湖北省恩施市咸丰县民族中学2021年高三数学理联考试题含解析

湖北省恩施市咸丰县民族中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在R上的函数满足，且当0≤x1<x2≤1时，有，则的值为

（

）Ks5uA．

B．

C．

D．参考答案：Ｂ略2.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1=1，，则的值为(

)A． B． C． D．4参考答案：A【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据首项等于S1，得到首项的值，利用等差数列的前n项和公式化简，即可求出公差d的值，然后再利用等差数列的前n项和公式化简所求的式子，把求出的首项和公差代入即可求出值．【解答】解：由S1=a1=1，，得到=4，解得d=2，则===．故选A【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．3.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3 B．20cm3 C．30cm3 D．40cm3参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．4.（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】：等比数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．解：设等比数列{an}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故选C．【点评】：熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．5.设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心且经过点A的圆与L交于B，D两点，若∠ABD=90°，|AF|=2，则p=（） A．1 B． C． 2 D． 参考答案：略6.已知公差不为零的等差数列等于

A．4

B．5

C．8

D．10参考答案：A由得，即。所以，所以,选A.7.设集合，若集合只有一个子集，则的取值范围是（

）A. B.

C.

D.参考答案：B略8.为确保信息安全，信息需加密传输，传送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3b，4d例如：明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16，当接受方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为A．1，6，4，7

B．4，6，1，7

C．7，6，1，4

D．6，4，1，7参考答案：D9.下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是A．B． C．

D．参考答案：D10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”，其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（

）A.6里 B.12里 C.24里 D.48里参考答案：B【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．【详解】记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：C．【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知.且数列是一个单调递增数列，则的最大值是

；参考答案：12.运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是____________。参考答案：略13.双曲线的离心率为

，渐近线方程为

.参考答案：，14.在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，为圆的直径，弦、交于点，若，，则_____.（不作近似计算）参考答案：略16.在（1﹣x）11的展开式中系数最大的是第

项．参考答案：7【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，求出正的系数，选出最大值．【解答】解：由题意，（1﹣x）11的展开式中系数时最大，即第7项．故答案为：7．17.设直线系,对于下列四个命题：

．中所有直线均经过一个定点

．存在定点不在中的任一条直线上

．对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上

．中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是

（写出所有真命题的代号）．参考答案：B,C三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(13分)某同学参加语文、数学、英语3门课程的考试.假设该同学语文课程取得优秀成绩的概率为,数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m,n(m>n),且该同学3门课程都获得优秀成绩的概率为,该同学3门课程都未获得优秀成绩的概率为,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率.(2)记ξ为该生取得优秀成绩的课程门数,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).参考答案：设事件Ai表示:该生语文、数学、英语课程取得优秀成绩,i=1,2,3.由题意可知P(A1)=,P(A2)=m,P(A3)=n.(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“该生3门课程都未获得优秀成绩”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P(ξ=0)=1-=……………..6分(2)由题意可知,P(ξ=0)=P(··)=(1-)(1-m)(1-n)=.P(ξ=3)=P(A1·A2·A3)=mn=.又m>n,解得m=,n=.P(ξ=1)=P(A1··+·A2·+··A3)=.P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=.∴ξ的分布列为ξ0123P所以数学期望E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=………13分19.已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值范围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x2g′（x）0﹣0+

g（x）﹣3递减极小值递增1由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，所以a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞）．20.选修4－1：几何证明选讲如图，内接于⊙，是⊙的直径，是过点的直线，且.

（1）求证：是⊙的切线；

（2）如果弦交于点，，

，，求直径的长.参考答案：（1）证明：为直径，，,为直径，为圆的切线.

……………4分（2）,

,连DB,由∽.

……6分连AD,由∽.在，中，，，于是有=，，.

……………10分略21.已知椭圆的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为．（1）求椭圆的方程；（2）是椭圆的左右顶点，是椭圆上任意一点，椭圆在点处的切线与过且与轴垂直的直线分别交于两点，直线交于,是否存在实数，使恒成立，并说明理由．参考答案：（1）;（2）.

试题解析：（1）由题意，解得，故椭圆的方程为（2）设切线方