一种多涡卷变形蔡氏系统的混沌性分析

一种多涡卷变形蔡氏系统的混沌性分析

0多噪音电路的动力学分析蔡氏电路自1983年以来，吸引了许多研究人员的注意。本文把蔡氏电路的非线性函数由绝对值函数|x+1|-|x-1|变为sin(x+1)-sin(x-1)+sin(x+3)-sin(x-3),用正弦函数的不同组合来产生多涡卷电路,分析了它的一些动力学特性,如分岔图和李氏指数;然后证明了系统的控制参数r在一个混沌区域变化时,其对应的Jacobin矩阵在平衡点的特征值都满足Shilnikov不等式;最后求解了混沌系统Hopf分岔值并给出相应的证明.1[0.1,0.5]系统的混沌模式蔡氏电路的方程为系统参数为α=10,β=15,m系统的相图如图1所示.现在取f(x)=r[sin(x+1)-sin(x-1)+sin(x+3)-sin(x-3)],其中r=0.3,仍然取α=10,β=15,可以得到新系统的相图如图2所示.由图2可以看到此方程可以产生18涡卷,跟原来的系统相图不同.仿真发现对系统混沌起关键作用的是r,当r∈[0.05,0.5]时,该混沌系统的分岔图和最大李氏指数图如图3所示.当r=0.3时,系统的3个李氏指数分别为:0.399082,0,-4.6943,有正的李氏指数0.399082,因此该系统是混沌的.从图3可以看出,当r=0.1时系统开始出现混沌,当r>0.43时系统混沌消失,因此当r∈[0.1,0.4276]系统处于混沌状态.2系统平衡方程的求解Shilnikov定理主要有两点:一是鞍焦点的特征值满足Shilnikov不等式;二是存在同宿轨道或异宿轨道.如果一个系统同时满足这两点,则该系统为Shilnikov意义下的混沌系统,或称为同宿型和异宿型混沌系统,或称为马蹄型混沌系统.利用该定理来证明一个系统是否为混沌时首先要证明鞍焦点特征值是否满足Shilnikov不等式,由此可以看出系统系数是否满足Shilnikov不等式是判定系统是否混沌的先决条件,对混沌判定有重要意义.新的系统的无量纲状态方程为式中α=10,β=15,r=0.3,整理得根据方程(3)可以求得系统平衡点为式中k∈Z,由此可知系统有无数个平衡点,进一步可得方程(3)在各个平衡点x当k=2n,n∈Z时取正号,当k=2n+1,n∈Z时取负号.下面证明所有r∈[0.1,0.4276],系统的Jacobin矩阵在平衡点的特征值都满足Shilnikov不等式.由于k=2n,n∈Z时,证明方法与k=2n+1,n∈Z相似,现选取后者证明.当k=2n+1,n∈Z时,对应的Jacobin矩阵有一个实的特征根λ证明该平衡点对应的Jacobin矩阵为令m=4αcos(1)sin(2)=19.6518,把α=10,β=15代入式(8),整理得令A=1+mr,B=5+mr,C=15mr,显然A>0,B>0,C>0,再令这是关于μ的三次方程可用卡丹公式求解.设Δ=4P由于后面求解方程的时候要判定P,Q,Δ的正负,现在计算如下.将m=19.6518分别代入P,Q,Δ,在r∈[0.1,0.4276]范围内,经过复杂的计算可以得到:当r=0.4276时,P有最小值,P当r=0.1001时,Q有最小值,Q当r=0.1001时,Δ有最小值,Δ根据三次方程根的判定定理,方程有唯一的实数根和一对共轭特征根:因为A>0,Q>0,Δ>0,所以可以得到由P,Q,Δ的取值范围,计算可以得到,当r=0.4266时,σ有最小值,σ即k=2n+1,n∈Z时,平衡点的所有特征根满足Shilnikov不等式λ如取r=0.3可以得到特征根为:-7.1119,0.1082+0.35246i,0.1082-0.35246i.因此这些平衡点为指标2的鞍焦点,有1个对应一维稳定流型的负实特征根,但2个复共轭特征根对应二维不稳定流型,其轨道线向外旋转散开.3hopf分岔的识别Hopf分岔理论,作为一种最重要的分岔,对判别平衡点解的稳定性有重要的意义.下面我们来求解这个系统的Hopf分岔点,并对此进行相关证明.当k=2n+1,n∈Z时,系统的特征值方程为设上述特征方程3个根为λ则方程(4)可以表示为将式(18)代入上式并展开,可得根据有关Hopf分岔的概念,当Hopf分岔时,满足β从