隐函数的存在性(北工大)

第一节隐函数的存在性第二节函数行列式第三节条件极值第四节隐函数存在定理的几何应用第一节隐函数的存在性一、隐函数的概念二、一个函数确定的隐函数三、方程组确定的隐函数一、隐函数的概念1.例题例1

二元方程解得几何意义是空间曲面与平面的单值交线.例2

二元方程通过方程对应两个.的变化范围或则对只对应唯一一个或几何意义:空间曲面与平面的两条单值交线.如果限定例3

二元方程即是否对通过方程对应唯一有例4

二元方程通过方程不存在对应的即方程不确定隐函数.一个1.定义1已知n+1个变量的方程若存在点的邻域G，有通过上面方程对应唯一2.隐函数的概念一个y,设则称n元函数是由方程所确定的隐函数。2.方程组确定的隐函数(组)例５方程组由方程组对应唯一一对与即与定义2

一般情况,n个变量m个方程(m<n)构成的不定方程组：若存在m个函数（１）（２）满足方程组（１），即则称函数组（２）是方程组（１）确定的隐函数组．二、一个函数确定的隐函数定理1若函数在以点为中心的矩形区域D（边界平行坐标轴）满足与在D连续(从而下列条件：在D连续);则：存在唯一一个（隐）函数

,使得在区间连续。

在区间有连续导数，且隐函数的求导公式且证明１）隐函数的存在性由条件３），由条件１），在点连续．由连续函数的保号性，存在以点为心的闭矩形区域且，有不妨假设特别地，当时，有一元函数在严格增加．又由条件２），有再考虑两个一元函数这两个一元函数在点连续，且满足(3)．（３）由连续函数的保号性，有令有由连续函数的介值性，在区间存在唯一一点，使得存在唯一的使是的函数，由唯一性，２)隐函数在区间连续对在点连续．考虑其中估计因为闭矩形区域G连续，且则在G有上界，在G有非零的下界．即有则在连续，在连续．３）隐函数在区间有连续导函数．由（４）式有取极限所以存在，且在区间连续．证明步骤方法:(1)证明对存在唯一的与之对应．(2)对(3)求极限？注１.定理１的条件是充分．方程在点不满足条件３）（），但是能确定唯一的连续函数．定理结论的简单表述：则存在点的邻域，在存在唯一一个有连续导数的隐函数使且定理2若函数在以点为中心的矩形区域G满足在G连续，下列条件：且则存在点的邻域U,在U存在唯一一个有连续偏导数的n元（隐）函数使注：由于定理１的证明与区域D的维数无关，则可直接推广到定理２．例６验证二元方程在的某邻域确定唯一一个有连续导数的隐函数，并求例７求由三元方程确定的隐函数的偏导数．例８设方程，证明其确定一个隐函数，求其．解：

在平面内连续，且由定理可知，存在隐函数，且例９讨论笛卡尔叶形线所确定的隐函数的一阶与二阶导数．例10讨论方程在原点附近确定的二元隐函数及其偏导数．例11反函数的存在性与其导数的反函数的导数．讨论1.定理3

设与在点的某一邻域内G内满足下列条件：１）四元函数与的所有偏导数在G连续(从而在G连续)；２）三、方程组确定的隐函数３）行列式则存在点的邻域，在存在唯一与使且一组有连续偏导数的(隐)函数组证明

由条件３)，行列式在点不为零．则中至少有一个在点不为零．不防下面验证四元函数在点的邻域G满足定理2的条件，１)函数的所有偏导数在G连续,2)3)设易知这三个条件满足，由定理２，在点的某个邻域D存在唯一一个连续隐函数使函数的偏导数在邻域D连续．并且下面将函数代入四元函数中，并证明得到的函数满足定理２.设验证函数在点的邻域满足（５）１）函数的所有偏导数在D连续．因为已知在邻域D连续．则在邻域D连续．２）３）已知由（５）式，有由已知条件，有函数满足定理２的条件，则在点的某邻域存在唯一一个连续隐函数使且函数的偏导数在邻域连续．将代入中，设最后证明隐函数组与满足定理的要求．已知函数在连续，在连续，则在连续，即在连续，并代入函数中,有而且有已知函数的偏导数在邻域连续.在邻域连续,则在邻域也连续.证毕.推论若方程组的的邻域连续，且，在点行列式则在点的某邻域存在有连续偏导数的。反函数组所有偏导数在点证明函数组可改写为显然,函数的所有偏导数在点的邻域连续,且又有由定理3,在点的某邻域存在连续偏导数的反函数组证毕.2.隐函数组偏导数的求法设函数方程组确定了隐函数组有两边关于求偏导数.由此可解出例验证方程组在点的邻域满足定理３的条件，则在点的邻域存在唯一一组有连续偏导数的（隐）函数组，

，并求例验证方程组在点的邻域满足定理３的条件，在点的邻域存在唯一一组有连续导数的（隐）函数组与，并求将定理３推广到m+n个变量m个方程的一般情况定理４若m个函数在点的某个邻域G满足下列条件：１）函数