，

再由命题1即可得证。命题4辛钦定理

设｛Xk，k≥1｝是i.i.dr.v列，则｛Xk｝服从大数定律的充分必要条件是X1有有限的期望（证明参见王梓坤：《概率论基础及其应用》）大数定律的意义和应用车氏命题1说明：当n很大时，n个r.v的算术平均值与其期望平均值相差很小的可能性很大，即故在测量中，常用测量数据的算术平均去代替测量值。大数定律的意义和应用

贝氏命题2说明：试验次数很大时，可用事件出现的频率代替事件出现的概率。由命题2知：实用中，希望相当地小，比如只要即可。第一节大数定律例：设在具有n个任意开、关的电路试验中，假定在每次试验中，开或关的概率均为，用K表示n次试验中遇到开电的次数，欲使开关频率与的绝对值之差小于0.01，且要求99%以上的可靠性保证其实现，试问试验次数n至少多大？解：这里，=99%，解出t=10

∴强大数定律

如果r.v列Xn满足

或，特别当时，

则称服｛Xn｝从强大数定律。强大数定律KolmogorovTh

设｛Xn｝相互独立，且，则｛Xn｝服从强大数定律。BorelTh

设在Bernoulli试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p（0＜p＜1），nA表示前n次试验中A出现的次数，则

或BorelTh（续）证明：事实上，令∵，∴

故｛Xn｝服从强大数定律。第二节中心极限定理（CLT）先看例1：已知某些型号芯片的次品率为0.01，出厂时每千只装一盒，问其中次品个数介于5到20只的概率p？解：令

故得到Xk的分布为X10P0.010.99第二节中心极限定理（CLT）例1（续）

｛Xk｝是相互独立，记，则为一盒中可能出现的次品个数，所以

按题意

现在设法寻找一个近似计算上式的方法或公式。第二节中心极限定理（CLT）例2：设炮弹射击的目标位置是原点(0,0)，弹差点

(X,Y)，设X----落点与目标0沿x轴的偏差是随机d，产生偏差原因有：瞄准误差X1，炮弹或炮身结构误差X2，空气阻力引起误差X3，炮手的技术、心理误差X4，…等等故，各Xk相互独立，考察X的分布CLT，即要解决许多独立r.v之和的极限分布，数学上一般提法：第二节中心极限定理（CLT）例2（续）设｛Xn｝是r.v列，且EXn，DXn均存在，记

若实数x，有

则称｛Xn｝服从CLT，记为第二节中心极限定理（CLT）Th1：设｛Xn，n≥1｝是i.i.dr.v列，且，则｛Xn｝服从CLT，此时，，Th2：（DeMoivre-LaplaceTh）设r.v(n≥1)是具有参数n、p(0＜p＜1)的二项分布，则对任意区间[a，b]，有Th2DeMoivre-LaplaceTh（续）证明：令为Bernoulli试验中事件A出现的次数，而P(A)=p，记

则，各Xk相互独立同分布，并且

故｛Xk｝i.i.d的，，所以由Th1知

从而DeMoivre-LaplaceTh（续）

由此Th2可计算例1的P()：事实上，n=1000，p=0.01np=10

，故

第二节中心极限定理（CLT）例3：一加法器同时收到20个噪声电压Vk，()，各

Vk是相互独立r.v，且均服从U(0,10)，记，求P(V＞105)。

解：∵Vk的d.l为

∴

第二节中心极限定理（CLT）例3（续）故

∴

第二节中心极限定理（CLT）

对于｛Xn｝独立非同分布情况，引进下述的Linderberg条件，即＞0，有

其中，，第二节中心极限定理（CLT）

该Lin氏条件是使各Xk所引起的影响“均匀地小”，即

第二节中心极限定理（CLT）Th3（LinderbergTh）设相互独立r.v序列｛Xn｝满足Linderberg条件，则｛Xn｝服从CLT。Th4（李雅普诺夫定理）若对独立r.v序列｛Xn｝满足：存在某一＞0，使有

则｛Xn｝服从CLT。Th4李雅普诺夫定理（续）证明：只要验证Lin氏条件成立即可事实上，

在一般证明题中，可以取，只要验证即可CLT与大数定律之关系大数定律只断定，＞0，

但不知的具体值。而CLT则给出它一个近似值，即在｛Xn｝i.i.d时，有

（，，k≥1）第二节中心极限定理（CLT）例4：抛掷硬币1000次，要求出现正面次数在440

与K次之间的概率约为或（），求K值。（记X为出现正面次数）第二节中心极限定理（CLT）例4（续）解：记n=1000，已知每次掷硬币出现正面概率为p=，np=500，，先计算

查表得到K=500。第二节中心极限定理（CLT）例5：现有一大批种子，其中良种占，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占