河北省保定市易水中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

河北省保定市易水中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，，

所以球的半径为：．

所以球的体积为：故选A．

2.右图是一个几何体的三视图，则该几体的侧面积是（

）A．12

B．18

C．24

D．30参考答案：D略3.函数对任意的，都有，若函数，则的值是(

)A．1

B．－5或3

C．－2 D．参考答案：C4.如图，大正方形的面积是13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形．直角三角形的较短边长为2．向大正方形内投一飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：A5.定义在R上的奇函数f(x)为减函数,设a+b≤0,给出下列不等式：①f(a)f(-a)≤0；②f(b)f(-b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)；④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)．其中正确的不等式序号是

A．①②④

B．①④

C．②④

D．①③参考答案：B对于函数单调性的判断一般是用定义或图象进行论证判断,而采用特殊函数进行巧解则可增加破解的直观感和正确性,从而增加了解题乐趣,如取f(x)=-x,逐项检查可知①④正确,因此选B.6.已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣3 B． C．5 D．6参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，﹣1）．化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为5．故选：C．7.设全集，集合，，则为A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是

A．3x＋2y－1＝0

B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0

D．2x－3y＋8＝0参考答案：A9.一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，则摸出的两个都是白球的概率是（） A． B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计． 【分析】从中一次摸出两个球，先求出基本事件总数，再求出摸出的两个都是白球，包含的基本事件个数，由此能求出摸出的两个都是白球的概率． 【解答】解：一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球， 从中一次摸出两个球，基本事件总数=10， 摸出的两个都是白球，包含的基本事件个数m==3， ∴摸出的两个都是白球的概率是p==． 故选：B． 【点评】本题考查摸出的两个球都是白球的概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 10.如图，是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质“，且，恒成立”的为（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】设，根据恒成立可得与点的位置关系，从而可得正确的选项.【详解】设，则，表示线段上的点（除端点外），因为恒成立，所以点始终在下方，所以函数的图像是下凸的，故选A.【点睛】在坐标平面中，对于上的可导函数，若，时，总有成立，则函数的图像是向下凸的（即函数的导数是增函数）.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.参考答案：12.已知向量=（﹣3，2），=（﹣1，0），且向量与垂直，则实数λ的值为

．参考答案：考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由向量的基本运算可得与的坐标，再由向量垂直的充要条件可得其数量积为0，解之即可．解答： 解：由题意=（﹣3λ﹣1，2λ），=（﹣1，2）∵与垂直，∴=（﹣3λ﹣1）（﹣1）+2λ×2=7λ+1=0，解得，故答案为：点评：本题为向量的基本运算，掌握向量垂直的充要条件为其数量积为0是解决问题的关键，属基础题．13.函数的定义域为_________.参考答案：(0,5]略14.若变量x，y满足约束条件则（x+3）2+（y﹣）2的最小值为

．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：则（x+3）2+（y﹣）2的几何意义是可行域内的点与（﹣3，）距离的平方，由可行域可知A与（﹣3，）距离取得最小值，由．解得A（﹣1，），则（x+3）2+（y﹣）2的最小值为：（﹣1+3）2+（﹣）2=4．故答案为：4．【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合思想的应用．15.对实数a、b定义一个运算：，设函数（），若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是

．参考答案：由可得：，则：.据此有：.当时，x-x2=-2,当时，.函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点等价于函数y=f(x)与y=c的图象有两个交点.如图所示：函数y=c在和之间及y=-2以下与函数f(x)有两个交点.据此可得：实数的取值范围是

16.已知点在直线上，点在直线上，中点为，且的取值范围为

.参考答案：略17.若复数

(为虚数单位)，则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

某公司在开发的初级阶段大量生产一种产品。这种产品是否合格要进行、两项技术指标检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的产品为合格品.（1）任意依次抽出5个产品进行检测，求其中至多3个产品是合格品的概率是多少;（2）任意依次抽取该种产品4个，设表示其中合格品的个数，求与.参考答案：（本小题满分12分）解：（1）设、两项技术指标达标的概率分别为、由题意得：

解得：或，∴.

即，一个产品经过检测为合格品的概率为任意抽出5个产品进行检查，其中至多3个产品是合格品的概率为

（2）依题意知～B(4,)，，略19.已知函数g（x）=ex（x+1）．（1）求函数g（x）在（0，1）处的切线方程；（2）设x＞0，讨论函数h（x）=g（x）﹣a（x3+x2）（a＞0）的零点个数．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，即可求函数g（x）在（0，1）处的切线方程；（2）h（x）=g（x）﹣a（x3+x2）=0，可得a=，确定函数的单调性，可得函数的极小值，即可得出结论．【解答】解：（1）g′（x）=ex（x+2），g′（0）=2，∴函数g（x）在（0，1）处的切线方程为y﹣1=2x，即l：y=2x+1（4分）（2）h（x）=g（x）﹣a（x3+x2）=0，可得a=，设y=，则y′=，函数在（0，2）上单调递减，（2，+∞）上单调递增，∴x=2函数取得极小值，∴，零点1个；

，零点2个；，零点0个

（8分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性的运用，属于中档题．20.【选修4—4：坐标系与参数方程】已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（I）将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（II）圆、是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.参考答案：解：（I）由得x2＋y2＝1， 又∵ρ＝2cos(θ＋)＝cosθ－sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－ρsinθ.∴x2＋y2－x＋y＝0，即 （II）圆心距，得两圆相交 由得，A(1,0)，B， ∴|AB|＝＝略21.已知椭圆C：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆C于不同的两点A、B，且（O为坐标原点）.（1）求椭圆C的方程.（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.参考答案：（1）由题意可知，所以，整理，得，①又点在椭圆上，所以有，②由①②联立，解得，，故所求的椭圆方程为.（2）为定值，理由如下：设，，由，可知.联立方程组，消去，化简得