广东省汕头市井都中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

广东省汕头市井都中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，sinB＝2sinC，则△ABC的面积是

A．

B．

C．

D．参考答案：A2.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A． B． C． D．参考答案：A3.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC的体积为

A．

B．

C．

D．参考答案：4.（5分）已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下四个结论中正确的个数为（）①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；

②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n． A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个参考答案：B考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．专题： 空间位置关系与距离．分析： 利用线面平行、面面平行以及线面垂直、面面垂直的性质对选项分别分析解答．解答： 对于①，若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n或者异面；故①错误；对于②，若m∥α，n⊥β，且α⊥β，利用线面平行、线面垂直的性质，可得m与n平行或异面；故②不正确；对于③，若m⊥α，n∥β，且α∥β，利用线面平行、线面垂直，面面平行的性质，可得m⊥n；正确对于④，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用线面垂直、面面垂直的性质可得m⊥n．正确故正确的有2个；故选B．点评： 本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直以及面面垂直的性质，熟练掌握定理是解答的关键．5.已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（

）A. B.1 C.2 D.4参考答案：C【分析】由可得，利用可得结果.【详解】当时，，因为函数在区间上单调递增，正弦函数在上递增，所以可得，解得，即的最大值为2，故选C．【点睛】本题主要考查正弦函数单调性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6.已知函数满足,且，则不等式的解集为（

）参考答案：B略7.函数＞，且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于A.16 B.12 C.9 D.8参考答案：D令，得，此时，所以图象过定点A,点A在直线,所以，即.，当且仅当，即时取等号，此时，选D.8.已知非零向量满足０，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.若函数（，且）的定义域和值域均为，则a的值为（

）A.或4 B.或C.或8 D.或16参考答案：B【分析】分和讨论，利用函数单调性根据定义域求出值域即可分析出的值.【详解】由题意有，①当时，，有，得，解得，由，解得；②当时，，有，得，解，代入，解得.故选B【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，值域，分类讨论的思想，属于中档题.10.在下列函数中，图象关于原点对称的是（

）

A．y=xsinx

B．y=

C．y=xlnx

D．y=参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，为⊙的直径，切⊙于点，且过点的割线交的延长线于点，若，，则________，________．参考答案：

12.已知，则的最大值为

。参考答案：13.设有两个命题、，其中命题对于任意的，不等式恒成立；命题在上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是

．参考答案：14.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AB，A1D1上的点，PQ⊥AC，则PQ与BD1所成角的余弦值得取值范围是． 参考答案：[，1]【考点】异面直线及其所成的角． 【专题】空间角． 【分析】由题意画出图形，根据P，Q分别是棱AB，A1D1上的点，且PQ⊥AC，得到当P与B重合，Q与D1重合时PQ与BD1所成角最小为0°，当P与A重合，Q与A1重合时PQ与BD1所成角最大，为图中的∠B1BD1，设出正方体棱长通过解直角三角形求得角的余弦值，则PQ与BD1所成角的余弦值得取值范围可求． 【解答】解：如图， ∵P，Q分别是棱AB，A1D1上的点，且PQ⊥AC， ∴当P与B重合，Q与D1重合时，满足PQ⊥AC， 此时PQ与BD1重合，所成角最小，所成角的余弦值最大为1， 当P与A重合，Q与A1重合时，此时AA1在平面BB1D1D上的射影与BD1所成角最大， 即PQ与BD1所成角最大，也就是图中的∠B1BD1． 设正方体的棱长为a，则，， ∴． ∴PQ与BD1所成角的余弦值得取值范围是[，1]． 故答案为：[，1]． 【点评】本题考查异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．15.已知函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，令h（x）=f（1﹣|x|），则关于函数h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；

②h（x）的图象关于y轴对称；③h（x）的最大值为0；

④h（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】图象关于直线y=x对称，利用反函数求出h（x）=log2（1﹣|x|），为偶函数，根据偶函数的性质和对数函数性质可进行判断．【解答】解：函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=log2x，h（x）=log2（1﹣|x|），为偶函数，∴①错误；②h（x）的图象关于y轴对称，故正确；根据偶函数性质可知④错误；∵1﹣|x|≤1，∴h（x）=log21=0，故③正确．故答案为②③．【点评】考查了反函数的性质，偶函数，对数函数的性质，属于基础题型，应熟练掌握．16.如图，点P为⊙O的弦AB上一点，且AP=16，BP=4，连接OP，作PC⊥OP交圆于C，则PC的长为

．参考答案：8考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：由已知得PC2=AP?PB=16×4=64，由此能求出PC的长．解答： 解：∵点P为⊙O的弦AB上一点，且AP=16，BP=4，连接OP，作PC⊥OP交圆于C，∴PC2=AP?PB=16×4=64，∴PC=8．故答案为：8．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相交弦定理的合理运用．17.用max表示中两个数中的最大数，设max，，那么由函数的图像、轴、直线和直线所围成的封闭图形的面积是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明：直线与轴相交于定点；

（III）在(Ⅱ)的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围.

参考答案：(Ⅰ)（Ⅱ）略（III）解析：（I）由题意知而以原点为圆心，椭圆短半轴为半径的圆的方程为，故由题意可知故椭圆C的方程为

……3分

（II）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由……①

……4分设点，则，直线的方程为，令得，将代入整理得，得

②

……5分由①得，代入②整得，得所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）

……7分

（III）①当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，解得，此时；

…8分②当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为,且在椭圆上，由得，计算得，，所以则……10分因为，所以，.所以的取值范围是.

……12分

略19.（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，

是线段的中点

（1）证明：（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

参考答案：（1）连接由底面为矩形，是的中点，可知（2分）（5分）（2）、以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，（6分）

（7分）设平面的法向量为由可得（9分）又平面是平面的一个法向量，,

（10分）所求二面角的余弦值为

（12分）20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，BC⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD，点E、F分别为AD、CP的中点，AD=AB=2CD=2．（Ⅰ）证明：直线EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取BC中点M，连结EM，FM，推导出EM∥平面PAB，FM∥平面PAB，从而平面EFM∥平面PAB，由此能证明EF∥平面PAB．（Ⅱ）连结PE、PM，推导出PE⊥BC，EM⊥BC，从而BC⊥平面PEM，进而平面PBC⊥平面PEM，过点E作EH⊥PM于点H，连结FH，则EH⊥平面PBC，直线EF与平面PBC所成角为∠EFH，由此能求出直线EF与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点M，连结EM，FM，∵点E、F分别为AD、CP的中点，∴EM∥AB，FM∥PB，∵EM?平面PAB，AB?平面PAB，∴EM∥平面PAB，∵FM?平面PAB，PB?平面PAB，∴FM∥平面PAB，∵EM∩FM=M，EM、FM?平面PEM，∵平面EFM∥平面PAB，∵EF?平面PEM，∴EF∥平面PAB．解：（Ⅱ）连结PE、PM，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，PE⊥BC，∵EM⊥BC，∴BC⊥平面PEM，∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEM，过点E作EH⊥PM于点H，连结FH，由平面PBC⊥平面PEM，得EH⊥平面PBC，∴直线EF与平面PBC所成角为∠EFH，在直角三角形PEC中，EF=PC=，在直角三角形PEM中，EH=，∴sin==．∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(Ⅰ)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,,求F(2)+F(-2)的值；(Ⅱ)若a=1,c=0,且在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围。参考答案：解：（1）由已知：c=1,a-b+c=0,-b/2a=-1,,a=1,b=2,f(x)=(