西工大计算方法精彩试题010含问题详解

一、考试内容线性方程组和非线性方程（组）的求解、矩阵特征值和特征向量的计算、微积分的计算、微分方程定解问题的求解等，都是工程、科技、统计等实际问题中大量碰到的数学问题，这些问题的精确解很难求出。 而《计算方法》则是一门适合于计算机计算求解的数值方法，它简单可行，能有效求出上述数学问题的近似解。通过本课程的学习，要求学生能掌握利用计算机求解基本数学问题常用的数值计算方法，学会构造基本的计算格式，并能作一定的误差分析 ，使学生具备基本的科学计算能力。主要有：了解计算方法的认务和特点；熟练掌握方程的的近似解法，包括二分法、迭代法、牛顿迭代法和弦割法熟练掌握线性代数方程组的解法，直接解法中的高斯消去法、矩阵的直接三角分解法，平方根分解法，解三对角方程组的追赶法；解线性方程组的迭代法，简单迭代法，雅可比迭代法，赛德尔迭代法，SO肪法及其收敛性熟练掌握矩特征值和特征向量的计算，乘幕法与反幕法，古典雅可比方法，雅可比过关法熟练掌握插值法，拉格朗日插值法，牛顿插值法，等距节点插值法，埃尔米特插值法，三次样条插值法熟练掌握最小二乘法与曲线拟合，掌握矛盾方程组与最小二乘法，数据的多项式拟合，可化为线性拟合模型的曲线拟合熟练掌握数值积分与数值微分，包括牛顿-柯特斯求积公式、复化求积公式、龙贝格求积算法、高斯型求积公式和数值微分；熟练掌握常微分方程初值问题数值解法，包括欧拉法与梯形法、泰勒展开法与龙格-库塔法、线性多步法2006-2007第一学期填空近似数x=1.253关于真值x=1.249有 位有效数字；1 n n二f(x)dx辽Akf(xQ ZAk设有插值公式 7 ，则7 = ；(只算系数)** * er(V)兰TOC\o"1-5"\h\z设近似数xi=0.0235，X2=2.5160都是有效数，则相对误差 X2 ___求方程x=cosx的根的牛顿迭代格式为 ；"捲+x2=1 2x^2x2=2“捲一x2=1 捲一x2=1矛盾方程组宀+2X2—1与0+观二-1得最小二乘解是否相同 。X用迭代法(方法不限)求方程xe=1在区间(0，1)内根的近似值，要求_2先论证收敛性，误差小于10时迭代结束。x用最小二乘法y=ax十be中的常数a和b，使该函数曲线拟合与下面四个占八、、(1，-0.72)(1.5,0.02),(2.0,0.61),(2.5,0.32)(结果保留到小数点后第四位)四•用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组五•设要给出fX二COSX的如下函数表XiX。—hX。X0+hf(Xi)f(Xo-h)f(X0)f(x°+h)用二次插值多项式求f(x)得近似值，问步长不超过多少时，误差小于10‘六.设有微分方程初值问题V=—2y—4x,0vx兰0.2)(0)=2

1）写出欧拉预估一校正法的计算格式；2）取步长h=0.1，用欧拉预估—校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。1dx-0I=j七.设有积分 !1）写出欧拉预估一校正法的计算格式；2）取步长h=0.1，用欧拉预估—校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。1dx-0I=j七.设有积分 !取11个等距节点（包括端点0和1）,列出被积函数在这些节点上的函数值数点侯保留4位）;用复化Simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小数点侯保留4位）对方程组（小(12—2、*4、111|X2—1<221丿03」601.用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么?2.取初始向量x二（Q0,0）T，用雅可比迭代法求近似解x（kd），：：10”(i-1,2,3)九.设f（x）在区间［a,b］上有二阶连续导数，且f（a）=f（b）=0，试证明1maxf(x)^8(b-»maxf(x)a空辺 8 a•::x_b参考答案：1:(1)3(2)2(3)0.0023xk-cosxkxksinxkcosxk(4)1sinxk1sinxk,k=0,1,2,…— 7方程的等价形式为，迭代格式为xk e收敛性证明；当X，（0,1）时,®（x）|=ve0=1所以依据全局性收敛定理，可知迭代格式收敛取迭代初值为x0二0.5，迭代结果如下

nXn|xn_xn」00.510.606530.0106520.54524-0.0612930.579700.0344640.56006-0.0196450.571170.0111160.56486-0.006312.71828-■-0.72-4.481690.027.38906!bj_0.6112.182490.32矛盾方程组为 -矛盾方程组为 -6*25对应的正则方程组为xn11.52.02.52Xn12.254.06.25exn2.718284.481697.3890612.18249-12.254.061.125 118.4989a_ 3.765118.4989230.4859|^_6.538196解得a=2.0019,b--1.0009所以拟和曲线方程为厂2.°019x2-1.0009^由矩阵Doolittle 分解的紧凑记录形式有*10205、"10205、0101301013124317122161 037」T1024」回代求解得TOC\o"1-5"\h\z1x4 2 x3 (6-1x4 22 23-'0x3~'1x4

x2 13-'0x3~'1x4

x2 11x-i 11方程组的解向量为x=(1,1,2,2).

5.max令X」玄幺斗5.max令X」玄幺斗f(3)()3!(X—^/XX—Xk^X—Xk卅)兰10可求得h4.2498(或h如.2289)6.y10)=1.6,yi=1.62,y20)=1.256,y?=1.27247.0.6932R(f)兰1.3333>d0_7.0.6932R(f)兰1.3333>d0_58. (1)Jacobi迭代法的迭代矩阵为-1-2 20 -1-2 0谱半径'B谱半径'BJ：:1.此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛.(2)9.'4^r8(2)9.'4^r8、r2、x(1)=1x⑵=-6(3)x=0(4),x=0I3」r7Jcb_1I1丿X。二a,X1二b为插1二L1(x)-2!其中(x) [a,b]。f(x)值节点，做Lagrange.1-f()(x-a)(x-b)石f()(x-a)(x-b)故111maxf(x)-max7；fW(-)(^a)(^b^2maxf"(x)max(^a)(^b^-(^a^maxf"(x)a空至 a纟坐2! 2a童至 a空兰 8 a童至

2007-2008第一学期1填空（15分）**1）设近似数=9.2270,X2=0.8009都是四舍五入得到的，则相对误差2）拟合三点A（3,1）,B（1,3） ，C（2,2）的平行于y轴的直线方程为3） 近似数x=0.0351关于真值x=0.0349有 位有效数字.1 n_Jf1f（x）dx茫无Akf（Xk）4）插值型求积公式 心 至少有 次代数精确度.5） Simpson（辛浦生）求积公式有 代数精确度.3 22.（10分）已知曲线"X2.89与y=2.4x O&x在点（1.6,6.9）附近相切,试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值％计，当X^-&兰10'误差小于10"时停止迭代。（10分）用最小二乘法确定yfx? nx中的常数a和b，使得该函数曲线拟合于下面四个点（1，2.01）,（2 ，7.3）,（3,16.9）,（4,30.6）（计算结果保留到小数点后4位）32A=104.（10A=104.（10分）用乘幕法求矩阵1丿的按模最大的特征值人的第k次近似(k)及相应的特征向量（k） _ (k)及相应的特征向量（k） _ T '（kX1 。要求取初始向量U0=（1,2,1），且1<0.1。（10分）设有方程组(a=0)(a=0)写出与Jacobi迭代法对应的Gauss-Seidel方法的迭代格式；Jacobi方法的迭代矩阵为：当参数a满足什么条件时，Jacobi方法对任意的初始向量都收敛。（10分）已知四阶连续可导函数y二f（x）的如下数据:Xi12f(Xi)05

f'(Xi)110I I试求满足插值条件P（Xi）二f（X）PX）二f（Xi）的三次插值多项式P（X）,并写出截断误差R（x）二f（X）-p（x）的导数型表达式（不必证明）7.（157.（15分）设有积分x'eXdx1） 取7个等距节点（包括端点1和2）,列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）；2） 用复化simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。（10分）给定初值问题2y=0, y⑴=1, 1：：x_1.4X写出欧拉（Euler）预估-校正的计算格式;取步长h=0.2，求y（1.4）的近似值。（10分）用迭代法的思想证明：问「2问「2T—（等号左边有k个2）参考答案：1:(1)6.78X10—5,(2)x=2(3)2 (4)n-2(5)3222.切线斜率相等：3x=4.8x+0.51,3x-4.8x—0.51=023xn—4.8xn—0.51Xn1・=Xn - 一牛顿迭代格式：6xn-4.8取x0=1.6得x1=1.70625,x2=1.70002,x3=1.70000,x4=1.70000a=2.014a+bln2=7.39abln3=16.93.矛盾方程组：16abln4=30.8f354 34.84081『a) 672.91'正则方程组：也4.84081 3.60921丿lb厂^6.04713；a：1.9997,b：T.00424.取初始向量V(0)=(121)T，用乘幕法公式进行计算，且取¥)V,k-1)k)，得再^11.0x拓V⑷=(13516,27032,20226)T(1)迭代格式为X1(k1)(k1)x3 )=丄3—x2k)-3x3k)a(k1) (k)b2-X1 -2x3a=!b3 3x；k—2x2k1)a⑵Jacobi迭代法的迭代矩阵为谱半径.由‘BJ：：：1得a>2此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛.TOC\o"1-5"\h\z3 f(4)(') 2 2 .p(x)=x-2x1,R(x)=f(x)-p(x) (x-1)(x-2),(x) (1,2)4!20.2174R(f)-0.0048(1)Euler预-校法的计算格式为yn01=ynhf(xn,yn)hyn yn2-f(xn,yn)f区1,£7)‘

yn01二yn01二yn 0.2yXnf2 / (0)、2ym»0.1如(Xn Xn书丿Xn1代入X0"，yo"得；y[0；y[0^i.2y(i.2)：yi1.22y20]=1.4681y(1.4)：y2=1.497989.证明 考虑迭代格式X。=0,Xk1=2x-k二0,1,…，则人=迈X2=y!2+j2 ... Xk=1；2+\；2+<2+…“2（k个2）设（X）「2x，则当x[0,2]时，（X） [（0）, （2）]=【2,2].[0,2]；11「（X）— 「（X）—（0）=」<1由 22x，则当X[0,2]时， 2.2 .所以，由迭代格式x°=0,Xk1-2•Xk产生的序列收敛于方程x二2x在[0,2]内的根:.设0坠忑R，则有口=J2+ct，即,=2+0（.解之得。=2,°=-1.舍去不合题意

诚信保证本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。 本人签字： 编号： 学号： 班号： 姓名：成绩西北工业大学考试试题（卷）2009—2010学年第2学期开课学院：理学院 课程：计算方法 学时：322010年04月30日 考试时间：2小时闭卷（A卷）（共9道题，注意检查）1.（每小题3分，共15分）填空（1）设近似数x；=9.2270,x；=0.8009都是“四舍五入”得来的，则相对误差|e「（x；x；）U ；（2）拟合三点A（3,1）,B（1,3）,C（2,2）的平行于y轴的直线方程为 ;(3)近似数x=0.0351关于真值x=0.0349有位有效数字；(4)1插值型求积公式 f（x）dx:n-1送Akf(xJ至少有k=1次代数精确度;(5)Simpson（辛浦生）求积公式有次代数精确度。2.（10分）已知曲线y=x3 2.89与y=2.4x；•0.5；x在点（1.6,6.9）附近相切。试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值 Xn中，当Xn出-Xn兰10」时停止迭代。西北工业大学命题专用纸

3.（10分）用最小二乘法确定y=ax2+blnx中的常数a和b，使该函数曲线拟合F列四个点：(1,2.01 ),(2,7.3),(3,16.9),(4,30.6)（计算结果保留到小数点后第4位）°西北工业大学命题专用纸323 4的按模最大的特征值6323 4的按模最大的特征值6hr的第k次近似值■1k）4.（10分）用乘幕法求矩阵A=10<3及相应的特征向量x1k）。要求取初始向量Uo=（1,2,1）t，且<0.1O所以：<0.1O所以：■1k）=x1k) t(1, , )t,t-0西北工业大学命题专用纸5西北工业大学命题专用纸5（10分）设有方程组共8页 第3页a13、lf 、X1b1'1a21X2=b2(a式0)1一32a丿4J迭代法对应的(1)写出与(1)写出与JacobiGauss-Seidel方法的迭代格式;(1)Jacobi方法的迭代矩阵为:(2)当参数a满足什么条件时Jacobi方法对任意初始向量都收敛?西北工业大学命题专用纸 共8页 第4页6.(15分)已知四阶连续可导函数y=f(x)的如下数据:Xi12f(xi)0 5f(xi)110试求满足插值条件 p(人)二f(Xi),p(Xi)二f(xi)的三次插值多项式p(x)，并写出截断误差R(x)=f(x)-p(x)的导数型表达式(不必证明)。西北工业大学命题专用纸 共8页 第5页o7.(15分)设有积分IxexdxJ1(1)取7个等距节点(包括端点1和2),列出被积函数在这些节点上的函数值表(小数点后至少保留4位)；(2)用复化Simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。西北工业大学命题专用纸 共8页 第6页&(10分)给定初值问题2y-—=0，y(l)=l， 1cx兰1.4x(1) 将y(Xn1)在Xn作二阶Taylor展开，由此建立求解该初值问题的计算格式;(2) 取步长h=0.2，用上述方法求y(1・2)、y(1.4)的近似值。西北工业大学命题专用纸 共8页 第7页9(5分)用迭代法的思想证明lim2 2 2=2 (等号左边有k个2)k—・西北工业大学命题专用纸参考答案

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