人教版八年级上册数学全册全套试卷练习(Word版含答案)

人教版八年级上册数学全册全套试卷练习（Word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）△中，，∠AB=AC=BCABCBDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角1．如图，两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、、MNNC之间的关系，并加以证明．（）如图，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长11AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；（）如图，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段22BMMNNC，，之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．1析；（）2MN=NC﹣BM．【答案】（）过程见解【解析】【分析】（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN=∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．【详解】解：（）如图1示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．∵△BDC为等腰三角形，为等边三角形，△ABC∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又，且∠BDC=120°，BD=DC∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，BDCD∵MBDECD，BMCE∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠CDE+∠NDC=∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN=∠NDE=60°，在△DMN与△DEN中，MDDE∵EDN，MDNDNDN∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．理由：在上截取CE=BM．CA∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵BD=CD∠BDC=120°又，，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠DCE=90°，△BMD△CED在和中BMCE∵MBDECD，BDCD∴△BMD≌△CED（），SAS∴DM=DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，即：∠MDN=∠NDE=60°，△MDN△EDN在和中NDND∵EDNMDN，NDND∴△MDN≌△EDN（），SAS∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣BM．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点．1PBC6cm/sBC（）如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由QCACA向点运动．QP1①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请△BPD△CQP说明理由；QPQ②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？2QCP（）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都B逆时针沿△ABCPQ△ABC三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？V7.5Q1BPDCQP/【答案】（）①△≌△，理由见解析；②（厘米秒）；（）点、2PQ80在边上相遇，即经过了秒，点与点第一次在边上相遇．ABPQAB3【解析】【分析】（1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得△≌△；BPDCQPVV②根据≠，使△与△BPDCQPCQBD所以＝＝10，再P的时间即可得到全等，利用点PQ点Q的运动速度；（2）根据V＞VP，只能是点Q追上点，即点PQ设运动P比点多走AB+AC的路程，xQ152x6x220，解方程即可得到结果.秒，即可列出方程【详解】（）①因为t＝1（秒），所以BP＝CQ＝6（厘米）∵AB＝20，为中点，DAB∴BD＝10（厘米）又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD1∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BPDCQP在△与△中，BPCQBC,PCBDBPDCQPSAS∴△≌△（），VV②因为≠，PQBPCQ所以≠，BC又因为∠＝∠，BPDCQPBPCP8BPD要使△与△全等，只能＝＝，即△≌△，CPQCQBD10故＝＝．BP84PQ所以点、的运动时间t663（秒），CQ10VQ7.5/（厘米秒）．4此时t3（）因为＞，只能是点追上点，即点比点多走AB+AC的路程VV2QPQPQP15设经过秒后与第一次相遇，依题意得x6x220，xPQ280解得x=(秒)380此时运动了6160（厘米）P3ABC56160562+48又因为△的周长为厘米，＝×，80所以点、在边上相遇，即经过了秒，点与点第一次在边上相遇．PQABPQAB3【点睛】此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.3．(1)1ABCDAB=ADBAD=120如图：在四边形中，，∠°，∠B=∠ADC=90°．，EF分别是BCCD且∠EAF=60°．探究图中线段EF，，BEFD之间的，上的点．数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点．使．AG先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，连结，GDG=BE他的结论是（直接写结论，不需证明）；(2)2如图，ABCDAB=AD若在四边形中，，∠B+∠D=180EFBCCD°，、分别是，上的点，EAFBAD且∠是∠的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．(3)3ABCD5如图，四边形是边长为的EBF=45正方形，∠°，DEF直接写出三角形的周长．1EF=BE+DF2310.【答案】（）．（）成立，理由见解析；（）【解析】【分析】（1ABEFD到G，使得DG=DC,先证△≌△得到，EAF=GAF△AEFAGF，EF=FGADG，AE=AG1）如图，延长BAE=DAG∠∠，进一步根据题意得∠∠，再证明≌△得到，最后运用线段的和差证明即可.G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG(2)如图，得到，2，延长FD到点AE=AG∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，EF=FG得到，最后运用线段的和差证明即可.3DCGCG=AEBG（3）如图，延长到点，截取，连接，先证△AEB≌△CGBBE=BG，得到，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到EF=FG，最后求三角形的周长即可.【详解】解答：（）解11：如图，延长FD到G，使得DG=DCABEADG在△和△中，DCDG∵BADGABAD∴△ABE≌△ADG（），SAS∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，1∵∠EAF=∠BAD，2∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，AEF在△和△GAF中，AEAG∵EAFGAF，AFAF∴△AEF≌△AGF（），SAS∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．2（）解：结论EF=BE+DF仍然成立；2FDGDG=BE理由：如图，延长到点．使．连结AGABEADG在△和△中，DGBE∵ADG，BABAD∴△ABE≌△ADG（），SAS∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，1∵∠EAF=∠BAD，2∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，AEFGAF在△和△中，AEAG∵EAFGAF，AFAF∴△AEF≌△AGF（），SAS∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（）解：如图，延长到点，截取CG=AE33DCGBG，连接，AEBCGB在△与△中，AECG∵BOGAAFBF，∴△AEB≌△CGB（），SAS∴BE=BG，∠ABE=∠CBG．∵∠EBF=45°，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=45°，∴∠CBF+∠CBG=45°．在△EBF与△GBF中，BEBG∵EBFGBF，BFBF∴△EBF≌△GBF（），SAS∴EF=GF，∴△DEF的周长=EF+ED+CF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=10．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，对提升思维能力大有好处.难度不断增加，4．如图，∠BAD=∠CAE=90°，，，AB=ADAE=ACAF⊥CB，垂足为F．（）求证：△ABC≌△ADE；∠FAE12（）的度数；求3（）求证：CD=2BF+DE．12∠【答案】（）证明见解析；（）.FAE=135°；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE，再由AB=AD，AE=AC，根据SAS即可证得△ABC≌△ADE；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，知△BAC≌△DAE，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得1由（）∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数；（3）延长BF到G，使得FG=FB，易证△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质可得AB=AG，∠ABF=∠G，再由△BAC≌△DAE，可得AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，所以AG=AD，∠ABF=∠CDA，即可得∠G=∠CDA，利用AAS证得△CGA≌△CDA，由全等三角形的性质可得CG=CD，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，ABADBACDAE，ACAE∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（）知△BAC≌△DAE，1∴∠BCA=∠E=45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延长BF到G，使得FG=FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，BFGFAFBAFG，AFAF∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB=AG，∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠G=∠CDA，△CGA△CDA在和中，GCADCACGACDA，AGAD∴△CGA≌△CDA，∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．【点睛】3BFG本题考查全等三角形的判定与性质，解决第问需作辅助线，延长到，使得FG=FB，△CGA≌△CDA证得．是解题的关键5．如图，在ABC中，5，高AD、相交于点,BD32CD，且AEBE.OBCBE(1)(2)AO;求线段的长动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点OOAAQPP,Q两点同时出发，当点到从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，BCBPP,Q两点同时停止运动.设点的运动时间为t秒，POQ的面积为，请达点时，ASP用含t的式子表示S，并直接写出相应的的取值范围;CFBO.是否存在值，使以点(3)(2)t条件下，点F是直线上的一点且B,O,P为顶点的三角形与以点F,C,Q为顶点的三角形全等t;t在的AC?若存在，请直接写出符合条件的值若不存在，请说明理由.QD24t，t的取值范围是【答案】（）；（）①当点在线段BD上时，152Q0t11；②当点在射线DC上时，，，的取值范围是；（）t542ttQQD3225t1或.存在，3【解析】【分析】1AOEBCE（）只要证明△≌△即可解决问题；2QBDQD=2-4t（）分两种情形讨论求解即可①当点在线段上时，，②当点在射线QDC上时，DQ=4t-2时；32OP=CQBOP（）分两种情形求解即可①如图中，当时，≌△．②如图中，当FCQ3OP=CQBOPFCQ时，△≌△；【详解】解：（）∵AD是高，∴ADC901∵是高，∴AEBBEC90BE∴EAOACD90，EBCECB90，∴EAOEBC在AOE和BCE中，EAOEBCAEBEAEOBEC∴AOE≌BCE∴AOBC5；2（）∵，BC=52BDCD3CD=3，∴BD=2，根据题意，OPt，BQ4t，QD24t，Q①当点在线段BD上时，∴S12t(24t)2t2t，t的取值范围是0t1.2QD4t2，Q②当点在射线DC上时，1∴1St(4t2)2t2t，t的取值范围是t5223（）存在．①如图中，当时，∵，∠POB=∠FCQ2OP=CQOB=CF△≌△FCQ．BOP，∴CQ=OP∴，5-4t═t∴，解得t=1，②如图中，当时，∵，∠POB=∠FCQ3OP=CQOB=CF△≌△FCQ．BOP，∴CQ=OP∴，4t-5=t∴，5解得t=．35综上所述，t=1或sBOP与△FCQ时，△全等．3【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在△ABC中，已知AD是边上的中线，BCBEAC，E是AD上一点，且延长交AC于点F，求证：AFEF．BE【答案】证明见解析【解析】【分析】G，使得ADDG，连接，结合BG延长AD到点D是BC的中点，易证△ADC和△GDB全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF.【详解】G，使得ADDG，连接．G，延长AD到点BG如图，延长AD到点∵AD是BC边上的中线，∴DCDB．在ADC和GDB中，△ADDGADCGDB（对顶角相等），DCDB∴ADC≌GDB（SAS）．∴CADG，BGAC．又BEAC，△∴BEBG．∴BEDG．∵BEDAEF∴AEFCAD，即AEFFAE∴AFEF．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.ABCABACBMBNABC7．已知在△中，＝，射线、在∠内部，分别交线段于点、．ACGH（）如图，若∠＝ABC60°，∠＝MBN30°，作AE⊥BN于点，分别交、于点11DBCBME、．F①②求证：∠＝∠2；1如图，若＝，连接CF，求证：BF⊥CF；2BF2AF（）如图，点E为BC上一点，交于点，连接CF，若∠＝∠＝∠，23AEBMFBFEBAC2CFES求SABF的值．ACF【答1案】（）①见解析；②见解析；（）22【解析】【分析】12+BAF1+BAF60°（）①只要证明∠∠＝∠∠＝即可解决问题；BFC②只要证明△≌△，ADBBFC即可推出∠＝∠＝；ADB90°（）在BF上截取BK＝，AF连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S＝，再证明2SAFC△ABK△＝＝，可得S＝，AFFKBKSAFK△即可解决问题；ABK△【详解】11（）①证明：如图中，∵AB＝，∠＝ACABC60°ABC∴△是等边三角形，BAC60°∴∠＝，∵AD⊥BN，ADB90°∴∠＝，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFDFBD30°中，∵∠＝，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAEFBC，AB＝BC，＝∠∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝SAFC，△∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴SABK＝SAFK，△△SABF2∴S．AFC【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角30三角形度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．A（﹣3，0）8．如图，在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上ByC、Dx一动点，点在正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△的两条角平分线，且BD、CE交ABC于点，直接写出CF的长_____．（2）F如图，△是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并ABD2PD＝DC？3延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△，点在轴上运动时，求OP的最小ABPBy值．32【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）.【解析】【分析】（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于，分别证明△OBD≌△HCD和△AOB≌△FHC，H根据全等三角形的对应边相等解答；（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出CD，得到答案；（3）以OA为对称轴作等边△，连接EP，并延长EP交x轴于点．证明点在直线ADEFPEF上运动，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，OBD=HCDDBDCODC=HDC∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，ABO=FCHOBHCAOB=FHC∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF=AB=6，故答案为6；（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，BABDABCDBQBCBQ∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO＝60°，∴PD＝2DO＝6，2PD＝∵DC，3DC＝9OC＝OD+CD＝12，∴，即C12，0）；∴点的坐标为（（33）如图，以为对称轴作等边OAADEEPF．△，连接，并延长交轴于点EPx2△AEPADB，由（）得，≌△∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，132OP＝∴OF＝23．则OP的最小值为2【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．在等边ABC中，点在边上，点D在AC的延长线上且OAOD.OBC1（）如图，1CODOBC若点为中点，的度数；求22（）如图，OBCADABBO.若点为上任意一点，求证33（）如图，若点为上任意一点，点OBCD关于直线的对称点为点，连接BCPAP,OP，请判断的形状，并说明理由AOP.2）见解析；（3）AOP是等边三角形，理由见解析【答案】（1）.30；（【解析】【分析】CAO1BAC30且1（）根据三角形的等边三角形的性质可求2AOBC,AOC90，根据OAOD，等腰三角形的性质得到的度数，再通过DAODCOD.内角和定理求，即可求出的度数2OOE//AB，OE交于先证明COE为等边三角形，再根据等边三角ADE（）过作形的性质求AEO120，DCO120AOEDOC(AAS)，得到，再证明CDEA，再通过证明得到EABO、ABAC通过，又因为ADACCD，通过.等量代换即可得到答案ODFOPF(SAS)3（）通过作辅助线先证明OAODOPOD，得到，又因为，得到AO=OP，证得AOP为等腰三角形，如解析辅助线，由（2）可知得AOEDOCAOEDOC,通过角的关系得到AOPCOE60°，即可得到证得AOP是等边三角形.【详解】ABC1（）∵为等边三角形∴BAC60∵O为BC中点∴CAO1BAC302且AOBC,AOC90∵OAOD∴AOD中，DCAO30∴AOD180DCAO120∴CODAODAOC302OOE//AB，OE交于（）过作ADE∵OE//AB∴EOCABC60CEOCAB60∴COE为等边三角形∴OEOCCEAEO180CEO120DCO180ACB120又∵OAOD∴EAOCDO在AOE和COD中AOEDOCEAOCDOOAOD∴AOEDOC(AAS)∴CDEA∵EAACCEBOBCCO∴EABO∴BOCD，∵ABAC，ADACCD∴ADABBO（3）AOP为等边三角形证明过程如下：连接PC,PD，延长OC交PD于F∵P、D关于OC对称∴PFDF,PFODFO90在ODF与OPF中，PFDFPFODFOOFOF∴ODFOPF(SAS),POCDOC∴OPOD∵OAOD∴AO=OP∴AOP为等腰三角形过O作OE//AB，OE交于ADEAOEDOC2由（）得∴AOEDOC又∵POCDOC∴AOEPOF∴AOEPOEPOF即AOPCOEPOE∵AB∥OE，∠B=60°COEB60∴∴AOPCOE60°∴AOP是等边三角形.【点睛】本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题，灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系，以及等边三角形的性质是解答此题的关键.10．已知ABC为等边三角形，E为射线AC上一点，D为射线CB上一点，ADDE.CDCE时，AD是ABC的中线吗？请说明1（）如图1，当点E在AC的延长线上且理由；（）2如图2，当点E在AC的延长线上时，写出AB,BD,AE之间的数量关系，请说明理由；（）3如图3，当点D在线段CB的延长线上，点E在线段上时，请直接写出ACAB,BD,AE的数量关系.【答案】（1）AD是ABC的中线，理由详见解析；（2）ABBDAE，理由详见解析；（3）ABAEBD.【解析】【分析】1ABCCD=CE（）利用△是等边三角形及可得CDE=E=30°，利用AD=DE，证明∠∠∠CAD=∠E=30°，即可解决问题．2（）AB上取BH=BD，连接DH，证明AHDDCE≌△得DH=CEAE=AB+BD，得出，在出3（）AB上取AF=AE，连接DF，利用△≌△得AFDEFDBDF的关系，得在出角出△是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．【详解】1（）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：ABC∵△是等边三角形，∴AB=AC，∠，∠∠BAC=B=ACB=60°，∵CD=CE∴∠CDE=∠E，∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，∴∠E=30°，∵DA=DE，∴∠DAC=∠E=30°，∵∠BAC=60°，∴∠DAB=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=DC，∴AD是△ABC的中线．2（）结论：AB+BD=AE，理由如下：如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，∵BH=BD，∠B=60°，BDH∴△为等边三角形，AB-BH=BC-BD，∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，∵AD=DE，∴∠E=∠CAD∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠EBAD=∠CDE，，∴∠BHD=60°ACB=60°，∵∠，∠∴∠180°-BHD=180°-∠ACB,∴∠AHD=∠DCE，∴在△AHD和△DCE，BADCDEAHDDCEADDE∴△AHD≌△DCE（AAS），DH=CE∴，BD=CE∴，∴AE=AC+CE=AB+BD．（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°∴△AFEFAE=∠FEA=∠AFE=60°，，是等边三角形，∴∠∴EF∥BC，∴∠EDB=∠DEF，∵AD=DE，DEA=∠DAE，∴∠DEF=∠DAF，∴∠∵DF=DF，AF=EF，在△AFD和△EFD中，ADDEDFDF,AFEF∴△AFDEFD（SSS）≌△ADF=∠EDF，∠DAF=∠DEF，∴∠FDB=∠EDF+∠EDB，∠DFB=∠DAF+∠ADF，∴∠∵∠EDB=∠DEF，FDB=∠DFB，∴∠∴DB=BF，∵AB=AF+FB，∴AB=BD+AE【点睛】．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：1bcca222a2b2c2abbcacab．2该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．（1）请你展开右边检验这个等式的正确性；（2）利用上面的式子计算：201822019220202201820192019202020182020．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行简化，从而可以得出结论；（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值．【详解】1解：（1）[（a-b）2（）（）2]+b-c+c-a221==2（a2-2ab+b2+b2-2bc+c+a22-2ac+c2）12×（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）=a2+b2+c2-ab-bc-ac，1（）2（）（）2]正确；故a2+b2+c2-ab-bc-ac=[a-b+b-c+c-a22（2）20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×20201==×[（2018-2019）2+（2019-2020+2020-2018）2]）2（212×（1+1+4）12×6==3．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．12．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数abc（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足）=ac．如374，因为它的百位上数字a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（abc3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；abcabc（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．【答案】（1）详见解析；（2）99或297．【解析】【分析】（1）首先由题意可得a+c=b，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数”能被99整除，所abc以将展开式中100a拆成99a+a，这样展开式中出现了a+c，将a+c用b替代，整理出最终结果即可；（2）首先设出两个欢喜数m、n，F（m）、F（n）代入F（m）﹣F（n）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.【详解】（1）证明：∵abc为欢喜数，∴a+c=b．∵abc=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，∴11b能被99整除，99a能被99整除，∴“欢喜数”能被99整除；abc（2）设m=abc，n=abc（且a＞a2），11122∵F（m）﹣F（n）=a1•c1﹣a2•c2=a1•（b﹣a1）﹣a2（b﹣a2）=（a1﹣a2）（b﹣a1﹣a2）=3，a1、a2、b均为整数，∴a1﹣a2=1或a1﹣a2=3．∵m﹣n=100（a1﹣a2）﹣（a1﹣a2）=99（a1﹣a2），∴m﹣n=99或m﹣n=297．∴若F（m）﹣F（n）=3，则m﹣n的值为99或297．【点睛】做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.13．请你观察下列式子：(x1)(x1)x21x1xx1x312x1x3x2x1x41x1x4x3x2x1x51……根据上面的规律，解答下列问题：x31（）当时，计算(31)(320173201632015…333231)=_________；（）设a22201622015，则的个位数字为；…22212a201732（）求式子201652015…53525的和．55320175520181）；（）；（）23313【答案】（20184【解析】【分析】1（）根据已知的等式发现规律即可求解；2x=2,a=2-12（）先根据求出，再发现的幂个位数字的规律，即可求出的个位数a2018字；×（55201552014...551）即可201635-1（）利用已知的等式运算规律构造（）2.求解【详解】(x1)(x1)x211（）∵x1xx1x312x1x3x2x1x41x1x4x3x2x1x51……n1x1xxx...xx1x1nn1n22∴(31)(320173201632015…333231)=320181时，故x=331故填：；2018（）a20172201622015…22212232=2-1(22201622015…232221)=220181（）2017∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64∴2n的个位数按2,4,8,6,依次循环排列，∵÷20184=504…2，2∴2018的个位数为4，∴220181的个位数为3，故填：3；（3）52017…535255520162015145(51)5（5…55155）=2016201520142（）（55…5251）5=×5-12016201520144520171）=×（54=5201854【点睛】此题主要考查等式的规律探索及应用，解题的关键是根据已知等式找到规律.14．你会对多项式(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．对于(x2+5x+2)(x2+5x+3)﹣12．x+5xy解法一：设＝，2则原式＝(y+2)(y+3)12y+5y6(y+6)(y1)﹣＝﹣＝﹣2＝(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)＝(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1)．解法二：设x2+5x+2＝y，y(y+1)12y+y12(y+4)(y3)则原式＝﹣＝﹣＝﹣2＝(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)＝(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1)．x+2m5xn解法三：设＝，＝，2则原式＝(m+n)(m+n+1)﹣12＝(m+n)2+(m+n)﹣12＝(m+n+4)(m+n﹣3)＝(x2+5x+6)(x2+5x﹣1)＝(x+2)(x+3)(x2+5x﹣1)．按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：(1)(x2+x﹣4)(x2+x+3)+10；(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2；(3)(x+y﹣2xy)(x+y﹣2)+(xy﹣1)2．【答案】（1）(x+2)(x-1)(x2x+1)x(2)(x66)22(3)(x+y-xy-1)2【解析】【分析】=m4m310因式分解即可；1（）令原式m=xx,2x1x2x3x6x2=(x76)(x56令xxx)+,222（）2n=x25x6=n+2n+x，再将原式（）进行因式分解即可；23a=x+y,b=xy.（）令，代入原式即可因式分解【详解】1（）令m=xx,2m4m310=原式=m2-m-2=(m-2)(m+1)=(x2x-2)(x2x+1)=(x+2)(x-1)(x2x+1)(2)x1x2x3x6x2=(xxxx56276)(x2)+,2n=x5x6，令2=n+2n+x=n+2n+x2原式（）22x66)2=(n+x)2=(x2a2ba2b12(3)a=x+y,b=xy=令，原式=(a-b)2-2(a-b)+1=(a-b-1)2=(x+y-xy-1)2【点睛】.此题主要考查复杂的因式分解，解题的关键是读懂材料学会材料中因式分解的方法ab0时，一定有；当a、b的大小比较，有下面的方法：当ab15．对于任意两个数ab0时，一定有ab；当ab0时，一定有ab．反过来也成立．因此，我们”把这种比较两个数请根据以上材料完成下面的题目：大小的方法叫做“求差法．yA2x2y8y，，且AB，试判断的符号；B8xy1（）已知：和2ac的大小．三边，比较a2cb2abc（）已知：、、为三角形的22＜2acacb1y02【答案】（）＞；（）222【解析】【分析】（）根据题意得到2x2y8y8xy0，因式分解得到2y(x2)20，进而得到y的符1号即可；2ac2（）将acb2和作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求．22【详解】解：（）因1为＞，AB所以A-B＞0，2xy8y8xy0，即22y(x44x)2y(x2)20，∴2(x2)20，因为y0∴＞2a−bc−2acac−2ac−ba−c−ba−c−b（）因为＋＝＋＝（）＝（）（＋），a−cb22222222abcabc∵＋＞，＜＋，a−c−ba−cb0所以（）（＋）＜，a−bc−2ac所以＋的符号为负．222∴a2c2b2＜2ac【点睛】本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a0，b0时，∵(ab)2a2abb0ab2，∴ab，当且仅当ab时取等号．请利用上述结论解决以下问题：11(1)当x0时，值为_______；当x0时，的xx的最小最大值为__________．xxx23x16(2)当x0时，求y的最小值．xO(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25【解析】【分析】（）当x＞0时，按照公式（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；x＜0时，1a+b≥2ab1由于-x＞，＞，0-则也可以按照公式（当且仅当a=b时取等号）来计算；0a+b≥2abxx23x16的分子分别除以分给公式求得最母，展开，将含x的项用题中所将y2（）x小值，再加上常数即可；3（）设，已知，，则由等高三角形可知：：：S=xS=4S=9SS=SCODAOBBOCAOB△COD△BOC△△△△SxSABCD，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照xAOD△AOD△题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】1解：（）当＞时，1x2x21x0xx11xx0当＜时，xxx11x2x2∵xx1x2∴x1x的最小值为2；当x0时，的最大值为-2；x1xxx0时，∴当x23x1616x3x（）由y2xx0∵＞，1616∴yx32x311xx16当x时，最小值为11；x3S=xS=4S=9（）设，已知，COD△BOCAOB△△SS=SSAOD△△△则由等高三角形可知：：：BOC△CODAOB∴x：：9=4S△AOD36=xS∴：AOD△36=4+9+x+x36132x25ABCD∴四边形面积xABCD当且仅当时x=6取等号，即四边形面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．17．阅读下面的材料，并解答后面的问题3x4x12.将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式材料：x1解：由分母为x1，可设3x4x1(x1)(3xa)b.2因为3(x1)(3xa)b3x2ax3xab3x2(a3)xab，3x4x13x2(a3)xab.所以2a34a1b2所以，解之，得.ab13x4x1(x1)(3x1)22所以x1x1(x1)(3x1)22x1x13x1x13x4x1x12x12这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式3x1.2x3x6x12问题：（）请将分式1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；5x9x23x24（）请将分式22拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形.式2x3x62x5115x9x235x112.24【答案】（1）；（2）x22x1x12x2【解析】【分析】(x1)(2xa)b，求出2x3x6分解为（1）仿照例题将2a、b的值即可得到答案；，得到m109（2）将2mn3，求出m、n，整24(x2)(5x2m)n5x9x23分解为理后即可得到答案.【详解】（1）由分母为x-1，可设2x3x6=(x1)(2xa)b，2(x1)(2xa)b=2x2ax2xab2x2(a2)x(ba)，∵∴2x23x62x(a2)x(ba)2a23ba65b11a∴，得，2x23x6(x1)(2x5)11(x1)(2x5)112x511x1=x1；x1=(x22)(5x2m)n，∴==x1x1x2，可设5x9x23（2）由分母为24(x2)(5x2m)n=5x4mx210x22mn5x4(m10)x2(2mn)∵2∴5x49x23=5x4(m10)x2(2mn)，m109m1n1，得，∴2mn35x9x23(x22)(5x21)1=5x2114∴2=.x2x22x22【点睛】此题是仿照例题解题的形式解题，正确理解题意，明确例题中的计算的方法是解题的关键.761213.18．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：33在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.x2，，…这样的分式是假分式；像，x3x32x3例如：像x3x3…这样的分式是真分式.，x2.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式x2x5x32将分式.（差）的形式例如：拆分成一个整式与一个真分式的和x3，可设x2x5(x3)(xa)b方法一：解：由分母为2则由x22x5(x3)(xa)bx2ax3x3abx2(a3)x(3ab)x对于任意，上述等式均成立，a32a1b2∴，解得3ab5∴x22x5(x3)(x1)2(x3)(x1)x3x3x3x2x52x32x3x12.成一个整式与一个真分式的和（差）的形式这样，分式就被拆分x3方法二：解：x22x5x23xx32x(x3)(x3)2x(x3)x322x3x3x3x1x3x3x3x2x5x32这样，分式就拆分.成一个整式与一个真分式的和（差）的形式x3x7x3x12将分式拆分成一个整式与一个真（1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法分式的和（差）的形式；2x5x11x22（2）已知整数使分式x所有整数的值.x的值为整数，求出满足条件的92）x=-1或-3或11或-15.x1；（x61【答案】（）【解析】【分析】x7x3=x2x6x692（）先变形1“”，由真分式的定义，仿照例题即可得出结x1x1论；2x（）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数的值．【详解】x7x3=x2x6x692解：（）1x1x1=x(x1)6(x1)9x19=x6x1；2x5x11=2x24xx2132（）2x2x22x(x2)(x2)13x2=13x2，=2x12x5x11x22∵是整数，x也是整数，∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13，∴x=-1或或或-311-15.【点睛】本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．11111119．已知xaybzc，，．bcacab11b1，c2时，求（）当a1，1x1y1的值；111abbcac0时,求2（）当x1y1z1的值．1421【答案】（）；（）【解析】【分析】z＋1y＋1、和值，然后x＋1、简，然后求值即可；（1）分别对x、y进行化(2)分别求出代入化简即可.【详解】xacab,ybcab,zbcac，ab1（）bcac当a1,b1,c2时，x112111=1;122y112111=1122111111x1y1=422x1acab1acabbc2（），bcbcy1bcab1bcabac，acacz1bcac1bcacab，abab∵abbc+ac0，111x1y1z1∴bcabbc+acabbc+acabbc+acacab;abbc+acabbc+ac=1.【点睛】本题考查了整式的化简求值问题，解题的关键是仔细认真的进行整式的化简.20．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天2数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．3（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．【答案】（1）甲队单独完成需60天，乙队单独完成这项工程需要90天；（2）工程预算的施工费用不够，需追加预算4万元.【解析】【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作=×效率．根据工作量工作效率工作时间列方程求解；（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．【详解】2天，则甲队单独完成需要填（1:x）解设乙队单独完成这项工程需要x；34030123xxx90解得：x=90经检验，是原方程的根．22则x9060（天）336090答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需天和天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要天，y11y(6090)=1.+则有y=36.解得36×(8.4+5.6)=504(需要施工费用：).万元504>500.∵4∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算万元．五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）11ABC∠B=60°∠DAC21．（）如图．在△中，，和∠的角平分线交于点，则ACEO∠°，O=22B=α1（）如图，若∠，其他条件与（）相同，请用含的代数式表示∠的大小；αOPAC1DAC,PCA1ACE33B=α（）如图，若∠，P=，则∠（用nnα含的代数式表示）．1P(11)1801【答案】（）∠；（）290°－；（）1O=60°32nn【解析】【分析】1（）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；（）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等2量关系，用含α的代数式表示∠O的大小；∠P=（1-1）1801，再将2替换成n即可分析2（）利用（）的条件可知n=2时，322求解.【详解】解：（）因为∠DAC和的角平分线∠ACE交于点O，且∠B=60°，1所以OACOCA180有∠O=18012060°.60120，2∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°（）设∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β∵CO∠ACE平分ACO1ACE()1221同理可得：CAO()2∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，)()1(1∴O180ACOCAO180221111；90180()180()180902222PAC1DAC,PCA1ACE，（）3∵∠B=α，nn∠P=18090=（1-1）18011，将2替换成n即可，2由（）可知n=2时，有222P(1)18011.n∴n【点睛】本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.22．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（）观察规形图，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，1“”并说明理由；2（）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：2把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点①如图，B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；②如图，3DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；③如图，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、、9，若∠BDC=133°，4G…G2∠BG1C=70°，求∠A的度数．【答案】（1）详见解析；（2）；①50°②85°；③63°．【解析】【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；②先根据（）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出1∠DCE的度数；11③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD+∠A133-x+x=70），设∠A为x°，即可列得（），1010求出x的值即可.【详解】1（）如图（），1连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；2（）①由（），1可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=40°，∠BXC=90°，ABX+∠ACX=90°-40°=50°；∴∠②由（1），可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，1∴（∠∠）ADB+AEB=90°÷2=45°，2∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴ADC1ADB，AEC1AEB，22DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,∴∠1=2（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,=45°+40°,=85°；1③由②得∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，10∵∠BG1C=70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD=133°-x°1∴（133-x）+x=70，10113.3-∴x+x=70，10解得x=63，即∠A的度数为63°.【点睛】此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.23．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．2βα=60°