湖北省宜昌市长阳自治县民族高级中学2021年高三数学理联考试卷含解析

湖北省宜昌市长阳自治县民族高级中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是

（

）

A．27

B．63

C．15

D．31

参考答案：D略2.已知是虚数单位，则等于（

） A． B． C． D．参考答案：A3.已知向量，满足，且关于x的函数在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求导数，利用函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a?bx+7在实数集R上单调递增，可得判别式小于等于0在R上恒成立，再利用，利用向量的数量积，即可得到结论．【解答】解：求导数可得f′（x）=6x2+6||x+6，则由函数f（x）=2x3+3|a|x2+6a?bx+7在实数集R上单调递增，可得f′（x）=6x2+6||x+6≥0恒成立，即x2+||x+≥0恒成立，故判别式△=2﹣4≤0恒成立，再由，可得8||2≤8||2cos＜，＞，∴cos＜，＞≥，∴＜，＞∈[0，]，故选：C．4.已知方程在（0，+∞）有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）A． B．C． D．参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断；两角和与差的正切函数．【分析】利用x的范围化简方程，通过方程的解转化为函数的图象的交点问题，利用相切求出β的正切值，通过两角和的正切函数求解即可．【解答】解：，要使方程在（0，+∞）有两个不同的解，则y=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有两个公共点，所以直线y=kx与y=|sinx|在内相切，且切于点（β，﹣sinβ），由，，故选C．5.设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是(

)A． B． C． D．+1参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±x，分别与x﹣3y+m=0（m≠0）联立，解得A（﹣，﹣），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴c=b，∴e==．故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．6.已知集合的充要条件是

（

）

A． B．

C． D．参考答案：答案：C7.已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两点，为坐标原点．若，则双曲线的离心率为 （）A．

B．

C． D．参考答案：D8.若x，y满足约束条件，则的取值范围是A.(－∞,2]

B.[2,3]

C.[3,+∞)

D.[2,+∞)参考答案：D9.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：cm），则这个几何的表面积是（

）

A．

B．12

C．15

D．24参考答案：D略10.一个多面体的直观图和三视图如下，则多面体A－CDEF外接球的表面积是A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为虚数单位，复数的虚部是______.参考答案：212.如图，已知过椭圆的左顶点A(－a,0)作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q.，若△AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为＿＿＿＿参考答案：略13.设f（x）=，若f（f（4））=，则a=．参考答案：2【考点】5B：分段函数的应用．【分析】利用分段函数化简，由里及外列出方程求解即可．【解答】解：f（x）=，f（4）=0，f（f（4））=f（0）=1+=，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求解，考查计算能力．14.

(－)6的展开式中的常数项是

(用数字作答).参考答案：6015.关于的方程，给出下列四个命题：

①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数，使得方程恰有6个不同的实根;

⑤存在实数，使得方程恰有8个不同的实根．

其中真命题的序号是

（写出所有真命题的序号）.

参考答案：①②③⑤16.计算复数(1－i)2－＝____________参考答案：－4i17.若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+ex﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，）【考点】函数的图象．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，存在x＜0使f（﹣x）﹣g（x）=0，即ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零点，从而求解．【解答】解：若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+ex﹣（x＜0）图象上存在关于y轴对称的点，则等价为g（x）=f（﹣x），在x＜0时，方程有解，即x2+ex﹣=x2+ln（﹣x+a），即ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为：e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查函数与方程的应用，根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（，e为自然对数的底数），。（Ⅰ）若直线y＝x－1是函数f(x)图像的一条切线，求a的值；（Ⅱ）对于任意，f(x)>g(x)恒成立，求a的取值范围。参考答案：19.已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若在中，角的对边分别为，，为锐角，且，求面积的最大值．参考答案：略20.如图所示多面体中，⊥平面，为平行四边形，分别为的中点，，，.（1）求证：∥平面；（2）若∠＝90°，求证;（3）若∠＝120°，求该多面体的体积.参考答案：（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO，DO，可证FO∥ED，且FO=ED，所以四边形EFOD是平行四边形，从而可得EF∥DO，利用线面平行的判定，可得EF∥平面PDC；（Ⅱ）先证明PD⊥平面ABCD，再证明BE⊥DP；（Ⅲ）连接AC，由ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等，所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等，即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍．（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，∵F,O分别为BP，PC的中点，∴∥BC，且,又ABCD为平行四边形,∥BC，且,∴∥ED，且∴四边形EFOD是平行四边形

--------------------------------2分即EF∥DO

又EF平面PDC

∴EF∥平面PDC．

----------------------4分（Ⅱ）若∠CDP＝90°,则PD⊥DC，又AD⊥平面PDC

∴AD⊥DP,∴PD⊥平面ABCD,

-------------6分

∵BE平面ABCD，∴BE⊥DP

------------8分（Ⅲ）连结AC,由ABCD为平行四边形可知与面积相等，所以三棱锥与三棱锥体积相等，即五面体的体积为三棱锥体积的二倍.∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4又∠CDP＝120°PC=2，由余弦定理并整理得,

解得DC=2

-------------------10分∴三棱锥的体积∴该五面体的体积为

--------------------12分21.

已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．

（I）求椭圆的方程；

（II）设抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线与两点，过两点分别作抛物线的切线交于点，且点在椭圆上，求面积的最值，并求出取得最值时的抛物线的方程

参考答案：解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为…….6分（II）令

则抛物线在点A处的切线斜率为所以切线AQ方程为:同理可得BQ方程为:联立解得Q点为…8分焦点F坐标为(0,),令l方程为:代入：得:

由韦达定理有：所以Q点为…..10分过Q做y轴平行线交AB于M点，则M点为,

,……..12分而Q点在椭圆上,…..15分

略22.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE；（Ⅲ）若AB=1，求四棱锥C﹣ABED的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】（Ⅰ）取CE的中点G，连FG、BG，欲证AF∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面BCE内一直线平行即可，而AF∥BG，满足定理；（Ⅱ）证明AF⊥平面CDE，利用BG∥AF，可得BG⊥平面CDE，即可证明平面BCE⊥平面CDE；（Ⅲ）取AD中点M，连接CM，而CM⊥平面ABED，则CM为四棱锥C﹣ADEB的高，根据体积公式V=CM?SABED求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB=DE，∴GF=AB．∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE；（Ⅱ）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD

∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．

又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．