2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海专用）专题1.4导数及其应用四大考点与真题训练（原卷版）

2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海地区专用））考点一：导数的概念和几何意义一、填空题1．（2022·上海青浦·统考一模）已知函数，则在点处的切线的倾斜角为___________.2．（2022·上海虹口·统考一模）设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为______．3．（2022·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）曲线在点处的切线方程为__________．4．（2022·上海崇明·统考一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程是______.5．（2022·上海闵行·统考一模）若曲线和直线的某一条平行线相切，则切点的横坐标是______．6．（2022·上海金山·统考一模）已知，则曲线在处的切线方程是___________.7．（2020·上海·模拟预测）计算：_______________8．（2022·上海嘉定·统考一模）已知抛物线，动点A自原点出发，沿着轴正方向向上匀速运动，速度大小为.过A作轴的垂线交抛物线于点，再过作轴的垂线交轴于A运动至时，点的瞬时速度的大小为___________.9．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知函数y=f（x）的图象在点M（2，f（2））处的切线方程是y=x+4，则f（2）+f′（2）=__．二、解答题10．（2022·上海·统考模拟预测）已知函数，其中，为的导函数.(1)当，求在点处的切线方程；(2)设函数，且恒成立.①求的取值范围；②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.11．（2022·上海徐汇·统考一模）已知.(1)当时，求函数在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间.12．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；（2）当时，求函数的单调区间与极值.考点二：导数的计算一、填空题1．（2023·上海静安·统考一模）已知函数，则函数的导数____________．2．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）定义在上的奇函数的导函数为，且.当时，，则不等式的解集为______.二、解答题3．（2022·上海青浦·统考一模）设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记．(1)求对任意实数，都有成立的最小整数的值；(2)设函数，若对任意，，都存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线方程；(3)是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．4．（2022·上海嘉定·统考一模）已知，(1)求函数的导数，并证明：函数在上是严格减函数（常数为自然对数的底）；(2)根据（1），判断并证明与的大小关系，并请推广至一般的结论（无须证明）；(3)已知、是正整数，，，求证：是满足条件的唯一一组值.5．（2022·上海松江·统考一模）已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为.(1)求函数的解析式；(2)已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式；(3)设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；考点三：导数在研究函数中的作用一、单选题1．（2022·上海金山·统考二模）对于定义在上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数为“等均”函数.下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·上海·统考模拟预测）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（）A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点二、填空题3．（2021·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）函数在定义域上的最小值为_________.4．（2023·上海静安·统考一模）已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________.5．（2022·上海浦东新·统考一模）已知定义在上的函数为偶函数，则的严格递减区间为______.6．（2022·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知平面向量，满足，设与的夹角为，且，则的取值范围为______．三、解答题7．（2023·上海静安·统考一模）已知函数f(x)＝－2alnx－，g(x)＝ax－(2a＋1)lnx－，其中a∈R.(1)若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值；(2)当a>0时，求函数g(x)的单调区间；(3)若存在x[，e2]（e为自然对数的底），使得不等式f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围．8．（2022·上海松江·统考一模）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线上，桥与平行，为铅垂线（在上），经测量，山谷左侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；山谷右侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式；已知点到的距离为40米；(1)求谷底到桥面的距离和桥的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在上（不包括端点），桥墩、每米造价分别为、万元（）；问：为多少米时，桥墩和的总造价最低？9．（2022·上海·统考模拟预测）某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M、N是圆C上关于直径AB对称的两点，以A为圆心，AC为半径的圆与圆C的弦AM、AN分别交于点D、E，其中四边形AEBD为温泉区，Ⅰ、Ⅱ区域为池外休息区，Ⅲ、Ⅳ区域为池内休息区，设．(1)当时，求池内休息区的总面积（Ⅲ和Ⅳ两个部分面积的和)：(2)当池内休息区的总面积最大时，求AM的长．10．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）对于定义域为的函数，如果存在区间，其中，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”，(1)求证：函数不是定义域上的“保值函数”；(2)给定函数，①若函数是区间上的“保值函数”，求实数的取值范围；②若不等式对恒成立，求实数的取值范围.11．（2021·上海杨浦·上海市控江中学校考三模）已知常数，，函数，.（1）当，时，判断函数在区间的单调性；（2）当时，若关于x的方程恰有两个相异实根，求实数a的取值范围.12．（2021·上海·统考二模）将关于的函数（）的图像向右平移2个单位后得到的函数图像记为，并设所对应的函数为.（1）当时，试直接写出函数的单调递减区间；（2）设，若函数（）对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.考点四：导数的综合应用一、单选题1．（2021·上海松江·统考二模）已知函数，若存在相异的实数，使得成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．3．（2020·上海金山·统考二模）函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题4．（2022·上海奉贤·统考一模）已知某商品的成本和产量满足关系，该商品的销售单价和产量满足关系式，则当产量等于__________时，利润最大.5．（2021·上海长宁·统考二模）定义域为的奇函数在上单调递减．设，若对于任意，都有，则实数的取值范围为_____．6．（2020·上海黄浦·统考二模）已知，函数，若存在不相等的实数，，，使得，则的取值范围是________．三、解答题7．（2022·上海普陀·统考一模）若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．①在上的导数存在；②在上的导数存在，且（其中）恒成立．(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．8．（2020·上海浦东新·统考二模）疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．9．（2020·上海闵行·统考二模）如图，A、B两地相距100公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A、B之间选址P点建造储备仓库，共享民生物资，当点P在线段AB的中点C时，建造费用为2000万元，若点P在线段AC上（不含点A），则建造费用与P、A之间的距离成反比，若点P在线段CB上（不含点B），则建造费用与P、B之间的距离成反比，现假设P、A之间的距离为x千米，A地所需该物资每年的运输费用为万元，B地所需该物资每年的运输费用为万元，表示建造仓库费用，表示两地物资每年的运输总费用（单位:万元）．（1）求函数的解析式;（2）若规划仓库使用的年限为，，求的最小值，并解释其实际意义．【真题训练】一．填空题（共1小题）1．（2022•上海）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝．二．解答题（共2小题）2．（2022•上海）f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）．（1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值．（2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）．3．（2023•上海）已知函数f（x）＝ax3﹣（a+1）x2+x，g（x）＝kx+m（其中a≥0，k，m∈R），若任意x∈[0，1]均有f（x）≤g（x），则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的“控制函数”，