【数学】充分条件与必要条件学案 2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一数学《精品教学案》专心听讲，勤于思考。《精品教学案》及时复习，认真完成。章节1.4.1课题充分条件与必要条件教学目标1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．3．让学生体会充分条件与必要条件在表达数学命题和论证数学结论中的作用，从而培养他们的逻辑推理能力和数学运算的核心素养．教学重点充分条件、必要条件的判断与探求．教学难点会根据充分条件与必要条件求参数的范围．【新知探究】命题、真命题、假命题的含义1．用语言、符号或式子表达的,可以的陈述句叫作命题,其中的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.2.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的，q称为命题的.本节主要讨论这种形式的命命题.二、充分条件、必要条件的定义3.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题?哪些是假命题?(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形;(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等;(3)若x2-4x+3=0，则x=1;(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a//b.一般地，“若p，则q”为真命题，是指.这时，我们就说，由p可以推出q，记作，并且说，p是q的条件，q是p的条件．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作，此时，我们就说p不是q的条件，q不是p的条件．对充分条件的理解(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论．(2)只要具备此条件就足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立，例如，x＝6⇒x2＝36.但是，当x≠6时，x2＝36也可以成立，“x＝－6”也是“x2＝36成立”的充分条件．对必要条件的理解“q是p的必要条件”的理解：若有p，则必有q；而具备了q，不一定有p.两点说明p是q的充分条件即充分条件是，q是p的必要条件即必要条件是．p不是q的充分条件即p是q的条件，q不是p的必要条件即q是p的条件．三、判定定理与充分条件的关系思考：命题“若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形”给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件是“四边形的两组对角分别相等”。这样的充分条件唯一吗?如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗?事实上，下列命题均为真命题①若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；②若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形； ③若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形。所以，“四边形的”“四边形的”“四边形的”都是“四边形是平行四边形”的充分条件。而命题①②③均是平行四边形的判定定理。一般地，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．四、性质定理与必要条件的关系思考：命题“若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等”给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件是“这个四边形的两组对角分别相等”。这样的必要条件唯一吗?如果不唯一，那么你能再给出几个不同的必要条件吗?④若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；⑤若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等； ⑥若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分。所以，“四边形的”“四边形的”“四边形的”都是“四边形是平行四边形”的必要条件。而命题④⑤⑥均是平行四边形的性质定理。一般地，对给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．【典型例题】例1.下列命题中，p是否是q的充分条件？(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0；(4)p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根；(5)设x∈R，p：x＞3，q：|x－1|＞2.eq\a\vs4\al([方法技巧])1．定义法判断充分条件的步骤(1)分清“条件p”与“结论q”；(2)判断条件p能否推出结论q；(3)下结论.2．集合法判断充分条件已知A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}．若A⊆B，则p是q的充分条件．变式训练（多选题）使0＜x＜3成立的一个充分条件是()A．2＜x≤3B．0≤x＜1C．0＜x≤2 D．1＜x＜2例2.下列命题中，p是否是q的必要条件？(1)p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：x＞2，q：|x|＞2；(4)p：m－n＝0，m，n∈R，q：eq\f(n,m)＝1，m，n∈R.eq\a\vs4\al([方法技巧])1．定义法判断必要条件的步骤(1)分清“条件p”与“结论q”；(2)判断结论q能否推出条件p；(3)下结论.2．集合法判断必要条件已知A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}．若B⊆A，则p是q的必要条件．变式训练（多选题）不等式0＜x＜2成立的一个必要条件是()A．0＜x＜1B．x≥－1C．0＜x≤3D．1＜x＜3例3.是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x＞2，或x＜－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，请说明理由．eq\a\vs4\al([方法技巧])利用充分条件与必要条件求参数的取值范围问题，常用集合法求解．(1)化简集合A＝{x|p(x)}和B＝{x|q(x)}．(2)根据p与q的关系(充分条件、必要条件等)，得出集合A与B之间的包含关系．(3)列出相关不等式(组)(也可借助数轴)，解得参数的取值范围．变式训练已知条件p：1－x＜0，条件q：x＞a.若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．【达标检测】A组1.给出下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中可以为－1＜x＜1的充分条件的所有序号为()A．①B．②③④C．②D．①③2.已知p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为()A．{m|m＞4}B．{m|m＜4}C．{m|m≤4}D．{m|m≥4}3.设α：0≤x≤1，β：x＜2m－1或x＞－2m＋1，m∈R，若α是β的充分条件，求实数m的取值范围．B组4.(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1C．若eq\r(x)＝eq\r(y)，则x＝y D．若x＜y，则x2＜y25.已知集合A＝{x|－1＜x＜1}，集合B＝{x|－a＜x－b＜a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅