2021届超级全能生高考数学联考试卷(理科)(4月份)(丙卷)(含答案解析)

2021届超级全能生高考数学联考试卷（理科）（4月份）（丙卷）

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知集合4={xez|-2cxW3},B={x€R|0Wx<4},则力nB=()

A.{%G/?|0<%<3}B.{xGZ|-2<x<4}

C.{-1,0,1,2,3)D.{0,1,2,3}

2.设复数z=其中，•为虚数单位)，则z-3=()

A.1B.3C.5D.6

x

4.若sin（7r—a）=—争且ae（兀号），贝人也（］+］）=（）

A.—在B.—在C.在

366DT

5.途因德纸草书少是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包

分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的，是较小的两份之和，问最小一份

为（）

A.|B.?C.|D.y

3366

6.已知函数/出加=解妈旨，则下列等式成立的是

A.-弱=/Wi）B.就添去剖=J（ui）

C,就-蝴=-我刻D.-斓=«/!网

7.某几何体的三视图下图所示（在下边的网格线中，每个小正方形的边长为1）,则该几何体的表面

积为（）

A.48B.54C.60D.64

8.双曲线16y2一巾2/=i（m>o）的一个顶点到它的一条渐近线的距离是右则〃?的值是（）

A.1B.2C.3D.4

9.如图是某人按打中国联通客服热线10010,准备借助人工台咨询本手机的收费情况，他参照以

下流程，拨完10010后，需按的键应该是（）

10.已知0<a<b<1,则()

2ab

A.3b<3aB.(Igay<iIgb)C.loga3>logb3D.(|)<(1)

11.设T(x)=|2x-1|,若不等式|a|7(x)N仁+1|-|2£1-1|对任意实数£1工0恒成立，则x的取值

范围是()

A.(-00,-1]U[2,+00)B.(-00,0]U[1,4-00)

C.[0,1]D.[-1,2]

12.已知三棱锥4-BCD中，CDJ■平面ABC,Rt△ABC中两直角边力B=5,AC=3,若三棱锥的体

积为10,则该三棱锥的外接球的表面积为()

A.507rB.25兀C.—D.—

24

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.设两个向量五=(4+3,4-cos?。)，3=(M+sinO),其中。CR,若五=2了，贝哈的最小值为

14.设棱长为1的正方体为图形G，以6各个面的中心为顶点的正八面体为图形。2，以各个面的

中心为顶点的正方体为图形。3,以各个面的中心为顶点的正八面体为图形。4,…，以此类推.设

正多面体Cn(nGN+)的棱长为即(各棱长相等的多面体称为正多面体)，则：

(1>1=1，a2-:

(2)当〃为奇数时，a”=.

15.如果(1+x+x2)(x-a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0,则展开式中含P项的系

数为.

16.抛物线/=16X焦点与双曲线冬一9=1的一个焦点重合，则曲线实轴长为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.在AABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=三,且(a-b+c)(a+b-c)=

(I)求cosC的值；

(11)若£1=5,求△ABC的面积.

18.如图，在空间几何体A-8CDE中，底面BCCE是梯形，且CD〃BE,

CD=2BE=4,Z.CDE=60°,△4DE是边长为2的等边三角形.

(1)若F为AC的中点，求证：B/7/平面AOE；

(2)若4C=4,求证：平面ADE1平面8c

19.在2016年6月美国“脱欧”公投前夕，为了统计该国公民是否有“留欧”意愿，该国某中学教

学兴趣小组随机抽查了50名不同年龄层次的公民，调查统计他们是赞成“留欧”还是反对“留

欧”.现已得知50人中赞成“留欧”的占60%,统计情况如表：

年龄层次赞成“留欧”反对“留欧”合计

18〜49岁6

50岁及50岁以上10

合计50

(I)请补充完整上述列联表;

(U)请问是否有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关？请说明理由.

参考公式与数据：K2-其中n-a+b+c+d

(a+D)(c+dj(a+c)(o+a)

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲

如图，A8是00的直径，BE为圆0的切线，点c为0。上不同于A、8的一点，AZ)为/懿门的平

分线，且分别与BC交于H,与◎。交于。，与BE交于E,连结跳入CD.

(/)求证：8。平分之燧因

(〃)求证：AH.BH=AE.HC

21.已知椭圆抛物线C2的焦点均在x轴上，G的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各

取两个点,其坐标分别为(3,-2⑥，(-2,0),(4,-4),(V2,y).

(1)求的，C2的标准方程；

(II)过点M(0,2)的直线/与椭圆G交于不同的两点A、B,且乙4。8为锐角(其中O为坐标原点)，求直

线/的斜率&的取值范围.

X=­t

(y=4+4费(I为参数)，曲线G的参数方

程为为参数)，以。为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系•

—JL十siiicp

(1)求直线/和曲线G的极坐标方程；

(2)若曲线C2：。=?(。＞0)分别交直线/和曲线。1于点4B,求需.

23.设。，b,。均为正数，且a+b+c=1.

(1)证明：ab+bc+cawg

(2)若不等式。+尤+《Nt恒成立，求f的最大值.

bca

【答案与解析】

1.答案:D

解析：解：集合4={x6Z|—2<xW3},

B={%eR\0<x<4},

则4nB={xeZ|0SxS3}

={0,1,2,3).

故选：D.

由集合的交集的定义，即可得到所求集合.

本题考查集合的交集的求法，注意运用定义法解题，考查运算能力，属于基础题.

2.答案：C

解析：解：复数z=n~=5(2+i)=%!12=2+i,

师VI•，肝•攵以2-i(2-i)(2+i)5'

则zi=(2+i)(2-i)=5,

故选：C.

利用复数的运算法则、共枕复数的性质即可得出.

本题考查了复数的运算法则、共较复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.答案：A

解析：解：函数的对称中心为(-1,2),排除BC,

/(0)=2-3=-1<0,排除。

故选:A.

结合反比例函数的对称性以及函数值的对应性进行排除即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，结合反比例函数的对称性以及函数值的对应性利用排除法是

解决本题的关键，是基础题.

4.答案：B

解析：

已知等式利用诱导公式化简求出sina的值，根据a的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosa

的值，再利用二倍角的余弦函数公式求出cos押值，所求式子利用诱导公式化简，将cos押值代入

计算即可求出值.

此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键.

解：vsin(7r—Q)=sina=——,且aW(匹羊)，

3N

・••cosa=—Vl—sin2a=—Jl—(~~)2=-1，

2

vcosa=2COS^-19(py),

all+cosa—+1限

•'・吗=-』^=-什=-7

则sin《+》=cos^=---

故选8.

5.答案:A

解析：解：设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,(其中d>0)；

则，(a—2d)+(a—d)+Q+(a+d)+(a+2d)=5a=100,:.a=20；

由2(Q+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d)；・•.24d=Ila,

,55

-'-d=-

所以，最小的1份为a-2d=20-券=J.

o3

故选：A.

设五个人所分得的面包为a-2d,Q-d,a,a+d,a4-2d,(d>0)；则由五个人的面包和为100,

得a的值；由较大的三份之和的,是较小的两份之和，得”的值；从而得最小的1份a-2d的值.

本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果.

6.答案：D

解析：试题分析：由于给定函数解析式，因此可以一一验证，也可以直接利用性质来得到。

由于函数篇=脸』，是偶函数，那么可知选项。成立。而对于选项4

金

Jte-53!=原点巴J=赢尚学加配不成立。

JJ

选项8中，，购到=懒第营的周期为丁=榭,因此说要使得函数值重复出现至少增加同爆个单位长度,

因此不成立。

选项C中，显然不是奇函数，因此错误。

故选D.

考点：本试题主要是考查了函数的解析式应用。

点评：对于三角函数来说，根据三角函数的奇偶性的性质以及周期性，来判定结论的正确与否。一

般的就是要代入解析式证明左边和右边相等即可，属于基础题。

7.答案：C

解析：

本题考查了利用几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题.

由三视图知该几何体是底面为矩形的四棱锥，根据图中数据计算它的表面积即可.

解：由三视图可知：该几何体是底面为矩形的四棱锥，

如图所示：

根据图中数据，计算它的表面积为

S—S矩形ABCD+SAPAB+2SAPAD+SaCD

111

=3x6+-x6x4+2x-x3x5+-x6x5

222

=60.

故选：C.

8.答案：C

解析：解：根据双曲线方程可知a=；,b=~,

4m

所以渐近线为y=±7X-

取:x-y=0,

由于顶点(01)，

,,1

则距离d=丁盍=51

解得巾2=9,

•*,771—3.

故选c.

先根据双曲线方程求得4和〃，进而可得渐近线方程和定点坐标，根据顶点到渐近线的距离等于

进而求得m.

本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式的运用，考查运

算能力，属于基础题.

9.答案：D

解析：解：根据流程图，因为准备借助人工台咨询本手机的收费情况，所以按0.

故选：D.

根据流程图，因为准备借助人工台咨询本手机的收费情况，所以按0.

本题考查流程图的作用，正确读图是关键.

10.答案:C

解析：解：,­,0<a<b<1,

3a<3%

Iga<Igb<0,可得(，ga)2>(Igb)2；

言〉加可得器，1呜3>嗨3;

针>(处

综上可得：只有C正确.

故选：C.

利用指数函数和对数函数的单调性即可得出.

本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题.

11.答案：A

解析：

本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与构造函数思想，考查恒成立问题，属于中档题.

依题意，可得|2x-l]2胃一专言=|1+；1-|2-3,令g(a)=|l+?—|2—；|，利用绝对值

不等式可得9(a)max=3,于是解不等式|2%-1|>3即可得到答案.

解："(xXIZx-ll，

/.|a||2x-1|>|a4-1|-\2a-1|,又Q*0,

令g(a)=|l+p-|2-],

则g(a)W|l+；+2-；|=3,

当0<aW?取等号，

即g(a)max=3,

A|2x-1|>3,即2x-1>3或2x-1<-3,

解得：乂22或％4-1.

•1-x的取值范围是U[2,+oo).

故选A.

12.答案：A

解析：解：由题意可得：1x|x3x5xCD=10,解得CO=4.

•••设该三棱锥的外接球的半径为R,则(2R)2=42+32+52=50.

•••该三棱锥的外接球的表面积=4兀/?2=50兀，

故选：A.

由题意可得：!x：x3x5xCD=10,解得CD.利用长方体的对角线与外接球的直径的关系，利用

勾股定理即可得出该三棱锥的外接球的半径.

本题考查了三棱锥的性质、长方体的性质、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

13.答案：一1

解析：解：两个向量不=(4+3,4—cos?。)，b=+sind),

a=2b>4+3=2〃，A-cos20=^+sinB,

〃=3+cos204-2sin9=4—sin20+2sin0=5—(sm0—l)2,〃€[1,5],

511]-=—=2-->-l,

则"的最小值为一1.

故答案为：-1.

利用向量相等，列出方程，通过三角函数的有界性求出〃的范围，然后求解表达式的最值.

本题考查向量平行与函数的最值的求法，二次函数的简单性质三角函数有界性的应用，考查计算能

力.

14.答案：圣©詈

解析：解：(1)正方体G各面中心为顶点的凸多面体。2为正八面体，

它的中截面(垂直平分相对顶点连线的界面)是正方形，

该正方形对角线长等于正方体的棱长，

所以它的棱长=^=圣

(2)以C2各个面的中心为顶点的正方体为图形C3是正方体，

正方体面对角线长等于棱长的|，(正三角形中心到对边的距离等于高的|)，

因此对角线为|X'=争所以&3=喘=［，

以上方式类推，得&4=患=?，。5=缪=/…’

当〃为奇数时，斯=(］等，

故答案为：(1)当；(2)(》等•

(1)根据条件先求出。2，

(2)根据条件依次求出。3,。4,。5,然后利用归纳推理得到：〃为奇数时，曲的表达式.

本题主要考查等比数列得通项公式，以及归纳推理的应用，可以从中找到规律，分奇数项、偶数项

讨论，可以求厮通项公式.

15.答案：-5

解析：

本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

利用赋值法求出“，然后化简已知表达式，求出项的系数即可.

解：•・・(1+x+x2)(x-a)s的展开式所有项的系数和为(1+1+12)(1一a)5=0,

•­a=1,

・•・(1+x+x2)(x-a)5=(1+%4-x2)(x-l)5=(%3-1)(%-l)4=x3(x-I)4-(%-l)4,

其展开式中含%4项的系数为盘(一1)3—以(一1)。=-5.

故答案为-5.

16.答案:2V7

解析：解：抛物线y2=I6x焦点(4,0)与双曲线5一9=1的一个焦点重合，

可得@2+9=16,解得a=夜,

所以曲线实轴长为：25

故答案为：2小.

求出抛物线的焦点坐标，然后转化求解«即可得到结果.

本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力.

17.答案：解：(I)(Q-b+c)(a+b-c)=be可得：a2-(6-c)2=a2-62-c2+2bc=|bc,

:.a2=b2+c2—}bc,

b2+c2-a2_11

・•・cosA=2bc-14'

・••sinA=V1—cos2>l=—,

14

贝kosC=-cosM+8）=-cosAcosB+sinAsinB=——x-+—x—

\,1421427

（D）由（I）可得sinC=V1—cos2C=等，

4^

在AABC中，由正弦定理‘，=-%=白，得：©=喏=苓=8,

sinAstnBsinCsinA2X1

14

则S=-acsinB=-x5x8x—=10V3.

222

解析：（I）已知等式利用平方差公式及完全平方公式变形，整理后得到关系式，利用余弦定理表示

出cosC,将得出的关系式代入求出cosA的值，进而求出sinA的值，由cosC=-cos（4+8）,利用

两角和与差的余弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出cosC的值；

（口）由sinC,a,sinA的值，利用正弦定理求出c的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即

可.

此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

18.答案：证明：（1）如图所示，取D4的中点G,连接FG,GE.

•••尸为AC的中点,

GF//DC,S.GF=^DC.

又DC"BE,CD=2BE=4,

EB//GF,且EB=GF,

.•・四边形BFGE是平行四边形，

•••BF//EG.

vEGu平面ADE,BF仁平面ADE,

：.BF〃平面ADE.

（2）取。E的中点H,连接AH,CH.

•••△40E是边长为2的等边三角形，

•••AH1DE,且AH=V3.

在ADHC中，DH=1,DC=4,^HDC=60°

根据余弦定理可得=DH2+DC2_2DH,DCcos6Qo=12+42_2X1X4x|=13,即HC=

V13.

在△4HC中，AH=靠,WC=V13.AC=4.

所以4c2=4“2+”。2,即4HJ_HC.

因为4HJLDE,AH1HC,且DEu平面8cOf,HCu平面BCDE,DECHC=H,

AH•L平面BCDE.

又4Hu平面ADE,

平面ADEL平面BCDE.

解析：（1）取D4的中点G,连接尸G,GE,证明四边形BFGE是平行四边形，得出BF〃EG,从而证

明BF〃平面ADE.

（2）取。E的中点连接AH,CH,证明AH1OE,求出4"=遮，利用余弦定理求得HC,再利用

勾股定理的逆定理判断AH1HC,证明AHL平面BCDE,从而证明平面4DE_L平面BCDE.

本题考查了平面与平面垂直的证明，以及直线与平面平行的证明问题，也考查了推理与证明能力，

解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

19.答案：解：（I）列联表如下：

年龄层次赞成“留欧”反对“留欧”合计

18〜49岁20626

50岁及50岁以上101424

合计302050

（n犷=5。黑嘉黑6）。6.46>5.024,

•••有97.5%的把握认为赞成“留欧”与年龄层次有关.

解析：

（I）根据50人中赞成“留欧”的占60%,即可得到列联表；

（II）利用公式求得K2,与临界值比较，即可得到结论.

本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

20.答案：（1）结合弦切角定理来证明角相等，从而得到平分问题。

（2）利用三角形的相似来得到对应线段的长度之积相等。

解析：试题分析：证明：（I）由弦切角定理知上盛嬲=,£：疆翩;......2分

由必盛豁;比瞬姒，海凝=左期=

所以左思窿=/飒您，即豳平分汶,.......5分

（口）由（1）可知能=献.

所以四骸.斯=“斯常，翻1........7分

因为在幽城=2：磁窗，通孤解=心.蹈，

所以盛愚翻绘S感就璘，

所以.±=隹，即4球.龌=澳爵湘.......10分

.翘窿

即：感/螂=/姆初.

考点：本试题考查了几何证明的知识。

点评：解决该试题的关键是对于平分角的求解，可以利用角相等，结合弦切角定理来得到角相等的

证明，同时利用相似三角形来证明对应边的乘积相等，培养分析问题和解决问题的能力，属于中档

题。

2

21.答案：解：（1）设抛物线。2：y2=2px,。羊0）,则?=2p,（x40）,

把四个点（3,-2代），（-2,0）,（4,-4）,（隹当分别代入验证，

得至火3,—2K），（4,一4）在抛物线上,

・..2p=竽=4,.•・抛物线C2的标准方程为：y2=4%.

设椭圆G的标准方程为冬+£=l（a>b>0）,

把（-2,0）,（或马分别代入，得：

2

.•椭圆G的标准方程为会+y2=1.

（口）过点M（0,2）的直线/与椭圆G交于不同的两点A、B,且N40B为锐角（其中。为坐标原点）,

直线x=0不满足条件，设直线/：y=kx+2,A（x1,y1）,B（x2，y2）*

由［7+'2=1,得(i+41)/+i6kx+12=0,

(y=kx+2

・・・△=(16fc)2-4x12(1+4k2)>0,

AkG(-oo,-y)U(y,4-oo),①

-16k12

%!4-%2=l+4k29—i+4fc2

•・•Z710B为锐角,・•・OA・O^B=+V1V2>o，

xx2

:.0^4-OB=xrx2+yty2=i2++2)(/cx2+2)=(1+/C)%I%2+2kg+x2)+4>0,

・・・(1+fc2)x+2/cx+4>0,

kJ1+4/c2l+4k2

解得-2<k<2.②

由①②，得一2<k<—曰或曰<k<2.

・・•直线/的斜率左的取值范围是（一2,-亨）U（亨,2）.

解析：（I）设抛物线C2：y2=2px,（p丰0）,则?=2P,（%丰0）,把四个点（3,-2K），（-2,0）,（4,-4）,

（或净分别代入验证，得到（3,-2回，（4,-4）在抛物线上，由此能求出G，C2的标准方程.

+y22

(口)设直线/：y=kx+2,4(Xi，%),B(x2,y2)>由［彳-二得(1+4k)x+16kx+12=0,

ly=kx+2

由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线/的斜率上的取值范围.

本题考查抛物线、椭圆的标准方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，考查抛物线、椭