数学人教A版高中选择性必修一（2019新编）1-1-2 空间向量的数量积运算（教案）

空间向量的数量积【要点梳理】要点一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．2．空间向量数量积的性质设是非零向量，是单位向量，则①；②；③或；④；⑤3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（a）·b=（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．要点诠释：（1）对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，若不能得出，即向量不能约分．（2）若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．（3）对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，有，向量的数量积不满足结合律．要点二、空间两个向量的夹角．定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。要点诠释：1.规定：2.特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。要点三、空间向量的长度。定义：在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模：。将其推广：；。要点四、空间向量的垂直。若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b．根据数量积的定义：⊥⇔·＝0【典型例题】类型一：空间向量的数量积例1．已知向量，向量与的夹角都是，且，试求：（1）；（2）．【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且，∴（1）=＝1+16+9+0-3-12=11；（2）=＝0--8+18=举一反三：【变式1】设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么（a+3c）·（3b-2a）；（2a+b-3c）2=.【答案】-62，373（a+3c）·（3b-2a）=3a·b-2a2+9c·b-6a·c=3|a|·|b|·cos90°-2|a|2+9|c|·|b|·cos60°-6|a|·|c|·cos60°=-62.同理可得（2a+b-3c）2=373【变式2】已知：,，试计算【答案】由,可得∵，∴。例2.如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】在空间四边形ABCD中，（1）∵，，∴（2）∵，，，∴（3）∵，，又，∴∴（4）∵，，，∴，∴举一反三：【变式1】正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱BC，AD的中点，则的值为（）A.4B.-4C.-2D.2【答案】C【解析】,===-2.类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角．例3.如右图所示，已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SA=SB=SC=1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．【解析】设，，，则|a|=|b|=|c|=1，且a、b、c三个向量两两夹角均为60°，∴．∵．∴，故所成角的余弦值为举一反三：【变式1】空间四边形OABC中，OB=OC，，则（）A.B.C.D.0【答案】D由于OB=OC则==0【变式2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成角的余弦值.【解析】设正方体棱长为m，=a，=b，=c，则|a|=|b|=|c|=m，a·b=b·c=c·a=0，又∵=+=+=a+b，=+=+=c+a，∴·=(a+b)(c+a)=a·c+b·c+a2+a·b=a2=m2.又∵||=m,||=m，∴cos<,>===即A1C1与DE所成角的余弦值为.类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。例4、如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长；【解析】（1）证明设=p,=q，=r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.=-=（+）-=（q+r-p），∴·=（q+r-p）·p=（q·p+r·p-p2）=（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.（2）解由（1）可知=（q+r-p）∴||2=2=（q+r-p）2=［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］=[a2+a2+a2+2（--）]=×2a2=∴||=a,∴MN的长为a.举一反三：【变式1】已知向量、、两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则等于（）A．B．5C．6D．【答案】A∴【变式2】设，，，且，，，则向量的模是________。【答案】∵，∴例5.如图所示，在四面体ABCD中，，BC=2，AC=3，AD=4，，AD⊥BC．求B、D间的距离．【解析】在△ABC中，由余弦定理得：，∴∠ACB=60°即，同理可求得，又AD⊥BC，∴∴=29+2×2×3cos120°+2×3×4cos120°+2×2×4cos90°=11．∴举一反三：【变式1】已知在平行六面体中，AB=4，AD=3，AA＇=5，∠BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA＇=60°，则AC＇等于（）A．85B．C．D．50【答案】B；=50+2(10+7.5)=85。【变式2】在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长。【答案】如图，依题有、、两两垂直，∴，，∴∴。类型四：利用空间向量的数量积证垂直．例6.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值。【答案】如图，设，，由题意，可知，且、、三向量两两夹角均为60°（1）证明：，∴∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD，∴MN为AB与CD的公垂线（2）由（1）可知，∴∴,∴MN的长度为（3）设向量与的夹角为，∵，，∴又∵，∴∴，∴向量与的夹角余弦值为，从而异面直线AN、MC所成角的余弦值为举一反三：【变式1】在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，⑴求证：；⑵求所成角的余弦；⑶求的长【解析】设，则，⑴∵，∴∴（2），，∴