2021届北京市高考数学三模试卷附答案解析

2021届北京市高考数学三模试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

已知集合力={x\x2<4},B=(x\x<2—x},则4UB=(

A.{x|-2<x<2}B.{x\x<2}

C.{x\x>-1}D.{x\x>-2}

2.若长为虚数单位，复数一^在复平面上对应的点位于（）

念#氟

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在下列结论中，正确的结论是（）

①“pAq”为真是“pVq”为真的充分不必要条件；

②“pAq”为假是“pVq”为真的充分不必要条件；

③“pvq”为真是“「p”为假的必要不充分条件；

@“「p”为真是“p/\q”为假的必要不充分条件.

A.①②B.①③C.②④D.③④

4.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（单位：cm）,图中粗线画出的RVZ-]E

是某零件的三视图，则该零件的体积（单位：©m2）为（）2_□L

A.240—2轨一厂一

B.2…[Of

C.240-8兀

D.240-47r

5.设双曲线会q=l（a>0）的渐近线方程为3x±2y=0,则学》dx的值为（）

A.In2B.0C.In3D.1

6.已知数列｛an｝的通项公式是关于ri的一次函数，a3=7,a7=19,贝ij的。的值为（）

A.26B.28C.30D.32

7.若/（x）=4sM（2x+争在[一上的值域为（—2,4],则。的值是（）

8.某渔场鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x要小于m,留出适当

的空闲量，己知鱼群的年增加量y（吨）和实际养殖量x（吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值

叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数%>0）,则鱼群年增长量的最大值为（）

mk门mkmc租

TB-Tc-TD-7

22

9.己知双曲线台—19>0/>0）的两条渐近线均和圆心x2+y2—6y+5=o相切，且圆c

的圆心恰为双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程是（）

A.H=1D・T=】

10.如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:

1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列S｝（nGN*）的前12项，

如表所示：

%的口4%06a7。9aioalla12

yi%2力%3为X4y^%5泗76

按如此规律下去，则。2019=()

A.504B.-504C.-505D.505

二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）

一*11

11.设麒=|『蟠*联鬃则二项式蜘一一产犷的展开式中的常数项等于，

12.在直角坐标系久oy中，曲线G上的点均在圆C2：（x-5）2+y2=9外，且对的上任意一点M,M到

直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，则曲线Q的方程为.

13.与向量五=（3,-4）垂直的单位向量是.

14.若siMOiSa-（2-cosjS）1009>（3-cos。-cos2a）（l-cos。+cos2a）,则sin（a+§）=.

15.已知存在量词命题p：3xeR,使2/-3x+9a=0成立，若命题p为真命题，则实数a的取值

范围为.

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）

16.己知△ABC是圆。（0为坐标原点）的内接三角形，其中4（1,0）,8（—1,一/），角A,B,C的对边

分别为4B,C.

（I）若点C的坐标是（-今争,求cosaOB；

(口)若点C在优弧AB上运动，求a+b的最大值.

17.如图，已知矩形4BC0所在平面垂直于直角梯形48PE所在平面于直线48,

平面力BCDn平面4BPE=AB,且ABBP=2,AD=AE=1,AE1.AB,

H.AE//BP.

(1)设点M为棱PD中点，在面4BC0内是否存在点N,使得MN_L平面4BCD?若

存在,

请证明；若不存在，请说明理由；

(2)求二面角。-PE-4的余弦值.

18.由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行，但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少

又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10

人进行调查反馈，所选乘客情况如表所示：

组别候车时间(单位：min)人数

—>[0,5)1

二[5,10)5

三[10,15)3

四[15,20)1

(1)现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；

(2)现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期

望.

19.已知函数/'(x)=x—1,g(x}-(ax-l)ex.

(I)记八。)=乂-詈，试判断函数九的极值点的情况；

(口)若好(乃＞g(x)有且仅有两个整数解，求a的取值范围.

20.已知椭圆t=l(a>b>0)的右焦点为F(l,0),离心率e=争

A,8是椭圆上的两动点，动点P满足/=瓦5+4而，(其中实数

4为常数).

(1)求椭圆标准方程;

(2)当；1=1,且直线AB过尸点且垂直于x轴时，求过4,B,P三点的外接圆方程;

(3)若直线04与OB的斜率乘积=-5问是否存在常数；I，使得动点P满足PG+PQ=4,其

中G(-a,0)，Qg,0),若存在求出；I的值，若不存在，请说明理由.

21.已知函数/(x)=|x+ln(x-l),设数列｛a“｝同时满足下列两个条件：①斯>0(neN*)；

0

②n+l=f'(an+1)-

(I)试用表示Qn+1；

(n)i2hn=a2n(ne/V*).若数列｛b｝是递减数列，求四的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：：集合/=[x\x2<4}={x|-2<x<2},

B={x\x<2—x]={x|x<1},

二4UB=(x\x<2).

故选：B.

先分别求出集合4和B,由此能求出AUB.

本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.答案：A

R_噂-飨—曾开篇

解析：试题分析:，因此复数在复平面上对应的点位于第一

一修+物-娥—

象限.

考点：1.复数的几何意义；2.复数的四则运算.

3.答案：B

解析：解：①③是正确的，②④是假命题，

其中②中，“pAq”为假是“pVq”为真的既不充分也不必要条件，

@"「p”为真，“p”为假，

•••“rp”为真是“p八q”为假的充分不必要条件.

先判断命题的正误，可知①③是正确的，②④是假命题，然后再根据「p,必要条件、充分条件和

充要条件的定义进行判断.

此题主要考查「P、必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题.

4.答案：B

解析：解：根据三视图可知该零件是：

一个长方体在上面中心、两侧对称着分别挖去了三个相同的半圆柱，

且长方体的长、宽、高分别为：8、6、5,

圆柱底面圆的半径为1,母线长是8,

二该零件的体积V=8x6x5-3xix7TXl2x8=240-127r(cm3),

故选：B.

由三视图知该该零件是一个长方体在上面中心、两侧对称着分别挖去了三个相同的半圆柱，由三视

图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积.

本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力.

5.答案：A

解析：解：・•・双曲线W一9=l(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,

33

Aa=P

・•・Q=2,

•'=lnx\l=ln2—Ini=ln2.

故选：A.

根据双曲线5—?=l(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,求出a,再计算的值.

本题考查双曲线的性质，考查定积分知识，确定a的值是关键.

6.答案：B

解析：解：••・数列｛斯｝的通项公式是关于n的一次函数，

・••设an=an4-&,

,**=7,CL]—19,

,,,伊士?一"解得a=3,5=-2,

17a+b=19

・•・a10=3x10—2=28.

故选：B.

设a九=cm+b,由⑥=7,a7=19,列出方程组求出a=3,b=-2,由此能求出的().

本题考查等差数列的第10项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运

用.

7.答案：0

解析：解：因为/O)=4sin(2x+亨)；

且x6[-1，即=2芯+与6g,28+争；

,••值域为[―2,4],则20+詈=票=6=1；

故选：D.

根据x的范围求出2x+与的范围；再结合正弦函数的图象和性质即可解题

本题考查三角函数的有界性，考查转化思想以及计算能力，需要熟练掌握三角函数的图象和性质.

8.答案：B

解析：

本题考查利用函数模型解决实际问题，基本不等式的应用，属于基础题.

由题意可得，y=kx-,(/c>0,0<x<m),利用基本不等式求最值即可.

解：由题意可得，

y=kx~~~(T)2=T<(k>°>°<x<

(当且仅当x=即x=£时，等号成立)

故选:B.

9.答案：A

解析：解：圆C：%2+y2-6y+5=0的圆心恰为双曲线的一个焦点，可得双曲线的焦点坐标在y轴

上，c=3,圆的圆心(0,3)半径为2.

双曲线的渐近线方程：by-ax=0,

双曲线5一捻=E>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6y+5=0相切，

可得：7焉=2,可得b=2,则。=遍，

\ia2+b2

所求的双曲线方程为：旺-兰=1,

54

故选：A.

求出圆的圆心与半径，推出双曲线的半焦距，通过渐近线与圆相切，转化求解即可.

本题考查双曲线与圆的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算

能力.

10.答案：C

解析：解：将数列｛即｝奇数项，偶数项分开看，

奇数项为1,—1.2,-2发现a4n-3=n，a4n-i=—

偶数项为1,2,3...,所以a27t=n,

而。2019=a4x505-l=-505,

故选：C.

讨论奇数项为1,-1,2,-2偶数项为1,2,3...,求得其通项公式，可得。2。19・

本题考查数列的通项公式的求法，发现其中的规律是解题的关键，考查运算能力和推理能力，属于

中档题.

11.答案:-160

“fr-1T

解析：试题分析：谢•=(蒯刷廊十斓即&所以二项式I翦后I的展开式通项为

7："'kJ•蔚’

匿虫=跳廿卜可晨产.，令生一会=建得“耨所以常数项为嘤密上球=-»

考点：定积分及二项式定理

点评：定积分的计算首要是找到被积函数的原函数，二项式定理抬出球%的求解主要通过其通项公

式

或观=驾&户,胪求解

12.答案：y2=20x

解析：解：由题设知，曲线Ci上任意一点M到圆心。2(5,0)的距离等于它到直线x=-5的距离，

因此，曲线6是以(5,0)为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，

故其方程为必=20%.

故答案为y2=20%.

由题设知，曲线G上任意一点M到圆心。2(5,0)的距离等于它到直线x=-5的距离，根据抛物线的定

义，可得求曲线G的方程.

本题考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键.

13.答案：或

解析：解：设这个向量为石(a,b)，

根据题意,有｛:忆)

(4(4

a=-Ia=—

解可得，(久或I

Ib=-5Ib=—5

故B=©，|)或(一泉一|>

设向量的坐标为(a,b),根据题意，石是单位向量，且与向量力=(3,—4)垂直，则有］父+9：=\，解

可得a,b的值，进而可得答案.

本题考查单位向量的求法，一般先设出向量的坐标，再由题意，得到关系式，求解可得答案.

14.答案：±1

解析：

本题考查三角恒等变换，三角函数的有界性等知识点，属于基础题，

首先通过化简处理，再利用三角函数的有界性，将不等式化为等式处

理.

解：由已知得sin?。18a+sin%>(2—cos/?)10094-(2—cosp)2,

・・•左边42,右边22,

・•・sin2018a4-sin4a<(2—cosy?)1009+(2—cos/?)2,

・•・sin2018a+sin4a=(2—cos/?)1009+(2—cos/?)2,

:.sina=±1,cosp=1,

a=/CTT+pB=2nn,

・•・a+/=(k+n)7r+p(k,nGZ),

・•・sin(a+§)=±1.

故答案为±1.

15.答案：{a|aS》

解析：解：由存在量词命题p：3%6使27—3%+9a=0成立，命题p为真命题,

可得对应方程有实根，

故即二

A20,9—4x2x9a20,a8

故答案为：{a|a<[}.

根据特称命题的性质进行求解即可.

本题主要考查特称命题的应用，将条件转化为方程有实根是解决本题的关键.

16.答案：解：(1)由点。，B的坐标可以得到乙40C=誓乙4。8=拳...(2分)

所以COSNCOB=cos^AOC+/ZOB)=-乎x(-}一号x苧=一...(6分)

(II)因为c=百，NAOB=等，所以C=g,所以总=焉=1=2,...(8分)

~2

所以a+b=2sinA+2sing-4)=2bsinG4+「(0<力<争，...(11分)

所以当4=g时，a+b最大，最大值是2百....(12分)

解析：(1)由点。，B的坐标可以得到乙40C,Z.AOB,即可由cos/COB=cos(乙40C+乙40B)得解.

(II)由正弦定理可得a+b=2sinA+2sin(y-A)=2百sin(4+》由题意求得角C可得4的范围,

从而可求a+b的最大值.

本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象

和性质，属于基本知识的考查.

17.答案：解：(1)连接AC,BD交于点N,连接MN,则MN1平面ABCD.

证明：为PD中点，N为BD中点,

MN为4P08的中位线，贝ljMN〃PB.

又平面ABCD1平面4BPE,

平面ABCDn平面4BPE=AB,BCu平面ABCD,BCLAB,

二BC1平面4BPE,贝

又PB14B,ABC\BC=B,PB_L平面力BCD,

•••MN1平面力BCD；

(2)以4为原点，AE,AB,AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系,

•••AD1平面PE4,.♦.平面PE4的法向量元=(0,0,1)，

又。(0,0,1),E(l,0,0),P(2,2,0),

.•.屁=(1,0,-1)，DP=(2,2,-1),

设平面。PE的法向量为4=(x,y,z),

^x+2y-z=0>取z=L得x=Ly=-:

.•・通=(1,心,1),则cos(五五>=舒=启=|,

又。-PE-4为锐二面角，

••・二面角D-PE-4的余弦值为|.

解析：(1)连接4C,8。交于点N,连接MN,由己知可证PB_L平面ABCO,再由三角形中位线可得

MN//PB,进一步得到MN!_平面4BCD；

(2)以4为原点，AE,AB,4)所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系，可得平面PEA的法向量,

再设平面DPE的法向量，利用向量数量积为0列式求出法向量，求得两个法向量的夹角的余弦值，可

得二面角。-PE-A的余弦值.

本题考查二面角的平面角及其求法，训练了利用空间向量求二面角的大小，考查计算能力，是中档

题.

18.答案：解：(1)设“至少有一人来自第二组”为事件4,

则P(4)=l-翁―

(2)由题意X的可能取值为1,2,3,

P(X=n=受”=三，

(牖+或)X2+牖d+废盘_71

P(X=2)=

C超乂2+己+6_38

P(X=3)=

•1,X的分布列为:

117138

120120；120

E(X)=1^(11+2x71+3x38)=弟

解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要注意排列

组合知识的合理运用，是中档题.

(1)设“至少有一人来自第二组”为事件4利用对立事件概率计算公式能求出至少有一人来自第二

组的概率.

(2)由题意X的可能取值为1,2,3,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望.

19.答案：解：(/)/t(x)=x-翳=x-笨，h'M=

令u(x)=ex+x-2在R上单调递增，

又1/(0)=-1,u(l)=e-1>0.

・・・存在唯一%oe(0,1)，使得〃(%)=0，即九'(&)=o.

%6(-8,%0),h!(x)<0,此时函数九(%)单调递减.%E(%0，+8),h\x)>0,函数无(%)单调递增.

・•・x=工0为极大值点，无极小值点.

(H)a/(x)>g(x)化为：a(x-詈)VI,即ah(%)V1.

①当QW0时，由不等式有整数解，

・•・九(%)在％6Z时，，h(x)>1,

・・.Q/I(X)<1有无穷多整数解.

②当0<a<1时，/i(x)<,又5>1，/i(0)=h(l)=1.

fh(2)>i2

・•.不等式有两个整数解为0,1.即《解得：-4-<a<1.

③当a21时，h(x)<又;<1，

伏尤)在x6Z时大于或等于1,.•.不等式ah(x)<1无整数解.

2

综上可得：-^<a<l.

2e2-l

解析：(/)九(无)=%-詈=x-色，/f(x)=匕皆二.令u(x)=e*+x-2在R上单调递增，又“(0)=

-1,u(l)=e-l>0.可得存在唯一&€(0,1),使得uQo)=O,即h'(&)=0.利用单调性即可得出

函数九(x)的极值点与极值.

(H)a/(%)>g(x)化为：a(x—譬)<1,即a/i(x)<1.对a分类讨论，即可得出a的取值范围.

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了

推理能力与计算能力，属于难题.

(C=1

20.答案：解：(/)有题设可知：£=V2

la一2

/.a=正又b?=a2—c2,••・b2=1,

・•.椭圆标准方程为9+y2=i

(2)由题意可知直线方程为x=1,代入?+y2=1解得41,争,B(1,一争,p(2,0),

设圆的方程/+y2+D%+Ey+F=0,将4,B,P三点代入得

rl+(y)2+D+yE+F=0

'1+(-—)2+D-—F+F=0'

、2,2

14+2D+尸=0

解得。=一|,E=0,F=1,

所以圆的方程是好+y2一|x+1=0

⑶设P(x,y),4Q1，%),8(尤2①)，

则由而=引+4话得

Q,y)=(%1，为)+A(x2,y2)=(9+&2，％+故)，

即％=+Xx2，y=%+Ay2•

・・•点/、8在椭圆7+2y2=2上，

222

A故/+

%i+2yi=2,x2+2y1+=2,2y=(%]+A%1+2Axtx2)+2(y?+Ay1+

2

22yly2)=(xI+2yI)+A(xl+2yx)+2A.(xrx2+2yly2)

2

=2+2A+2A(X1X2+2yly2)・

设&A，k°B分别为直线。4。8的斜率，

由题设条件知左

04,k()B=xlx2N

22

，与小+2yly2=0，・,.一+2y2=2+2M.即一”八；+=1

'"八J乙J2+2A21+A2

22

点是椭圆气+%=上的点，

•••P2+2A21+A21

设该椭圆的左、右焦点为G,Q,则由椭圆的定义PG+PQ=4为定值.

所以4=2,2+2储，X=±1,

此时两焦点的坐标为6(-四0),Q(V2,0)

•••存在4=±1使得PG+PQ=4

解析：(1)将已知条件代入离心率e=。2=62+02得0匕的值，方程可求；

(2)由直线4B过F点且垂直于x轴，可得4B的方程，将x=1代入椭圆方程易得A,B的坐标，继而求

出P点坐标，然后利用待定系数法求出圆的一般式方程；

(3)总体思路是：先假设;I存在，然后想办法构造一个关于4的方程.即先将条件“直线。4与08的斜

率乘积右,忆=-右动点满足加=函+而，”结合一下，可以找到一个关于乃，

408P4x2,

丫2,几的关系式，化简后，再结合“P满足PG+PQ=4,其中G(—Vl0)，(2(鱼,0)”可看出，P的轨

迹应该是一个椭圆，再利用椭圆的定义最终得到关于4的方程，解之即可.

椭圆的方程一般采用定义结合离心率公式、和a,b,c的关系式来求；圆的方程主要是待定系数法,

知道点的坐标或者与半径，圆心有关的条件，将之代入圆的方程得到关于系数的方程组；第三问有

一定难度，但一般思路仍然是将已知条件坐标化，然后消元、化简，要充分理解所给条件的意义，

比如本题中的条件“动点P满足PG+PQ=4,其中G(-加,0)，Q(我,0)”就是椭圆的定义，这是最

终解决本题的关键.

21.答案：解：(I)求导函数/''(%)=,+9，

NX—1

"ai=f'(a+1),•••a=|+；

n+nn+14an

313,13,1312a2

=/工=照=”砺，

(n)a3&45+

令得通-

<a29