2023年研究生入学考试数学二历年高频考题带答案难题附详解

2023年研究生入学考试数学二历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.把x→0+时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小量，则正确的排列次序是______A.α，β，γ．B.α，γ，β．C.β，α，γ．D.β，γ，α．2.设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，-1，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α1=(2，3，-1)T与α2=(1，a，2a)T，A*是A的伴随矩阵，求齐次方程组(A*-2E)x=0的通解．3.已知三阶方阵A，B满足关系式E+B=AB，A的三个特征值分别为3，-3，0，则|B-1+2E|=______．4.已知4×3矩阵A=[α1，α2，α3]，其中α1，α2，α3均为4维列向量，若非齐次线性方程组Ax=β的通解为(1，2，-1)T+k(1，-2，3)T，令B=[α1，α2，α3，β+α3]，试求By=α1-α2的通解。5.设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F'(x)等于______．A.-e-xf(e-x)-f(x)B.-e-xf(e-x)+f(x)C.e-xf(e-x)-f(x)D.e-xf(e-x)+f(x)6.设连续函数f(x)满足f(2x)=2f(x)，则，其中a为A.5B.6C.7D.87.8.设n维列向量α1，α2，…，αs线性无关，其中s是大于2的偶数，若矩阵A=(α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs+α1)，试求非齐次线性方程组Ax=α1+αs的通解。9.设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f'(x)=ef(x)，f(2)=1，则f'''(2)=______。10.设函数f(x)满足f(0)=1，

试证明：1≤A≤1+ln2．11.设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明存在ξ∈(a，b)，使

12.曲线r=aebθ(a＞0，b＞0)，从θ=0到θ=β(β＞0)的一段弧长为______．

A．

B．

C．

D．13.设，则f'(x)=______.14.15.求不定积分16.设A为n阶矩阵，证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT．17.设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，则d∫f(x)dx等于______．A.f(x)B.f(x)dxC.f(x)+CD.f'(x)dx18.19.设f(x)在x=x0邻域内有界，g(x)在x=x0领域内无界，，=∞，则下述命题

①f(x)g(x)在x=x0，领域内必无界；②；③其中正确的个数为

．A.0个．B.1个．C.2个．D.3个．20.已知f(x)(x∈[0，+∞))为非负连续函数，且满足=x3,则f(x)=______．21.向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr线性无关，且可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表出，则下列说法正确的是

______A.若向量组(Ⅱ)线性无关，则r=s．B.若向量组(Ⅱ)线性相关，则r≤s．C.不论怎样，都有r＜s．D.不论怎样，都有r≤s．22.23.设，A的特征值为______24.25.若方程组确定隐函数y(x)与z(x)，且y(1)=1，z(1)=26.27.28.设A是3阶非零矩阵，满足A2=A，且A≠E，则必有______A.r(A)=1B.r(A-E)=2C.[r(A)-1][r(A-E)-2]=0D.[r(A)-1][r(A-E)-1]=029.设f(x，y)满足

其中a，b为常数，则

______

A．a+b．

B．a-b．

C．

D．30.设f(x)在[a，b]可导，，则A.f'+(a)=0．B.f'+(a)≥0．C.f'+(a)＜0．D.f'+(a)≤0．31.现有四个向量组

①(1，2，3)T，(3，-1，5)T，(0，4，-2)T，(1，3，0)T

②(a，1，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f，0，3)T

③(a，1，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，0，0)T

④(1，0，3，1)T，(-1，3，0，-2)T，(2，1，7，2)T，(4，2，14，5)T

则下列结论正确的是A.线性相关的向量组为①④；线性无关的向量组为②③．B.线性相关的向量组为③④；线性无关的向量组为①②．C.线性相关的向量组为①②；线性无关的向量为③④．D.线性相关的向量组为①③④；线性无关的向量组为②．32.设函数f(x，y)连续，则二次积分等于

A．

B．

C．

D．33.34.35.求36.设，则______A.M＞N＞KB.M＞K＞NC.K＞M＞ND.K＞N＞M37.设D={(x，y)|-1≤x≤0，1-≤y≤-x}，计算二重积分Ⅰ=38.过点P(1，0)作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形．求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．39.设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关．40.设则y(n)(0)=(n=1，2，3，……)．A.y(2n-1)(0)=0，y(2n)(0)=(2n)!．B.y(n)(0)=n!．C.y(2n-1)(0)=(2n-1)!，y(2n)(0)=0.D.y(n)(0)=(2n)!．41.设f(x)在x=0处二阶可导，f(0)=0，且，则______A.f(0)是f(x)的极大值．B.f(0)是f(x)的极小值．C.(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D.f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．42.当x→0+时，下列无穷小量中，阶数最高的是______．

A．ln(1+x2)-x2

B．

C．

D．ex2-1-x243.44.45.46.已知函数．设，试求α的取值范围．47.设y1=ex，y2=3e-x，y3=2xex是三阶常系数线性齐次微分方程的三个特解，则该方程为______A.y"'-2y"-y'+2y=0．B.y"'+2y"-y'-2y=0．C.y"'+y"-y'-y=0．D.y"'-y"-y'+y=0．48.设z=h(x，y)由方程exyz=x+y+z确定，则h(x，y)在点P0(0，1)的两个偏导数______A.分别等于0和-1．B.分别等于-1和0．C.都等于0．D.都等于-1．49.过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成．求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．50.已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，，其中D：{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：B[解析]解法1

因

所以γ是较α高阶的无穷小量，β是较γ高阶的无穷小量，即选项B正确．

解法2

α，β，γ阶数的高低次序与它们的导数α'，β'，γ'阶数的高低次序是一致的，现在考查α'=cosx2，β'=tanx·2x，，显然看出由低到高的次序是α'，γ'，β'，则α，β，γ阶数由低到高的次序是α，γ，β，选B．

若是想到利用“变限积分的等价代换”，则本题会更简单，留给读者自练．2.参考答案：由A的特征值是1，2，-l，可知行列式|A|=-2，那么A*的特征值是-2，-1，2．于是所以r(A*-2E)=r(A)=2．那么，(A*-2E)x=0的基础解系由一个线性无关的解向量所构成．

又因矩阵A属于λ=-1的特征向量就是A*属于λ=2的特征向量，亦即A*-2E属于λ=0的特征向量．

由于A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交．设矩阵A属于特征值λ=-1的特征向量是α3=(x1，x2，x3)T，则有

若α是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量，则Aα=0α=0，即α是齐次方程组Ax=0的非零解，反之亦然．在已知条件是特征值、特征向量这一情况下，求齐次方程组的解应考虑λ=0的特征向量．评注

本题也可以通过特征值、特征向量先把矩阵A反求出来，然后再求A*，进而求方程组的通解，但那样做比较复杂，应当知道AX=0的解与特征向量之间的联系．3.参考答案：-8因为A的特征值为3，-3，0，所以A—E的特征值为2，-4，-1，从而A—E可逆，由E+B=AB得(A-E)B=E，即B与A—E互为逆阵，则B的特征值为，-1，B-1的特征值为2，-4，-1，从而B-1+2E的特征值为4，-2，1，于是|B-1+2E|=-8．4.参考答案：由题设，有

r(A)=r[α1，α2，α3]=3-1=2

即

α1-2α2+3α3=0．

从而

r(B)=r[α1，α2，α3，β+α3]=r[α1，α2，α3，α1+2α2]

=r[α1，α2，α3]=2．

又因[α1，α2，α3，α3+β是By=α1-α2的解。

进一步，由B

知是By=0的两个线性无关的解，可作为其基础解系，故所求通解为：

k1，k2为任意常数。5.参考答案：A[解析]利用变限积分求导公式和复合函数的求导方法计算即可．

[解题分析]

=-e-xf(e-x)-f(x)．

故应选A．

[评注1]本题为选择题，因此也可用取特殊值法求解：取f(x)=1，则F(x)=e-x-x，于是F'(x)=-e-x-1，代入四个选项中，只有A符合要求．

[评注2]一般变限积分的求导公式为：

6.参考答案：C[解析]

因此选C．7.参考答案：8.参考答案：Ax=α1+αs

①

记x=(x1，x2，…，xs)T，则方程组①化为

x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xs-1(αs-1+αs)+xs(αs+α1)=α1+αs

整理得

(x1+xs-1)α1+(x1+x2)α2+…+(xs-2+xs-1)αs-1+(xs-1+xs-1)αs=0

由α1，α2，…，αs线性无关，得

显然①与②同解，下面求解②：将②的增广矩阵施行初等行变换得(注意s是偶数)

从而，②有无穷多解，易知特解为η0=(1，-1，1，-1，…，1，0)T，对应齐次方程组的基础解系为η1=(1，-1，1，-1，…，1，-1)T，从而②的通解，即①的通解为x=η0+kη1，k为任意常数。9.参考答案：2e3[解析]由题设知，f'(x)=ef(x)，在此方程两边同时连续两次对5c求导得

f"(x)=ef(x)f'(x)=e2f(x)，

f'''(x)=2e2f(x)f'(x)=2e3f(x)，

又f(2)=1，故f'''(2)=2e3f(x)=2e3。10.参考答案：由可知f'(x)＞0，所以当x≥0时，有f(x)≥f(0)=1．

即f(x)≤1+ln2-ln(1+e-x)，即

1≤f(x)≤1+ln2-ln(1+e-x)．

在上式中令x→+∞，可得1≤A≤1+ln2．11.参考答案：从待证等式出现b-a因子，使人猜想可能使用拉格朗日中值定理证之．但辅助函数如何找?可将待证等式右端中的ξ换为x，去掉导数符号就可得到辅助函数．

证令

显然F(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件．因而对F(x)在[a，b]上使用该定理得到：存在ξ∈(a，b]使

F(b)-F(a)=(b-a)F'(ξ)．

注意到

则式①成立．证毕．12.参考答案：A[解析]利用弧长的计算公式计算．

解一

仅(A)入选．

解二令则其弧长公式为

仅(A)入选．13.参考答案：2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x[解]由

得f'(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x.14.参考答案：D15.参考答案：[解]16.参考答案：证明：设r(A)=1，则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例，

令于是令，故A=αβT，显然α，β为非零向量．设A=αβT，其中α，β为非零向量，则A为非零矩阵，于是r(A)≥1，又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，故r(A)=1.17.参考答案：B[考点]微分与积分关系

[解析]因d[∫f(x)dx]=[∫f(x)dx]'dx=f(x)dx，故应选(B)．18.参考答案：19.参考答案：A[解析]没有一个是正确的．

①的反例：x0=0，f(x)=x2，在x=0邻域内有界，，在x=0邻域内无界，f(x)g(x)=x在x=0邻域内并非无界．

②的反例：x0=0，在x=0邻域内无界，在x=0邻域无界，但．

③的反例：x0=0，在x=0邻域无界，，但．20.参考答案：[解析]注意

于是原方程改写成

积分得

最后得

21.参考答案：D[解析]向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示，则

r(α1，α2，…，αr)≤r(β1，β2，…，βs)≤s

因为向量组(Ⅰ)线性无关，所以有r(α1，α2，…，αr)=r．故r≤s，与(Ⅱ)是否线性相关无关，故C不正确．

若向量组(Ⅱ)线性无关，则有r(α1，α2，…，αr)=r≤r(β1，β2，…，βs)=s，但不能推出r=s，所以A不对．

若向量组(Ⅱ)线性相关，则有r(α1，α2，…，αr)=r≤r(β1，β2，…，βs)＜s，从而r＜s，所以B不准确．

综上，正确答案为D．22.参考答案：23.参考答案：λ=2为三重特征根[考点]特征值与特征向量24.参考答案：25.参考答案：[解析]将两个方程分别对x求导数，得

将x=1，y(1)=1，z(1)=0代人即得

由此即可解出．故26.参考答案：27.参考答案：D28.参考答案：D[解析]A是3阶非零矩阵，则A≠O，r(A)≥1．又A≠E，A-E≠O，r(A-E)≥1．

因A2=A，即A(A-E)=O，得r(A)+r(A-E)≤3，且

1≤r(A)≤2，1≤r(A-E)≤2．

故矩阵A和A-E的秩r(A)和r(A-E)或者都是1，或者一个是1，另一个是2(不会是3，也不会是0，也不可能两个都是2．故两个中至少有一个的秩为1)．

故A，B，C均是错误的，应选D．29.参考答案：C[解析]由

知f(x，y)在(x0，y0)可微且

因此选C．

在已知等式中分别令(x，y)=(x0+2t，y0)，(x，y)=(x0，y0-t)得

f(x0+2t，y0)=f(x0，y0)+a·2t+o(t)

(t→0)

f(x0，y0-t)=f(x0，y0)+b·(-t)+o(t)

(t→0)

两式相减并除以2t得

最后令t→0得

30.参考答案：D[解析]考察

选D．

由f'+(a)的几何意义可知，应选D．31.参考答案：D[解析]向量组①是四个三维向量，从而线性相关．可排除B．

由于(1，0，0)，(0，2，0)，(0，0，3)线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线性无关．所以应排除C．32.参考答案：B[解析]根据所给二次积分得到积分区域为如图所示，则有

33.参考答案：34.参考答案：A35.参考答案：[解]36.参考答案：C[解析]

对于N，由故

故K＞M＞N，故选C。

计算积分的时候，结合奇、偶函数在对称区间上的性质简化计算过程，其中奇函数在对称区间上的积分为0，偶函数在对称区间上的积分等于其一半区间积分的两倍。37.参考答案：解：积分区域D如图所示．

利用极坐标，

≤θ≤π，0≤r≤2sinθ,

故

【注】当≤θ≤π时，有0≤π-θ≤，故

arcsinθ=arcsin[sin(π-θ)]=π-θ．38.参考答案：设所作切线与抛物线相切于点(),在此点处的切线斜率为

于是，切线方程为

将点P(1，0)的坐标x=1，y=0代入切线方程中，解得x0=3．因此切线方程为y=，故所求旋转体的体积

[解析]先求切点，然后求切线方程，最后用旋转体的计算公式得旋转体体积．

[评注]本题综合考查了导数的几何应用和定积分的几何应用．39.参考答案：证明：设x1，x2，…，xn为n个常数，满足

x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0

即

(x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0

因为α1，α2，…，αn线性无关，所以有该方程组系数行列式Dn=1+(-1)n+1，n为奇数线性无关．[考点]向量40.参考答案：C[解析一]用分解法与归纳法先求出y(n)(x)．

易归纳得

于是

[解析二]由间接法写出泰勒公式，再由泰勒公式的系数得y(n)(0)．

应选C．

设y(