大学物理竞赛辅导振动和波

2.有一半球形光滑的碗，小球Ⅰ在碗的球心处，小球Ⅱ

在碗壁离底部中心A点很近的地方，如图所示。现同时从静止释放两个小球，所有阻力均不计，则小球Ⅰ与Ⅱ到达碗底A点所需时间之比为

。例：在两平行无限大平面内是电荷体密度

>0的均匀带电空间，如图示有一质量为m，电量为q(<0)的点电荷在带电板的边缘自由释放，在只考虑电场力不考虑其它阻力的情况下，该点电荷运动到中心对称面oo的时间是多少？d>0ooq<0xq以oo为中心，在两平面内做简谐振动解：由高斯定理可求3.一波脉冲在弦上向x正方向传播，t=0时刻的波形图如下所示，画出自t=0时刻起，P点的位移与时间的关系曲线ty4。某时刻的弦波如图示，此时图中用实线示出的弦段中，振动动能最大的部位在

处，势能最大的部位在

处。波的能量5。标准声源能发出频率为250Hz的声波，一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的拍音，若在音叉的臂上粘一小块橡皮泥，则拍频增加，音叉的固有频率

。将上述音叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高度，当管中空气柱高度L从零连续增加时，发现在L=0.34m和1.03m时产生相继的两次共鸣，由以上数据算得声波在空气中的传播速度为

。此时拍频增加，由此可知共鸣时气柱内形成驻波，共鸣时的气柱高度应满足故第一、二次共鸣时气柱的高度差解：拍频为1.5Hz时有两种可能音叉粘上橡皮泥后质量增加，频率n应减小，6.驻波可看作两列行波叠加而成，下面的图中圆点（·）代表一维驻波的波节位置，叉（×）代表其波腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图依时序图（a）、（b）、（c）所示。试在各图中画出另一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表示）。解：两列行波叠加形成驻波时，它们在各波腹处引起的分振动必同相，而在波节处的必反相，据此可绘出另一列行波相应时刻的波形图。7.两个实验者A和B各自携带频率同为1000Hz的声源，声波在空气中的传播速度为340m/s。设A静止，B以速率20m/s朝着A运动，则A除了能收到频率为1000Hz的声波外，还能接收到频率为

Hz的声波；B除了能收到频率为1000Hz的声波外，还能接收到频率为

Hz的声波。多普勒效应8.飞机在空中以速度u=200m/s作水平飞行，它发出频率为的声波，静止在地面上的观察者在飞机飞越过其上空时，测定飞机发出声波的频率，他在4s的时间内测出声波的频率由降为，已知声波在空气中的速度v=330m/s，由此可求出飞机的飞行高度h=

m。ABMvvu解：由多普勒效应可知：ABMvvu9.一维谐振子沿x轴作振幅为A的简谐振动。求证：在振动区间内任一x处出现的概率密度（即x处附近无限小区间内单位距离上振子出现的概率）解：因振子在x→x+dx区间内出现的概率正比于振子在上述区间的时间间隔dt与振动周期T的比值，设比例常量为C，则有pdx=Cdt/T由归一化条件：10.一房屋坐落在一条东西向公路的南面距公路100m的地方，屋内的电视机正接收远处电视台的讯号，讯号频率为60MHz，方向如图所示。一汽车沿公路自东向西匀速行驶，使屋内电视机讯号的强度发生起伏变化。当汽车行经房屋正北面O点的瞬时，屋内电视讯号的强度起伏为每秒两次，求：汽车的行驶速率。解：设t时刻，汽车在位置C处，坐标如图所示，电视机接收到讯号的波程差为δ：11.由两根相距为d竖直放置的棒状天线O1和O2组成的天线阵列，可在水平平面内各向同性地发射波长为λ、强度相同，但有一定相位差的无线电波。O1O2中点O与远方A、B两镇连线间的夹角为φ（φ<π），如图所示。现想通过调整两天线间的相差，使A镇收到的信号最强，B镇却收不到信号；当改变用另一相位差时，使A镇收不到信号，而B镇收到信号最强。求：（1）天线阵列O1和O2连线的最小长度dmin（2）O1O2与OA间的夹角θ？这两种情况中两天线所发射的无线电波间的相位差各为何值。解：设两信号的相位差为α，则：A极大B极小干涉相反：12.如图所示，劲度系数为k的轻弹簧竖起悬挂着，它的下端连结质量为M的平板，平板上方h处有质量也为M的小物块。今使系统从弹簧处于自由长度状态，平板和小物块静止开始释放，当平板降落到受力平衡位置时，小物块恰好追上平板并与其粘连。试求：（1）h;（2）小物块与平板粘连后的瞬间向下运动的速度u;（3）小物块与平板粘连后形成的振动的振幅A。解：设△l

为粘连前平板下降的高度，则：小球下落的高度：（2）粘连前平板和小球的速度分别为v1和v2粘连（完全非弹性碰撞）后两者下落的速度为（3）粘连后系统的平衡位置下移以2△l为坐标原点，以向下的方向为x轴的下向建立坐标系（计时起点为粘连时）：新振动的角频率为新振动的振幅为：13.两弹性系数都是的弹簧它们与质量为两固定端之间的距离为，等于两弹簧原长的和，微微波动一下滑块，使其作微小的振动运动，求振动圆频率。的绝缘滑块连接，滑块内植入一电量为的正点电荷两固定端处各放一电量为的正点电荷解：当位移为时，滑块受力滑块运动方程由于，对力作近似处理利用得到滑块振动方程变为振动圆频率为28届（一）3.水平静止的车厢中，用一根劲度系数为k的轻弹簧水平静止地连接质量为m的小滑块，滑块与车厢底板间无摩擦。今如图所示使车厢以恒定的加速度a0水平向右运动，小滑块将在车厢内左右振动，振动角频率ω=

，振幅A=

。固有频率公式：27届（一）3.多普勒效应示意图见右，波源S的振动频率为，S朝着接收者B的运动速度为。机械波在介质中的传播速度为，B朝着S运动的速度为。则当时，B的接受频率

；当时，B的接收频率

。多普勒效应公式：26届（一）3.在x轴上传播的三列纵波，合成的驻波可表述成＝

，x＝

处均为驻波的波腹点。振动的合成合成的驻波解:（1）合成驻波的表达式为（2）驻波的振幅波腹处坐标25届（一）5.振动频率为ν0的声波波源S静止于水平地面某处，骑车者B与S相距L。t＝0开始，B沿着垂直于此时B、S连线方向以水平匀速度v运动，如图所示。已知声波在空气中的传播速度u>v，则而后t时刻B的接收频率ν(t)＝

，从t＝0到t时刻期间，B接收到的振动次数N（t）＝

。多普勒效应振动次数SBv×L解：（1）设B在t时间内从A点运动到C点B在C与S的连线方向的速度为SACvv1θB根据多普勒效应,骑车者B远离波源S,因此B接收的频率为

代入v1得,（2）

B在t时间内接收到的振动次数为24届（一）6.在均匀介质中沿x轴传播的平面简谐波，因介质对波的能量吸收，波的平均能流密度大小I（x）随x衰减的规律为I（x）＝I0e－μx，其中I0为x＝0处的I（x）值，μ为正常量。将x＝0处波的振幅记为A0

，则x>0处的振幅A（x）

。保留介质和波的种类，改取球面简谐波，考虑到介质对波的能量吸收，将r0处的振幅记为A0，则r>r0处的振幅A（r）＝

。平均能流密度球面简谐波方程24届（一）12.微波探测器P位于湖岸水面上方h处，发射波长为λ

电磁波的射电星位于地平线上方Φ角时，图中所示的直射波线1与反射波线2之间的波程差Δ＝

。已知h＝0.5m,λ=21cm,在Φ从接近零度开始增大的过程中，P接受到的信号第一次达到极大值时，Φ＝

。求波程差，从2向1作垂线，注意角度值。有半波损失。信号第一次达到极大值时，相干加强，波程差等于波长的整数倍，k＝1

12Ph湖面ΦΦ分析：波程差：第一次达到极大值：22届（一）2.由t＝0时振子的位置x0和速度v0，可确定临界阻尼振动x＝（A1＋A2t）e－βt，（其中β为已知量）中的待定常量A1、A2分别为

。t＝0时振子加速度为a0＝

。t＝0时振子加速度为22届（一）3.在介质中传播速度u＝200cm/s，波长λ＝100cm的一列平面简谐波，某时刻的一部分曲线如图所示。已知图中P点坐标xP＝20cm，振动量ξP＝4cm，振动速度vP＝12πcm/s，则可解得波动振幅A＝

。x＝0点振动初相位Φ0＝

。设P点振动方程：oPuxξξP由P点振动方程：ξoA由旋转矢量法：oPuxξξPP点振动方程：简谐波方程：22届（二）13.匀质柱形木块浮在水面上，水中部分深度为h，如图所示。今使木块