2023年研究生类研究生入学考试专业课量子力学历年高频考题带答案难题附详解

2023年研究生类研究生入学考试专业课量子力学历年高频考题带答案难题附详解（图片大小可自由调整）第1卷一.历年考点试题黑钻版(共50题)1.什么是束缚态?束缚态有何特征?束缚态是否必为定态?反之如何，举例说明.2.态叠加原理的一般说法如下：如果ψ1和ψ2是体系的两个可能状态，那么它们的线性叠加ψ=c1ψ1+c2ψ2，也是这个体系的一个可能状态，上述说法中的公式可以有以下四种理解：

①ψ(x)=c1ψ1(x)+c2ψ2(x)

②ψ(x，t)=c1(t)ψ1(x)+c2(t)ψ2(x)

③ψ(x，t)=c1(t)ψ1(x，t)+c2(t)ψ2(x，t)

④ψ(x，t)=c1ψ1(x，t)+c2ψ2(x，t)其中c1，c2是任意复常数，c1(t)，c2(t)是t的复函数，你认为哪种说法是对的?指出问题关键所在．3.将质子当作半径为R的带电球壳，用一级微扰论计算由于氢原子核的非点电荷电势引起的氢原子基态能量的改变表达式．

(氢原子基态为玻尔半径)4.系统的波函数的形式为，问此系统是否处于定态?5.氢原子势能平均值和动能平均值的比值是多少?6.质量为μ的粒子，原处于一维刚性盒子(0→L)的基态中，设盒子x=L的壁突然运动到x=2L

(1)计算盒子膨胀后粒子处于基态的概率；

(2)试盒子膨胀后粒子最可能处于什么态?

(3)若此盒子两壁突然膨胀至±∞处，求体系动量大小在p→p+dp之间的概率；

(4)在(3)情况下，体系的能量是否守恒?为什么?7.已知粒子状态波函数为沙，求：

(1)在r0→r0+dr中找到粒子的概率?

(2)在θ0→θ0+dθ中找到粒子的概率?

(3)在φ0→φ0+dφ中找到粒子的概率?

(4)在x0→x0+dx中找到粒子的概率?8.对于三维谐振子，在球极坐标中写出简并第一激发态的波函数，同时是的本征态．9.一维谐振子势场中的粒子处于任意的非定态，试证明该粒子的位置概率分布经历一个周期之后复原．10.一势垒如下图所示，能量为E的粒子由左向右入射，求E＞V0，E＜V0两种情况下的反射系数和透射系数，

11.极低温下4He液体和3He液体会表现出极不相同的特性，为什么?常温下4He气体和3He气体的特性基本相同，又为什么?12.核子处于三维各向同性谐振子势场中，，能级为

如果此系统受到自旋-轨道耦合的微扰，问N=2能级将如何分裂?画出能级分裂图，给出各能级简并度．13.设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即V=V(t)，与坐标r无关．试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解ψ(r，t)的一般形式，并取V(t)=V0cos(ωt)，以一维情况为例说明V(t)的影响．14.一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围，求激发电子到第一激发态所需的能量．(用eV表示．)

，me=0.5MeV/c2，c=3×108m/s15.中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能，总角动量J=L+S．Φ是J2，L2，S2，Jz的共同本征态．现有一电子处于3P1/2态，且mj=1/2．

(1)在一级近似下，ξ(r)可用常数代替，请问电子的能量与3P3/2态差多少?

(2)请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少?

16.电子在恒定均匀磁场B=Bez中运动(ez为z方向单位矢量)，同时考虑空间运动与自旋运动：

(1)写出体系的哈密顿量；

(2)求的本征值与本征函数．17.设为轨道角动量算符，已知共同的本征函数为Ylm(θ，φ)(球谐函数)，证明的共同本征函数，且本征值为18.有两个质量为μ，自旋为的全同粒子，同处于宽度为a的无限深势阱中，略去两粒子间的相互作用，求体系能量本征值和本征函数，并指出最低两个能级的简并度．19.为什么如取轨道角动量，则空间量子化与不确定关系矛盾?而当取则空间量子化不违背不确定关系，对于后者给予定量说明，讨论不确定关系中何时等号成立，何时等号不成立?20.一个自旋为、磁矩大小为μ的粒子处于如下旋转磁场中：

B=Bcos(ωt)ex+Bsin(ωt)ey

其中磁场大小B为定值．若初始时刻粒子的自旋沿z轴负方向，求t＞0时粒子的自旋沿z轴正方向的概率．21.经典力学中的位力定理表示为

式中Fxi是对第i个粒子的作用力的x分量，上横线表示对时间取平均，试证明量子力学中的位力定理

式中|n〉是哈密顿算符的第n个本征态．22.一个质量为μ的粒子处在一维谐振子势阱中，(1)粒子最初处在基态，弹性系数忽然加倍，这样新的势阱是V2=k'x2(k'=2k)．现在测量粒子能量，求发现粒子在新势阱基态的概率；(2)弹性系数和(1)问一样加倍，所以V1突变为V2，但是在新势阱中粒子能量没有被测量经过时间t后，弹性系数忽然回到了初值，问t等于多少时能使粒子态完全回复到V1的基态．23.电子偶素(e+e-束缚态)类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核．在非相对论近似下，其能量和波函数同氢原子类似．今设在电子偶素的基态里，存在一种接触型自旋交换作用，其中Me与Mp电子和正电子的自旋磁矩利用一级微扰论计算此基态中自旋单态与自旋三重态之间的能量差，决定哪一能量更低．

24.两颗中子被关在势阱a中做一维运动，其中a为正数，假使它们的相互作用V(x1，x2)=Dδ(x1-x2)作为微扰()，考虑自旋自由度而忽略与自旋有关的力，求

(1)零级近似的基态波函数；

(2)准确到一级近似的基态能量，25.一个二维谐振子体系的哈密顿量是，属于第二激发态(能量为)的三个简并态可以在粒子数表象写为|nx，ny〉形式，它们分别是：|20〉，|11〉和|02〉．

(1)加入微扰(λ为小量)，在粒子数表象(或占有数表象)中，求在这个简并子空间的矩阵表示．一维谐振子的下降、上升算符分别是

(2)在粒子数表象中，求出该体系的第二激发态能量加入微扰后的一级修正值，并且求出简并态微扰论的零级波函数．26.已知的本证值为，n=1，2，…．若系统变为，求能级的变化，27.有四个质量均为μ的粒子在一个半径为R的固定圆环上运动，成彼此相对位置不变的正四边形分布．

(1)若这些粒子可分辨，求体系的能量；

(2)若这些粒子不可分辨，情况如何?28.设一维谐振子的态在其能量表象下为：

29.考虑有二重内部自由度的粒子，其简并基态|A〉，|B〉对应于同一能量E0，即

试求相互作用

引起的能量修正．30.一束自旋为的粒子进入施特恩-格拉赫装置SG(Ⅰ)后被分成两束，去掉其中的一束，另一束进入第二个施特恩-格拉赫装置SG(Ⅱ)，SG(Ⅱ)与SG(Ⅰ)的交角为θ，则粒子束穿过SG(Ⅱ)后又被分成两束．求这两束的相对数目之比．31.以z轴为球坐标的极轴，说明，设氢原子中电子角动量Lz被确定到的5%，说明此时坐标φ完全不确定．32.氢原子处于基态，假定库仑相互作用在t=0时突然消失，电子离开原子像自由粒子那样运动，试求在t＞0的时刻测量电子动量得到动量值为p的概率．33.中子|n〉与反中子的质量都是μ，它们的态|n〉与可看成是一个自由哈密顿量的简并态

设有某种相互作用能使中子与反中子互相转变

其中α为实数．试求t=0时刻的一个中子在t时刻转变成反中子的概率．34.质量μ、荷电q的粒子在方向互相垂直的均匀电场ε和均匀磁场B中的运动，求能量本征值和本征函数．35.一维谐振子系统，设受到微扰的作用，求对第n个谐振子能级的一级微扰修正．36.试求，θ是一恒定的角度值．37.线性谐振子处在的状态(其中)，求发现振子概率最大的位置和动能的平均值?38.两个电子处在自旋单态，其中α，β分别是自旋算符的单粒子自旋态．

(1)试证明：χ(00)是算符σ1·σ2的本征态(σ1，σ2分别是两个单电子的自旋算符)；

(2)如果测量一个电子的自旋z分量，得，那么，测量另一个电子的自旋的概率是多少?(写出你解答这个问题的理由)

(3)如果测量χ(00)态的一个电子的自旋Sy，测量结果表明它处在的本征态，那么再测量另一个电子自旋x分量，得到的概率是多少?(写出你解答这个问题的理由)39.由两个自旋为1的全同粒子组成的系统的哈密顿量为，其中分别是两个粒子的自旋算符，J实常量，求：系统的能级和能级简并度，以及系统的本征函数．40.自然单位制下，某粒子定态波函数为ψ(x)=π-1/4e-x2/2，已知该态下动能和势能平均值相等，求势能函数V(x)及能量本征值．41.已知某微观体系的力学量A有两个归一化本征态ψ1和ψ2，相应的本征值为a1和a2．力学量B也有两个归一化本征态，相应的本征值为b1和b2．两种本征态之间存在如下关系：

当对某个态测量A后得到α1，然后再测量B，接着再测A，试求第二次测A仍得到a1的概率42.两个自旋为1/2的粒子，在表象中的表示为其中，|αi|2是第i个粒子自旋向上的概率，|βi|2是第i个粒子自旋向下的概率．

(1)求哈密顿量的本征值和本征函数(V0为一常量)；

(2)t=0时，体系处于态α1=β2=1，α2=β1=0，求t时刻发现体系在态α1=β2=0，α2=β1=1的概率

分析：(1)已知奈件中的态表示是在非耦舍表象中的表达式，可验证(S1z，S2z)表象(4×4空间)的彼此正交归一的基矢并非全是待求哈密顿量的本征态，可将哈密顿量在非耦合表象中的矩阵表示出，通过久期方程求本征值和本征函数；(2)首先应求出t时刻体系的状态，再利用完备性关系不难求出概率．43.一个具有电偶极矩P的刚性转子被限制在平面上转动(如下图所示)，转子对于固定转轴的转动惯量为I．转动平面内有一均匀弱电场E．精确到E2时三个最低量子态的能量是多少?

44.量子力学刚性转子被约束在一平面内转动，它对转轴的转动惯量是I，并有电偶极矩μ(位于平面内)．转子放在一弱均匀电场ε中，电场位于转动平面内．将电场看成微扰，求能量修正值．45.两个无相互作用粒子具有相同的质量μ，在宽为a的一维无限深势阱中运动

(1)试写出体系4个最低能级的能量；

(2)试对下列情况的两粒子，分别求出4个最低能级的简并度：

(a)自旋为1/2的全同粒子；

(b)自旋为1/2的非全同粒子；

(c)自旋为1的全同粒子．46.考虑一个类氢原子：无自旋质量为μ的粒子在中心力场中运动，原子处于z方向均匀磁场中，哈密顿量可写为为角动量z分量，ωL正比于原子磁矩M．

(1)写出原子角动量各分量的期望值的时间演化方程；

(2)假设原子在t=0时刻处于2p轨道，的本征态，求t时刻波函数；

(3)接上问，原子角动量发生进动，求进动周期；

(4)接(2)问，在t时刻测量的可能值和相应概率是多少?

(5)接(2)问，时，测量的可能值和相应概率是多少?

注：本题可能用到的公式如下

球谐函数

在l=1时，算符表象的表示矩阵为47.质量为μ的粒子在三边长为a，b和c的矩形箱中运动，在箱中粒子所受势能等于零，而在箱外势能无限大，即

(1)求出体系的能量本征函数和本征值；

(2)当a=b=c=10-6m时，试问该体系有多少个状态具有小于1eV的能量．(1eV=1.6×10-19J)48.由三个自旋为的非全同粒子组成的系统的哈密顿量为

其中分别是三个粒子的自旋算符，A和B为实常量，求系统的能级和能级简并度．49.体系的哈密顿量，已知力学量Q表象中，有

其中E0和ε均为大于0的实数，且．

(1)求的本征值和本征矢．

(2)求的基态能量(二级近似)及态矢(一级近似)．

(3)求出该体系能级的精确值，这个与(2)问中的结果是呈什么关系?50.一质量为μ粒子被一δ势阱束缚，即V(x)=-λδ(x)，λ＞0．在t=0时，势阱突然关闭(消失)．计算t＞0时波函数的表达式(不必算出结果)．第1卷参考答案一.历年考点试题黑钻版1.参考答案：通常把无限远处为零的波函数描写的状态称为束缚态，一般地说，束缚态的能级是离散(分立)的，但不一定是定态，如：一维箱中粒子，是以一系列分立定态叠加而成的一般态．一般情况下，定态多属束缚态，但也可有非束缚态，如弹性散射中，入射粒子向各方向散射，粒子不局限在有限区域，但粒子可能处于能量本征态．2.参考答案：[解]第④种说法对，因为只有波函数满足薛定谔方程，态才是可能实现的，当ψ1(x，t)和ψ2(x，t)满足薛定谔方程时，ψ(x，t)也满足方程．3.参考答案：解：若质子是半径为R的带电球壳，则氢原子的势能为：

时，上述位势对点质子库仑势的偏离可看成微扰

微扰引起的基态能级改变为

注意到ΔE＞0，所以基态能级增高，即结合能减少，从物理上看，将点质子模型与球壳模型作一比较，会发现体系在后一种情形会附加一种排斥作用．由于氢原子体系靠吸引力结合，故非点电荷性质实际上削弱了体系的吸引作用，结果势必降低结合能．4.参考答案：[解]方法一：由于，所以

所以为非定态

方法二：定态波函数满足，由知或为常量，但是该题中，故为非定态．

方法三：给任一力学量(不显含时间)，考虑

而

由于所设力学量为任意力学量，故为非定态．5.参考答案：[解]根据位力定理，在定态中，而氢原子所以，故有

即6.参考答案：[解](1)在0→L盒子中，粒子处于基态，突然改变为0→2L后，其本征态为，粒子处在各态都有一定的概率，其概率幅为

当n=2时

当n≠2时

粒子处于基态的概率为

(2)从(1)问可知，如果n为偶数且不等于2时，跃迁到φn态概率为零；当n为奇数时，跃迁到φn态概率为因此有，最大，即粒子最可能处于态载φ2(x)．

(3)膨胀后，动量算符px的本征值可以从-∞到+∞连续取值，相应的本征函数为

题目要求的是，体系动量大小在p→p+dp和(-p)→-(p+dp)之间的概率之和，它是

其中

(4)在势阱两壁膨胀前后，体系的能量不可能相同，即体系能量不守恒从经典力学来看，外力移动势阱的两壁要做功，使体系的能量发生变化，用量子物理的观点来解释，若t=t0时，两壁移至±∞处，则体系的哈密顿算符为

显含时间t，故体系能量不守恒．7.参考答案：[解]首先将波函数归一化

归一化的波函数为

(1)在r0→r0+dr中的概率为

(2)在θ0→θ0+dθ中的概率为

(3)在φ0→φ0+dφ中的概率为

(4)在x0→x0+dx中的概率为

8.参考答案：[解]三维谐振子的波函数为

ψn1n2n3(r)=ψn1ψn2(y)ψn3(z)

基态为(n1n2n3)=(0，0，0)，第一激发态为(n1n2n3)=(1，0，0)、(0，1，0)、(0，0，1)，且

将x，y，z用球谐函数展开，重新组合可得lz的本征态

9.参考答案：[解]一维谐振子归一化本征态为：

任意非定态可表示为：

位置概率分布为|ψ(x，t)|2，考虑到，(m=0，1，2，…)，故：

而，所以

上式通过eiωtδ(δ=m-n为整数)依赖于时间，当t=2π/ω时，eiωtδ=ei2πδ=1，所以当t=2π/ω时，|ψ(x，t|2=ψ(x，0)|2，复原周期为T=2π/ω．10.参考答案：E＞V0的情况

薛定谔方程为

令，上述方程化简为

其解为

由x=0处波函数连续性条件得到

解得

由于，所以

又由于，所以

(2)E＜V0的情况

令，在x＞0区域内定态方程为ψ"-ρ2ψ=0，其解为

ψⅡ=D'e-ρx+Deρx

由公式，知

由于当x→∞时，ψⅡ=D'e-ρx+Deρx必须有界，可得D=0．所以jⅡ=0，即在x＞0区域概率流密度为零，于是有透射系数为零，反射系数为1．11.参考答案：4He原子中，核内包括两个质子、两个中子，核外有两个电子，因此它由偶数个费米子组成，是玻色子．3He有奇数个费米子组成，是费米子．极低温下，4He液体和3He液体表现出的极不相同的特性，来自于4He原子和3He原子不同的交换对称性．

常温下气体状态的4He和3He，原子之间距离足够远，不同原子波函数没有重叠，交换效应消失，不必考虑全同粒子的交换对称性，此时4He气体和3He气体的特性基本相同．12.参考答案：解：由题意知N=2nr+l=2，故有两种情况：nr=0，l=2，5重简并；nr=1，l=0，非简并，考虑到自旋，简并度加倍，即此能级是12重简并的，本征态为

这是非耦合表象中的基矢量．

微扰哈密顿量为

为求微扰引起的能级分裂，只需要在N=2子空间对角化．选择耦合表象来计算，耦合基是|2ljmj〉，对应的量子数如下

在耦合表象中，微扰哈密顿量为对角矩阵，相应矩阵元为

能级分裂图如下图所示．图中D表示简并度．

13.参考答案：[解]令，代入含时薛定谔方程可得

所以

解得：

取V(t)=V0cos(ωt)，则有

所以对于一维情况有

上式表明：外场的作用仅是给平面波提供一个受时间调制的相角．14.参考答案：[解]开始体系处于基态，根据位力定理，对于一维谐振子：

因此E0=〈H〉=〈T〉+〈V〉=2〈V〉=meω2〈x2〉

所以

对于谐振子，〈x〉=0，故

从基态到第一激发态所需能量为，由(1)式得

因此

15.参考答案：[解]Φljmj≡|ljmj〉为的本征态，本征值分别为

对于态：

(1)在一级近似下：

为L·S的本征态，对应的能量为

为L·S的本征态，对应的能量为

所以电子的能量与

(2)由题给公式：，所以

即

所以在态上的平均值为：

所以

在z方向均匀磁场中电子的能量改变为：(近似到一级)

故

即电子能量改变为16.参考答案：解：此题中应该不考虑自旋与轨道间相互作用

(1)

(2)显然自旋角动量与轨道角动量可以分离变量

令ψ=φ(r)χ，代入上式：

即：

解得：

17.参考答案：[解]由已知条件知

(1)考虑到，可变换为因为

而，故有对易，所以

因此的本征函数，本征值为

(2)考虑，同理先考虑．取，其中，则

式中(1，2，3)≡(x，y，z)．故有

因此，的本征函数，本征值为18.参考答案：解：设势阱为

则容易由定态方程解出单粒子态：

本征值为

相应的本征态为

自旋部分：

由于两粒子间无相互作用，体系的波函数为单粒子波函数的乘积，能量为单粒子能量之和．考虑全同粒子波函数要对称化，则

空间部分：

φS=φn(1)φn(2)，

对称：

反对称：

自旋部分：

对称态：

反对称态：

由体系为费米子系统，总波函数应反对称，只能是

ψA=φAχS或ψA(1，2)=φSχA

所以体系的本征态为

本征值为

当n=l=1时，能量最低为基态记为，无简并；

当n=1，l=2时，为第一激发态记为ψ1

为四重简并．19.参考答案：[解]由不确定关系，所以

取l2，lz的共同本征态，在此态下，

而

所以，即若取，则：，当|m|=l时与不确定关系矛盾；若取，则：对任何m值都成立．

显然，当m=±l时，上式中等号成立；否则，等号不成立．20.参考答案：[解]在σz表象中，哈密顿量表示为：

设t＞0时体系的自旋波函数为

代入含时薛定谔方程得到

结合(1)式和(3)式可得

其中令a(t)=c1(t)e-iωt/2，b(t)=c2(t)eiωt/2，代入(4)式和(5)式可得

令f(t)=c1(t)+c2(t)，g(t)=c1(t)-c2(t)，(6)式和(7)式相加或相减可得

解得

由初始条件，可得a(0)=0，b(0)=1．即c1(0)=0，c2(0)=1，所以

f(0)=1，g(0)=-1

(12)

因此

故有t＞0时刻波函数为

t＞0时粒子自旋沿z轴正向的概率为

21.参考答案：证明：本题是量子力学中的两个定理，证明中要用到

由，得

证毕．

补充三维情况：

由于，，所以

对于定态，，所以在定态下有

22.参考答案：[解](1)粒子出现在V2基态的概率为：

(2)当弹性系数加倍后，粒子在时刻t处于V2各偶宇称态的叠加态：

当弹性系数忽然恢复时，处在V1的基态的概率为

显然，只要|Cn|2前系数的相因子一致，上式就等于1，即，从而

23.参考答案：解：根据已知条件，微扰哈密顿量为

其中为电子偶素的总自旋．

未微扰时，基态能量为

其中

是四度简并的，4个简并的波函数记做

φ1=ψ100χ11,φ2=ψ100χ10，φ3=ψ100χ1-1，φ4=ψ100χ00

在简并的态之间的微扰矩阵元

这是因为4个总自旋的本征态相互正交，它们都是的本征态，即微扰矩阵为对角矩阵，因此简并微扰可以用非简并微扰论来处理，对角元素就是能量一级修正．

考虑到微扰哈密顿量自旋部分与总自旋z分量无关，所以对自旋三重态，一级修正能量都相同，均为

对自旋单态

自旋三重态能量高于自旋单态的能量，它们之间的能量差为

将(3)式代入上式可得

24.参考答案：解：中子自旋为，为费米子，体系的单粒子空间波函数为

单粒子自旋波函数为

(1)由于不考虑自旋相关力，两粒子波函数可看成空间部分与自旋部分乘积．自旋波函数取为的本征态：

S=0为自旋单态，对粒子交换反对称；S=1为自旋单态，对粒子交换对称，空间波函数亦可对称化与反对称化：

总波函数为：

对应的能量为：

对于基态：n=m=1，空间波函数对称，自旋必是单态

(2)对于基态：

微扰V(x1，x2)=Dδ(x1-x2)与自旋无关，只考虑空间部分即可

基态能量为：25.参考答案：解：二维谐振子对应的能级为：，n1、n2=0，1，2，…基态为：|00〉；第一激发态为|10〉或|01〉；第二激发态为|20〉，|11〉或|02〉

(1)取

现计算在简并3×3子空间中H'的矩阵元：

(利用了波函数和算子的宇称特性，在宇称下坐标和动量均为奇算符)

考虑到：

所以：

故

所以

考虑到的厄米性，可得在简并子空间的矩阵为

(2)零级近似波函数可表示为：

满足久期方程为：

能级3重简并完全解除．

(a)对于，可得：

所以，联系归一化条件可得

(b)同理对于，可得：

(c)对于，可得：

所以一级修正值及对应的零级波函

简并完全解除．26.参考答案：解：方法一：在动量表象中将哈密顿量化为标准形式，然后给出结果．

取显然变换不改变量子化条件(坐标和动量的对易关系)，上式改为

在动量表象中

所以新哈密顿量的能级为

故能级改变为

方法二：利用Hellmann-Feynman定理求解．

令φn为的属于本征值En的本征态，根据Hellmann-Feynman定理可得

因为，所以

故有

由(6)式和(8)式可得

因为，因此(9)式积分可得能量的改变量为

27.参考答案：解：粒子在半径为R的圆环上运动，可视为绕垂直于四个质点所在平面的轴转动的转子，其哈密顿量为

其中转动惯量I=4μR2．则薛定谔方程为

解得：

(1)若粒子可分辨，则有周期性连接条件ψ(φ+2π)=ψ(φ)，结合(3)式可得

m=0，±1，+2，…

故能量本征值为

(2)若四个粒子不可分辨，体系具有的旋转对称性，此时连接条件为，所以m=4n，n=0，±1，±2，…，能量本征值为

28.参考答案：解：一维线性谐振子哈密顿量在能量表象下为对角矩阵，即

因为

而，所以在该态下能量平均为：

下面计算，由于

所以

同理：可求出29.参考答案：解：二重简并，各微扰矩阵元计算如下：

同理：

所以

因为为力学量，a、b为实数，故求的本征值即可．

所以

故能量修正为30.参考答案：解

图1

图2

本征值为

本征值对于本征态：

本征值对于本征态：

对于SG(Ⅱ)测量前体系状态为，可将用S·n的本征态来展开

而两束的相对数目之比即为概率之比，因总数目一定，所以

31.参考答案：[解]由一般不确定关系

取，对于任意波函数f有

故

代入(1)式得：，即．当，则

所以φ完全不确定．32.参考答案：[解]t=0时电子处于氯原子基态：，其中a0为玻尔半径．

t＞0时电子哈密顿量，p为守恒量，有共同本征态

将ψ(r，θ，φ)用展开

所以

因动量为守恒量，故|Cp(t)|2=|Cp(0)|2，因此t＞0时测量电子动量p的概率为：

33.参考答案：解：取表象，基矢为|1〉=|n〉与

体系哈密顿量表象的矩阵元计算如下

因为的本征态|ψ〉在表象可表示为

则定态方程为的矩阵表示为

解得

系统在t时刻波函数可由其本征态的叠加表示出，即

其中

因此

故有t时刻转变成反中子的概率为

34.参考答案：解：设电磁场分别为ε=(ε，0，0)，B=(0，0，B)

(1)

取电磁场的标、矢势为

满足关系

取守恒量完全集为，它们的共同本征函数可以写成

其中Py和Pz为本征值，可取任意实数．ψ(x，y，z)满足能量本征方程

因此ψ(x)满足方程

亦即，对于ψ(x)来说，H和下式等价：

其中

(6)式相当于一维谐振子能量算符

再加上两项常数，因此，本题能级为

其中Py，Pz为任意实数，n=0，1，2，…．

(4)式中ψ(x)为以(x-x0)为变量的一维谐振子的能量本征函数，即

ψ(x)=ψn(x-x0)=Hn(ε)e-ξ2/2

(9)

其中Hn(ξ)为厄米多项式，35.参考答案：解：微扰哈密顿量可以改写成坐标的形式．

未微扰系统的哈密顿量写为

由位力定理可知：

因为

所以能级一级修正为

由上题可得

36.参考答案：[解]

方法一：令

由(3)式得

根据初始条件

可得

结合(5)式、(1)式、(4)式可得结果．

方法二：利用公式：

方法三：利用旋转算符特征，利用绕y轴旋转矩阵求解

因绕z轴旋转矩阵为

经轮换可得

故

37.参考答案：[解]，根据得到

即x=0为概率最大的位置．

动能的平均值为

计算中运用了积分

另解：由题所给状态为定态，与定态函数比较可得，由位力定理知，38.参考答案：[解]

(1)证明

因为

对于自旋单态χ00，S=0，故σ1·σ2χ00=-3χ00，证毕．

(利用了χ00是S2的本征值为0的本征态)

(2)0，因为两个电子不能同处于

(也可通过直接计算[α(1)α(2)]+χ00=0得到结论)

(3)取表象，对应于本征值为的态为对应于本征值为的态为

体系状态为二者直积：

概率为：，主要是计算标积因为：

所以39.参考答案：[解]对于自旋为1的粒子

的属于本征值的本征态为

由上述表达式容易证明：

(1)两自旋为1的粒子在非耦合表象中的力学量完全集为，本征态为

α(1)α(2)，β(1)β(2)，γ(1)γ(2)，α(1)β(2)，β(1)α(2)

β(1)γ(2)，γ(1)β(2)，α(1)γ(2)，γ(1)α(2)

(2)两自旋为1的粒子在非耦合表象中的力学量完全集本征态可由(1)问中9个态线性叠加表示出来令总自旋S量子数为S，则由角动量耦合理论可得

S=S1+S2，S1+S2-1，…，|S1-S2|，S=2，1，0

(2)

总自旋z分量的量子数ms及的共同本征态及简并度为

S=2:ms=2，1，0，-1，-2；本征态记做χ2ms，5重简并

S=1:ms=1，0，-1；本征态记做χ1ms，3重简并

S=0:ms=0；本征态记做χ00，非简并

考虑到，所以体系的能级为

能级列表如下：

(3)下面求解本征态的具体表达式

通过全同粒子的波函数的对称化规则和(1)式容易得到：

χ2m和χ00为对称波函数；χ1m为反对称波函数．

具体表达式如下：

40.参考答案：[解]由题意，波函数在无穷远处为零，所以该定态问题为束缚态问题则动能为

因此，总能为

定态波函数满足定态薛定谔方程，所以有(自然单位制)

代入波函数可得

结合(2)式和(4)式可得

转化为国际单位制，则有

显然为一维谐振子势场，势能对应的能量本征值为

41.参考答案：[解]

由已知条件可将B的本征态用A的本征态来表示如下：

在某个态测量A得到a1后塌缩到ψ1中测量B，可能测值为b1和b2，对应的概率分别为此时体系处于B的

由(1)式知在中测量A可能值为a1的概率是．因此，第二次测量A仍得到a1的概率为42.参考答案：[解](1)表象中基矢为：

χ1=α(1)α(2)=|++〉，χ2=α(1)β(2)=|+-〉

χ3=β(1)α(2)=|++〉，χ4=β(1)β(2)=|+-〉

利用可得：

故：χ1，χ4已经是的本征态，本征值为0．在χ2，χ3子空间中：

本征态可表为χ2，χ3的叠加：

φ=c2χ2+c3χ3

(3)

由久期方程可得：本征值为±V0．结合归一化条件可得：

V0对应本征函数为：

-V0对应本征函数为：

(2)利用，结合可得

利用(4)式和(5)式可将ψ(t)改写为非耦合表象的基矢的线性叠加(完备性)：

故处于α1=β2=0，α2=β1=1态，即χ3的概率为

43.参考答案：解：自由转子的转动惯量为

其本征值和本征函数容易解出

加上均匀电场后，转子与电场的作用能为

由于电场很弱，可将它看成微扰，微扰哈密顿量的矩阵元为

设

作展开

利用H'矩阵元表达式以及|m〉的正交性，易得

再设

则得各阶微扰方程：

假设考虑的能级为，则由零级方程得

上式代入一级方程得

n=±k时得出E(1)=0

n≠±k时得出

上式代入二级方程得

取n=k，给出

对于基态，k=0，，有

所以

对于第一激发态，k=±1，，有

这样得方程

解久期方程，得到

对于第二激发态，k=±2，，有

所以

于是，修正到二阶的结果如下：

基态：

第一激发态

第二激发态44.参考答案：解：无外场作用时，，本征方程为

解得

微扰哈密顿量为(选x方向为ε方向)

能量一级修正为E(1)=0

能量二级修正为

45.参考答案：解：一维无限深势阱粒子波函数：

两粒子(无相互作用)时：

(1)基态：

第一激发态：n=1，m=2或者n=2，m=1：

第二激发态：

第三激发态：n=1，m=3或者n=3，m=1；

(2)(a)两自旋为1/2的全同粒子

空间波函数为

对称：

反对称：

自旋部分：

基态：n=m=1，，无简并

第一激发态：简并度为4

第二激发态：n=m=2，，无简并

第三激发态：简并度为4(b)两自