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2023年研究生入学考试数学三历年高频考题带答案难题附详解(图片大小可自由调整)第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.已知f(x)在x=0的某个邻域内连续,且f(0)=0,,则在点x=0处f(x)______A.不可导.B.可导且f′(0)≠0.C.取得极大值.D.取得极小值.2.已知函数y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0确定,则y″(0)=______.3.若(X,Y)服从二维正态分布,则①X,Y一定相互独立;②若ρXY=0,则X,Y一定相互独立;③X和Y都服从一维正态分布;④X,Y的任一线性组合服从一维正态分布.上述几种说法中正确的是______.A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④4.
5.6.7.8.设级数条件收敛,则
A.级数与级数都收敛.
B.级数与级数都发散.
C.级数收敛而级数发散.
D.级数发散而级数收敛.9.设a>1,f(t)=at-at在(-∞,+∞)内的驻点为t(a)。问a为何值时,t(a)最小?并求出最小值。10.已知,y1=x,y2=x2,y3=ex为方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个特解,则该方程的通解为______A.y=C1x+C2x2+exB.y=C1x2+C2ex+xC.y=C1(x-x2)+C2(x-ex)+xD.y=C1(x-x2)+C2(x2-ex)11.设f(x)=x3-3x+k只有一个零点,则k的范围是
A.|k|<1B.|k|>1C.|k|>2D.k<212.已知差分方程的解xn满足条件求a.13.14.15.16.17.设总体X的概率密度(-∞<x<+∞),X1,X2,…,Xn为总体X的简单随机样本,其样本方差为S2,则E(S2)=______.18.设f(x)=,则=______.19.已知矩阵
A.P4A-1P2B.P2A-1P4C.P3A-1P4D.P4A-1P120.设A为3阶方阵,且|A+2E|=|A+E|=|A-3E|=0,则|A*+5E|=______.21.22.设n阶实对称阵A,B的特征值全大于0,A的特征向量都是B的特征向量,证明AB正定.23.24.25.已知矩阵只有一个线性无关的特征向量,那么矩阵A的特征向量是______。26.假设A是n阶方阵,其秩r(A)=r<n那么在A的n个行向量中______A.必有r个行向量线性无关。B.任意r个行向量线性无关。C.任意r一个行向量都构成最大线性无关向量组。D.任何一个行向量都可以由其他r个行向量线性表示。27.28.29.已知f(x)在x=0的某邻域内连续,且,则在x=0处,则f(x)A.不可导.B.可导且f'(0)≠0.C.取得极大值.D.取得极小值.30.31.设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求32.设z=xf(x+y)+g(xy,x2+y2),其中f,g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导,则=______.33.34.35.36.设f(x)在[a,+∞)上连续,f(a)<0,而存在且大于零.证明:f(x)在(a.+∞)内至少有一个零点.37.38.设f"(x)在x=0处连续,且则A.f(0)为f(x)的极大值B.f(0)为f(x)的极小值C.(0,f(0))为曲线y=f(x)的拐点D.f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点39.40.41.设,则a=______.42.43.44.设随机变量X是连续型的,它的概率密度为随机变量y是离散型的,它的概率分布为
(Ⅰ)求Z=XY的分布函数FZ(z);
(Ⅱ)求Cov(X,X2).45.设当x→0时,为x的三阶无穷小,则a=______,b=______.46.47.48.设,则方程F(x)=0在区间(-∞,+∞)上A.没有根.B.正好一个根.C.正好两个根.D.至少三个根.49.50.已知X1,X2…,Xn为取自分布为F(x)的总体X的简单随机样本.记X=min(X1,…,Xn-1)和Y=Xn则X的分布函数FX(x)=______,Y的分布函数FY(y)=______和(X,Y)的联合分布G(x,y)=______.第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案:D[解析]因当x→0时,,故极限条件等价于.从而可取f(x)=x2,显然满足题设条件.而f(x)=x2在x=0处取得极小值,故选D.2.参考答案:y″(0)=-2[解析]由题干可知,方程两边对x进行两次求导得
eyy′+6xy′+6y+2x=0,
(1)
eyy″+eyy′2+6xy″+12y′+2=0,
(2)
将x=0代入原方程得y=0,将x=y=0代入(1)得y′=0.将x=y=y′=0代入(2)得y″(0)=-2.3.参考答案:B[解析]因为(X,Y)服从二维正态分布,所以X,Y都服从一维正态分布,aX+bY服从一维正态分布,且X,Y独立与不相关等价,所以选B.4.参考答案:D5.参考答案:6.参考答案:7.参考答案:8.参考答案:B[解析]由级数条件收敛知级数发散,即级数收敛但发散.再按级数的运算即知级数都发散.即应选(B).9.参考答案:解:令f'(t)=atlna-a=0,解得f(t)的驻点为
对t(a)关于a求导,可得
令t'(a)>0,解得a>ee。则当a>ee时,t(a)单调递增;当1<a<ee时,t(a)单调递减。所以当a=ee时,t(a)最小,且最小值为10.参考答案:C[解析]方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程,则(x-x2)和(x-ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解,则原方程通解为y=C1(x-x2)+C2(x-ex)+x,故选C。11.参考答案:C[解析]f(x)为三次函数,至少有一个零点,因为函数不单调,故要使函数只有一个零点,必须极小值大于零或极大值小于零.f'(x)=3(x2-1)=0,得驻点x=±1,且由图形可知,x=-1为极大点,x=1为极小点.故f(-1)=2+k<0<-2,f(1)=-2+k>0k>2,所以选(C).12.参考答案:解:首先齐次方程xn+1+αxn=0的通解为xn=C(-α)n.
再用待定系数法求xn+1+αxn=n+1的特解,为此,令xn=An+B,代入方程xn+1+αxn=n+1,得
则原差分方程的通解为
由初始条件得常数C=0,于是差分方程的解为
解得α=ln2-1.13.参考答案:14.参考答案:15.参考答案:B16.参考答案:17.参考答案:2[考点]无偏估计.[解析]依题意,可得
因为样本方差S2时总体方差的无偏估计量,所以E(S2)=D(X)=2.18.参考答案:[考点]用分部积分法计算定积分.[解析],
即.19.参考答案:B[解析]因则有
20.参考答案:-14|A+2E|=|A+E|=|A-3E|=0,可知A的特征值为-2,-1,3,
|A|=(-2)(-1)3=6.
A*+5E的特征值为2,-1,7,
故|A*+5E|=2×(-1)×7=-14.21.参考答案:A22.参考答案:本题考查抽象型矩阵的特征值与特征向量、正定等知识,是一道具有一定难度的逻辑推理题.
设A,B的特征值分别为λi,μi(i=1,…,n).由已知条件,λi>0,μi>0,
i=1,…,n.由于A为实对称矩阵,故一定存在正交矩阵P=(P1,…,Pi,…,Pn),使得
PTAP=diag(λ1,…,λi,…,λn),
即
APi=AiPi,Pi为A的特征向量,i=1,…,n.
又由题设,Pi也是B的特征向量,故
BPi=μiPi,
i=1,…,n,
因此ABPi=AμiPi=(λiμi)Pi,即λiμi是AB的特征值,且λiμi>0,i=1,…,n
又ABP=Pdiag(λ1μ1,…,λiμi,…,λnμn),PT=P-1.
故AB=Pdiag(λ1μ1,…,λiμi,…,λnμn)PT,则AB为实对称阵,因此AB为正定矩阵.23.参考答案:24.参考答案:25.参考答案:k(-1,1,1)T,k≠0为任意常数[考点]矩阵的特征值、特征向量的概念,矩阵特征值的性质,矩阵特征向量的求解。[解析]“特征值不同特征向量线性无关”,已知矩阵A只有一个线性无关的特征向量,故特征值λ0必是3重根,且秩r(λ0E-A)=2。
由∑λi=∑aii知3λ0=4+(-2)+1,得特征值λ=1(3重)。又
因为秩r(E-4)=2,因此有a=-2。此时(E-A)x=0的基础解系是(-1,1,1)T。
故A的特征向量为k(-1,1,1)T,k≠0为任意常数。26.参考答案:A[解析]由矩阵秩的定义可知,A的n个行向量组成的向量组的秩也为r,再由向量组秩的定义可知,这n个向量中必然存在r个线性无关的向量,故选A。27.参考答案:D28.参考答案:C29.参考答案:C由题设,且知必有f(0)=0.从而.即f'(0)=0.排除(A)、(B).
又由保号性知,在x=0的某邻域内有,即f(x)<0=f(0),根据极值的定义知,f(x)在x=0处取到极大值.故应选(C).30.参考答案:31.参考答案:解:分别在z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0的两端对x求导,得
整理后得
解得
32.参考答案:f'+xf"+xy-1g'1+yxy-1nxg'1+yx2y-1lnxg"11+2y2xy-1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"22[解析]由z=xf(x+y)+g(xy,x2+y2),得
=f(x+y)+xf'(x+y)+yxy-1g'1(xy,x2+y2)+2xg'2(xy,x2+y2)
=f'+xf"+xy-1g'1+yxy-1nxg'1+yx2y-1lnxg"11+2y2xy-1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"2233.参考答案:34.参考答案:35.参考答案:036.参考答案:证明
令,取,因为,所以存在X0>0,当x≥X0时,有,从而,特别地,f(X0)>0,因为f(x)在[a,X0]上连续,且f(a)f(X0)<0,所以存在ξ∈(a,X0),使得f(ξ)=0.37.参考答案:38.参考答案:C[解析]
所以(0,f(0))是拐点,故选C.39.参考答案:C40.参考答案:41.参考答案:[解析]由
=得a=.42.参考答案:43.参考答案:44.参考答案:(Ⅰ)由于FZ(z)=P(Z≤z),
其中,P(Z≤z)=P(XY≤z)
=P(Y=-1)P(XY≤z|Y=-1)+P(Y=0)P(XY≤z|Y=0)+
P(Y=1)P(XY≤z|Y=1)
所以,
(Ⅱ)Cov(X,X2)=E(X3)-EX·E(X2),
其中,EX=1,E(X2)=D(X)+(EX)2=1+12=2,
所以,Cov(X,X2)=3E(X2)-E(X2)=2E(X2)=4.由于Z=XY是连续型随机变量与离散型随机变量之积,所以要计算它的分布函数应从定义出发,即从计算概率
P(Z≤z)=P(XY≤z)入手.45.参考答案:46.参考答案:8[解析]因为,且它是以2π为周期的函数,故
47.参考答案:A48.参考答案:B[解析]方程F(x)=0的根,也称为函数F(x)的零点.如果F(x)中不含导数,一般(这里讲的是一般,而不是一定)用连续函数零点定理.如果含有某函数的导数,则要用到罗尔定理.今F(x)为两个变限函数的和:
以连续函数零点定理试之:
由连续函数零点定理知,至少存在一点ξ∈(0,1)使F(ξ)=0.又
所以F(x)在(-∞,+∞)上严格单调增加,于是推知F(x)在(-∞,+∞)上有且仅有一个零点.选(B).49.参考答案:50.参考答案:1-[1-F(x)]n-1;F(y);{1-[1-F(x)]n-1}F(y)[解析]根据简单随机样本各分量Xi相互独立且与X同分布,有
Fx(x)=P{min(X1,X2…,
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