2023年九年级中考数学专题训练-二次函数的最值(附答案)

中考专题训练一一二次函数的最值1.已知y是X的函数，若函数图像上存在一点P(a,b),满足b-a=2,则称点P为函数图像上“梦幻点”.例如：直线y=2X+1上存在的“梦幻点”P(1,3).⑴求直线y=2X+3上的“梦幻点”的坐标；⑵已知在双曲线y=-(k≠0)上存在两个“梦幻点”且两个“梦幻点”之间的距离为、五,求k的值.X⑶若二次函数y=1X2+(mT+1)X+n+1的图像上存在唯一的梦幻点，且-2≤m≤3时，n的最小值4为t,求t的值..在平面直角坐标系中，二次函数y=X2+PX+q的图象过点(一2,4),(1,-2).⑴求该二次函数的解析式；(2)当一1≤X≤3时，求y的最大值与最小值的差；⑶若一次函数y=(2-m)X+2-m的图象与二次函数y=x2+PX+q的图象交点的横坐标分别为a和b，且a<3<b，求m的取值范围..如图，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为2cm/S，点Q的速度为1cm/S，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为ts,四边形APQC的面积是S(1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；⑵若S是21cm2时，确定t值；⑶t为何值时，S有最大(或最小)值，求出这个最值..在平面直角坐标系中，我们将形如(1,-1),(-2.1,2.1)这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”.(1)直线(填写直线解析式)上的每一个点都是“互补点”；直线y=2X-3上的“互补点”的坐标为；⑵直线y=kx+2(k≠0)上是否有“互补点”若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；1⑶若函数y=4χ2+(n-k-1)X+m+k-2的图象上存在唯一的一个互补点，且当-1≤n≤2时，m的最小值为k,求k的值.5．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开.学校利用围墙作为一边，用总长为48m的塑料膜围成了如图所示的两块矩形区域；已知围墙的可用长度不超过21m,设AB的长为xm,矩形区域ABCD的面积ym2.⑴求y与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；⑵当矩形ABCD的面积为84m2时，求AB的长度；⑶当AB的长度是多少时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，最大值是多少？.某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y(支)与销售单价x(元/支)之间存在如图所示的关系.0 3035，(元/支)⑴请求出y与X的函数关系式；(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？.如图1,在平面直角坐标系XOy中，抛物线y=αx2+bx经过点(一2,5),且与直线厂一L2X在第二象限交于点A，过点A作AB⊥X轴，垂足为点B(-4,0).若P是直线OA上方该抛物线上的一个动点，过点P作PC⊥X轴于点C,交OA于点D，连接OP,PA.⑴求抛物线的解析式；⑵求△AOP的面积S的最大值；⑶连接PB交OA于点E,如图2,线段PB与AD能否互相平分？若能，请求出点E的坐标;若不能，请说明理由.8.如图，抛物线y=x2+bx+C(b、C是常数)与X轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.P为抛物线上一点，横坐标为m.⑴求此抛物线的解析式；◎)△ABP面积记为S,当0≤m≤5时，求S的取值范围.2⑶当此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值..如图，已知二次函数y=-χ2+bx+c的图象经过点A(3,1),点B(0,4),点C(m,n)在该二次函数图象上.(1)求该二次函数的解析式和其图象的顶点坐标；⑵若m≤x≤2时，n的最大值为5,最小值为4,请结合图象求m的取值范围；⑶若点C在直线AB的上方，且S^ABC=3,求点C的坐标..如图，抛物线y=-x2+bx+C经过点A，B(L0)，点C在X轴上，∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2(1)求抛物线的解析式；⑵点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使线段PE最大.①求线段PE的最大值；②在直线PD上存在点M，且点M在以AB为直径的圆上，求出点M的坐标..如图，用长为30的篱笆一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃.设花圃的一边AB为X(m),面积为y(m).⑴求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；⑵如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长为多少？(3)求出所能围成的花圃的最大面积..已知一系列二次函数y=X2+2X,y=2X2+4X,y=3X2+6X, , y=nx2+2nx.具备以12 3 n上正整数系数形式规律的二次函数称为“和谐二次函数”.⑴探索发现，所有“和谐二次函数”都有同一条对称轴直线％=,所有“和谐二次函数”都与％轴有相同的两个交点和.(2)过点p(m,0)的直线U%轴，若直线/与“和谐二次函数”图象中的两条相邻抛物线y，y分别n n+1相交于点N，M.①当m=-1时，求MN的值.②当-2≤m≤0时，写出线段MN的长与m之间的关系式，并求出MN的最大长度..如图，抛物线y=取2+bχ+4与％轴交于A、B两点，与y轴交于点。，其中点A的坐标为(T，0)，抛物线的对称轴是直线%二2-(1)求抛物线的解析式;⑵若点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；⑶在(2)的条件下，当四边形ABPC的面积最大时，求出点P的坐标..已知点M(-3,m),N(1,m)在抛物线C：y=%2+b%+3的图象上，把C先向右平移1 14个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2⑴求b的值以及抛物线C2的函数关系式；⑵动点尸（α,—6）能否在抛物线C2上？若能，请求出a的值，若不能，请说明理由；⑶若点A（m，匕），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m<n,比较Xy2的大小，并说明理由.15．如图，已知二次函数y=ax2+bx+C（a≠0）图象与X轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,-3）,顶点为D，对称轴交X轴于点E.了八 尸备用图⑴求该二次函数的解析式；⑵在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点尸，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标,若不存在,请说明理由；⑶点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥X轴交抛物线于点M，交线段BC于点M求线段MN的最大值，及此时点M的坐标..已知，二次函数y=-X2+bx+c的图像与X轴交于点A（-1,0）,点B（3,0）,与y轴交点C.（1）求二次函数解析式；（2）设点EQ,0）为X轴上一点，且AE=CE，求t的值；（3）若点P是直线BC上方抛物线上一动点，联结BC,过点P作PQ±BC,交BC于点Q,求线段PQ的最大值及此时点P的坐标..如图，抛物线y=ax2+bx+C与X轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于点C.直线/与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4,3).(1)求抛物线的解析式与直线/的解析式；(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当APAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q是y轴上的点，且/ADQ=45。，求点Q的坐标..如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过A(0,-1),B(4,1).直线AB交X轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点P作PD⊥AB，垂足为D,PE〃X轴，交AB于点E.备用图(1)求抛物线的函数表达式；(2)当4PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和^PDE周长的最大值；(3)把抛物线y=x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来..已知抛物线y=aχ2-2ax-3a(a≠0).(1)请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(用含a的代数式表示)(2)若a>0,且P(m,匕)与Q(5,为)是该抛物线上的两点，且匕>y2，求m的取值范围；(3)如图，当a=1时，设该抛物线与X轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点。.点D是直线BC下方抛物线上的一个动点，AD交BC于点E,设点E的横坐标为n,交于点C(0,5),并经过点(1,8),M是它的顶点.(1)求二次函数的解析式；(2)用配方法将二次函数的解析式化为=(x-h)2+k的形式，并写出顶点M的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使PA+PC的值最小？若存在，求出P点坐标；若不存在,请说明理由．参考答案:1.(1)(2,4)3(2)仁-7(3)4+√5或1【分析】(1)设梦幻点PQ，a+2),代入直线解析式即可求解；(2)将梦幻点P(a,a+2)代入双曲线解析式求得a=-1±灰工T,从而得出勺(-1+√k71,1+√k7Γ),P(-1-X∙∙u,1-X.1+1),再利用两点间距离公式建立方程求解即可；21(3)把梦幻点P(a,a+2)的坐标代入一次函数表达式，化间得—a2+(m-1)a+n+1-2=0,由于图象上4存在唯一的梦幻点，故Δ=0,得出n=m2-2tm+12-1+2，该函数图象开口向上，对称轴为m=t,分①当对称轴m=t≥3,②当对称轴m=t≤-2,③当对称轴-2<m=t<3,三种情况讨论求解即可.(1)解：设梦幻点P(a,a+2),1・•点P是直线y=-X+3上的“梦幻点”，乙・•・a+2=1a+3,2∙a=2,•・“梦幻点”的坐标P(2,4)；设梦幻点P(a,a+2),k..・•点P(a,a+2)在双曲线y=—(k≠0)上，X.*.k=a(a+2),∙∙a=-1±kk+1,P(-1+kT+ι,1+√k+Γ),P(-1-√k+Γ,1-√k+Γ),1 2「两个“梦幻点”之间的距离为、/2,•・心+g)-G-Gi，2+[G+kk+1)-G—kk+1 3解得：k=-4设梦幻点P(a,a+2),1•点P(a,a+2)在二次函数y=X2+(m-1+1)X+n+1的图像上，41..a+2=—a2+(m—t+1)a+n+1,1••一a2+(m—t)a+n+1—2=0,4:图像上存在唯一的梦幻点，1..Δ=(m—t>—4X—x(n+1—2)=0,4,n=m2-2tm+12-t+2,将其看作是n关于m的二次函数，则该函数图像开口向上，对称轴为m=t,①当对称轴m=t≥3时，函数在m=3时，取得最小值，艮即n=9-61+12-t+2=t,解得：t=4+J5或t=4-J5(舍去)；②当对称轴m=t<-2时，函数在m=-2时，取得最小值，艮即n=4+41+12-t+2=t,整理得：(t+1>=—5,,此方程无解；③当对称轴-2<m=t<3时，函数在m=t时，取得最小值，§P：n=12—212+12—t+2=t,解得：t=1,综上所述，t的值为4+<5或1.【点评】本题考查了一次函数、反比例、二次函数图像上点的坐标特征，两点间距离公式，解一元二次方程，二次函数的图像和性质等知识，属于新定义类题目，需要理解新定义，按要求逐步求解，该题涉及的字母多，一定要思路清晰，分清字母代表的含义细心求解.(1)y=χ2—χ—2⑵年)m<1【分析】(1)根据点(-2,4),(1,-2),利用待定系数法即可得；( 1、29(2)将二次函数的解析式化成顶点式为y=X—1—9,再利用二次函数的增减性求解即可得；I2)4(3)先联立两个函数的解析式、结合a<3<b求出a,b的值，再根据a<3<b建立不等式，解不等式即可得.解：将点(—2,4),(1,—2)代入y=%2+PX+q得:解得,4-2p+q=41+p+q=—2则该二次函数的解析式为y=X2—%—2. ( 1、29解：将二次函数y=χ2—X—2化成顶点式为y=%————,I2J4\o"CurrentDocument"… . . 1 1则在—1≤%≤3内，当—1≤%≤时，y随X的增大而减小；当；;<%≤3时，y随X的增大而增大，2 2\o"CurrentDocument"9所以当X=-时，y取得最小值，最小值为-9，\o"CurrentDocument"4当X=-1时，y=1-(-1)-2=0，当%=3时，y=9—3—2=4，所以在—1≤%≤3内，y的最大值为4，.「 . .. (9A925所以y的最大值与最小值的差为4——9=4+9=—.I4J4 4解：联立y=%2—%—2y=(2-m)%+2-m得:%2—%—2=(2—m)%+2—m,解得%=—1,%=4—m,1 2•••两函数图象的交点的横坐标分别为a和b，且a<3<b,.∙.a=—1,b=4—m,.∙.3<4—m,^得m<1.【点评】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.(1)S=2-41+24(0≤t≤4)(2)t=1或t=3(3)t=2时，S有最小值20【分析】(1)根据S=S△ABC-S△PBQ列式求解即可；(2)把S=21代入函数关系式得一元二次方程，求解方程即可；(3)把二次函数关系式代成顶点式即可得到答案.(1)。在^ABC中，NABC=90o,AB=8cm,BC=6cm,・'.运动ts时，AP=21,BP=8-21,BQ=tS=S^ABC—S△PBQ=LXABXCB——×PBXQB=—×8×6——×(8—21)Xt=t2—41+24(0≤t≤4)(2)当S=21时，贝Ut2—4t+24=21,解得t=1或t=3(3)：S=t2—41+24=(t-2)2+20,.•.当t=2时，S有最小值20【点评】本题主要考查了图形中的二次函数问题，以及解一元二次方程，正确掌握树敌太多一口价解答本题的关键．(1)y=-％，(1,-1)(2)有，(一ɪ，ɪ)(k≠0,k≠-1)k+1k+1(3)k的值为1或3+√3【分析】(1)根据“互补点”的定义即可求解；(2)假设直线上存在“互补点”，由题意可列出关于％的方程，解这个方程即可；(3)根据题意列出关于t的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得m关于n的二次函数，将此函数化为顶点式再由二次函数的增减性进行分类讨论即可求解.解：•・•纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”.・•・直线y=-%上的每一个点都是“互补点”；设直线y=2%-3上的“互补点”的坐标为(％，2%-3)，.-%=2%-3，解得％=1，・•・直线y=2%-3上的“互补点”的坐标为(1，-1)，故答案为：y=-%；(1，-1)；解：假设直线y=k%+2(k≠0)上存在“互补点”(t，-t)，则由题意得：-t=kt+2，2解得：t= (k，0，k≠-1)，k+1・•・直线y=k%+2(k≠0)上有“互补点”，点的坐标为(-ɪ，ɪ)(k≠0,k≠-1)；k+1k+1解：设“互补点”的坐标为(t，-t)，1由题意可知，方程-t=412+(n-k-1)t+m+k-2有唯一解，整理得：t2+4(n-k)t+4(m+k-2)=0，且Δ=0.即16(n-k)2-4x4(m+k-2)=0，整理得：m=n2-2kn+k2-k+2=(n-k)2-k+2.・∙・当n<k时，m随n的增大而减小；当n>k时，m随n的增大而增大；当n=k时，m取得最小函数值-k+2.①当-1≤k≤2时，此时当n=k时，m取得最小值，由题意得-k+2=k,解得k=1；②当k<-1时，此时当n=-1时，m取得最小值，由题意得(-1-k)2-k+2=k,整理得：k2+2=0，显然无解；③当k>2时，此时当n=2时，m取得最小值，由题意得(2-k)2-k+2=k,整理得：k2-6k+6=0,解得k1=3+√β，k2=3-√3.∙.∙k>2,；.k=3+-3.综上所述，k的值为1或3+,3.【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义、解方程、一元二次方程根的判别式以及二次函数的增减性，对“互补点”的理解以及分类讨论的运用是解决本题的关键.5.(1)y=-3x2+48X,9≤X<16(2)14米(3)AB的长度是9m时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，最大值是189m2【分析】(1)设AB的长为Xm，则BC的长为(48-3X)m,根据矩形的面积公式写出函数解析式，再根据围墙的可用长度不超过21m，以及48-3X>0,求出X的取值范围；(2)令y=84,解一元二次方程，并根据X的取值范围求X的值；(3)根据(1)的函数解析式，由函数的性质求函数的最大值即可.解：设AB的长为Xm,则BC的长为(48-3X)m,则Uy=X(48-3X)=-3x2+48X,•・•围墙的可用长度不超过21m,.∙.48-3X≤21,解答X≥9,又∖∙48-3X>0,.X<16,.9≤X<16,即y与X之间的函数解析式是y=-3x2+48X,自变量X的取值范围是9≤X<16；解：当y=84时，84=-3x2+48X,解得x1=2(舍去)，x2=14,答：当矩形ABCD的面积为84m2时，AB的长度是14m；解：..？=-3χ2+48χ=-3(χ-8)2+192,・•・当x>8时，y随x的增大而减小，∙.∙9≤x<16,・•・当X=9时，y取得最大值，此时y=189,答：当AB的长度是9m时，矩形区域ABCD的面积y取得最大值，最大值是189m2.【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6.(1)y=-10x+400(2)30元，1000元(3)该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元【分析】(1)设y与X的函数关系式为y=kx+b,将(30，100)，(35,50)代入求解即可确定函数解析式；(2)设该款电动牙刷每天的销售利润为W元，根据题意确定函数解析式，依据二次函数的性质即可得出结果；(3)设捐款后每天剩余利润为z元，确定函数解析式，然后根据题意求解，画出函数图象，即可得出结果.解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，将(30，100)，(35，50)代入y=kx+b，130k+b=100得4 ,I35k+b=50，Ik=-10解得：Ib=400，・•.y与X的函数关系式为y=-10X+400；设该款电动牙刷每天的销售利润为W元,由题意得w=(X-20)•y=(x-20)(-10x+400)=-10x2+600x-8000=-10(x-30)2+1000，∙.∙-10<0,・•・当％=30时，W有最大值，W最大值为1000.答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元;设捐款后每天剩余利润为Z元，由题意可得Z=-10X2+600%-8000-200=-10%2+600%-8200,令z=550,即-10%2+600%-8200=550,-10(%2-60X+900)=-250,%2-60%+900=25,解得%1=25,%2=35,画出每天剩余利润z关于销售单价%的函数关系图象如解图，由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550元.【点评】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，确定相应的函数解析式是解题关键.97.(1)y=-%2--乙(2)8⑶线段PB与AD能互相平分，(-6+立,6—卫)或(上陵,6+陵)2 4 2 4【分析】(1)首先根据题意即可求得点A的坐标，再把两点的坐标分别代入解析式，解方程组即可求得；( 9、/八(2)设点Pt,-12--1(t<0)则点D(t,-11),再由S=S+S-S晦及二次函数的性质即可求得;I 2J 2 梯形ABCP △PCO △ABO(3)假设线段PB与AD能互相平分，再根据平行四边形的性质，即可求得.解：•・•过点A作AB⊥%轴，垂足为点B(—4,0),•••点A的横坐标为-4,二•点A的纵坐标为y=-5x(-4)=2,.・•点A的坐标为(一4,2),把点A(一4,2)、点(—2,5)分别代入解析式，[16a-4b=2得[4a-2b=5，α=-1解得L9，b=-[ 29・•・抛物线的解析式为y=-%2-9X；( 9、/解：设点Pt,-12--1(t<0),\o"CurrentDocument"2J9∙∙∙AB=2,BO=4,PC=-12——t,CO=-1,BC=4+1,2.∙.S=S +S -S梯形ABCP △PCO △ABO1 1=-(AB+PC)∙BC+-CO-PC--BO-AB\o"CurrentDocument"2 2-2-12—1]・(4+1)+—x(-1)•21 2J2( 9、-12-τt1 21λC——X4X22=-212—81=-2(t+2)2+8,,.∙CI--2<0,・・・当t=-2时，S有最大值，最大值为8；(3)解：线段PB与AD能相互平分.如图：连接BD,.( 9)设点Pt,-12--tV 2/(t<0),则点f1)Dt,--t\ 2√,/)=-12-41,19 .贝0PD=—t2—t———t2,2k√假设线段PB与AD相互平分，则四边形ABDP是平行四边形，・•・PD=AB 即-t2-41=2,,∙t=-2+√2或t=-2-√2当t=-2+22时，点E的横坐标为-(-2+%①-4)=旺旦2 2，点E的坐标为(-6+^2,6:42)，当t=-2-22时，点E的横坐标为-(-2-X,：2-4)=-6二2，2 2，点E的坐标为(-6-22,6+42)・•・点E的坐标为(W2,6-42)或(W2,6+42),故当点E的坐标为(:6詈,6:42)或(告2,6+/2)时，线段PB与AD互相平分.【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，求不规则图形的面积，二次函数的性质，坐标与图形，平行四边形的性质，采用反证法是解决本题的关键8.(1)抛物线的解析式为尸%2-2%-3(2)S的取值范围为：7≤S≤8⑶m的值为：1+√3或1-√3【分析】(1)利用待定系数法解答即可；(2)过点P作PE⊥AB于点E,利用点P的纵坐标设出高PE的值，利用三角形的面积公式，求得三角形ABP的面积，利用配方法求得三角形ABP面积的最大值，则结论可求；⑶由已知条件得到点P的纵坐标，列出关于m的方程，解方程即可求得结论.(1)解：•・•抛物线y=%2+bχ+c(b、C是常数)与％轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),.J1-b+C=0,|9+3b+c=0,解得:b=—2

c=3・•・抛物线的解析式为产整-2%-3.(2)过点P作PE⊥AB于点E，如图，.∙.∙0≤m≤2,；.P(m,m2-2m-3)在第四象限，.∙.PE=-m2+2m+3.・•A(-1,0),(3,0),•・OA=1,OB=3,•・AB=OA+OB=4.•・SʌPAB=2AB•PE=1×4×(-m2+2m+3)2=-2m2+4m+6=-2(m-1)2+8.•・当m=1时，SδPAB有最大值8.∙.∙0≤m≤2,, 5 7•・当m=-时，SδPAB有最小值弓.•.S的取值范围为：7≤S≤8.(3)「y=%2-2%-3=(%-1)2-4,•・抛物线的顶点为(1,-4).令%=0,则y=-3,•・C(0,-3).・•点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为2,•・点P不可能在点C的下方.•・点P在点C的上方.•・点P的纵坐标为-1,令y=-1,贝Um2-2m-3)=-1.解得：m=1±√3.•.m的值为：为/或I-Q.【点评】本题主要考查了抛物线与％轴的交点，二次函数的性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，二次函数的极值，利用点坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.9.(1)y=-%2+2X+4，顶点坐标为(1,5)(2)0≤m≤1(3)(1,5)或(2,4)【分析】(1)利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法求得顶点坐标；(2)结合二次函数的最大值，令y=4,求出对应的%的值，根据题意即可得出结论；(3)先求得直线AB的解析式为y=-%+4,得到点D的坐标为(m,-m+4),利用SZABC的面积公式得到关于m的一元二次方程，解方程即可求解.解：•・•二次函数y=-%2+bx+C的图象经过点A(3,1),点B(0,4),-9+3b+C=1c=4，解得:b=2《 ..c=4・•・该二次函数的解析式y=-x2+2x+4.∙.∙y=-χ2+2x+4=-(x-1)2+5,・•・顶点坐标为(1,5)；解：•・”的最大值为5,点C(m,n)在该二次函数图象上，・•.m的最大值为1,令y=4,则-χ2+2x+4=4,解得：x1=0,x2=2,・•・根据图象m的取值范围为：0≤m≤1;解：设直线AB的解析式为y=kx+b,则3k+b=1b=4,解得，k=-1b=4・•・直线AB的解析式为y=-X+4,•・•点C在抛物线上，；.n=—m2+2m+4,过点C作y轴的平行线交直线AB于点D,则点D的坐标为(m,-m+4),；.CD=m2+2m+4—(—m+4)=—m2+3m,. 」-/ -、 3 9ʌ..S△ABC=—×3×(-m2+3m)=—m2+—m=3,^2 ^2 ^2解得m1=1,m2=2,当m=1时，n=5,当m=2时，n=4,・•・点C的坐标为(1,5)或(2,4).【点评】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的极值，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键.10.(1)y=—X2—3X+4)99/ʃ16+3∖∕5^⑵①-；②]-2，"16-3√51

或「2,'J2)4【分析】(1)先由已知条件求出点C,A的坐标，再将A,B的坐标代入y=-X2+bx+c求解即可；(2)①先求直线AB的解析式，设P(a，-a2-3a+4),则E(a,-2a+2),即可用含字母a的代数式出1,PE的长度，由二次函数的图象及性质可知，当a=--时，PE有最大值；~一(1A ②设M--,m，分别用含m的代数式表示出AM2,BM2,AB2的值，确定/AMB=90°,再利用勾股定理的/ 乙 乙 乙\2J逆定理即可求出m的值，进一步写出点M的坐标.(1)B(1,0),.OB=1,OC=2OB=2,.∙.BC=3,C(-2,0),在Rt八ABC中，tan∠ABC=2,Bf二2,:.AC=6，∙∙∙A(-2,6),把A(-2,6),B(1,0)代入y=-x2+bx+C,得-4-2b+c=6-1+b+c=0,解得b=-3c=4,所以，抛物线的解析式为y=T2-3X+4.(2)①设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),把A(-2,6),1B(1,0)代入y=kx+b(kW0),1得《6=-2k+b1,0=k+b1解得《k=-2b=2,

v1：AB的解析式为尸-2x+2.设P(a,-a2-3a+4),贝UE(a,-2a+2).. , 1、 9•∙PE=-a2-a+2=-(a+二O2+二，2 4，一, ，9：PE的最大值为“_ .一. (121)②PE有最大值时，P--,—.I247 一—(1 3由于点M在直线PD上，设M--,m.V2 7一，r (3∖2/A可得：AM2=—+(m-6J2,V27… (3YBM2=—+m2,V27AB2=32+62=45.•・•点M在以AB为直径的圆上，∙∠AMB=90°.•AM2+BM2=AB2.V3:V27+(m-6》+V3:V27+m2=45.解得，6+3√5 6-3√5m— ,m= 1 2 2 2所以，点M的坐标为(-2,6^:3^5

I22J(16-3√5]

或「2,丁J.【点评】本题考查了锐角三角函数，待定系数法求二次函数解析式，二次函数求最值，勾股定理的逆定理等，能够熟练掌握并运用知识点是解题的关键.一一(20 -11.(1)y―-3%2+30x一≤x<10I3)√(2)7m八、200⑶飞m2【分析】(1)设AB长为X(m),则BC长为(30-3X)(m),根据墙的最大可用长度为10m,且BC的长度大于0,可得自变量的取值范围，面积为长乘宽，可得函数表达式；(2)面积为63m2,即尸63,代入表达式可得X的值，根据X的取值范围，可得结果；(3)把二次函数化成顶点式，根据函数的增减性求最值即可.【解析】解：(1)设AB长为%(m),则BC长为(30-3x)(m),20・•・3%<30且30-3%≤10.即号≤X<10.j―X(30-3X)―-3X2+30X?≤X<10J(2)由题意得：-3X2+30X—63，解得：X—3或7.20・•W≤X<10,・•・X—3不合题意，就舍去.•・如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长应为7m.(3)由题意知：J=-3(x-5»+75(20≤X<10],I3J•・在对称轴直线X—5的右侧，j随X的增大而减小，.止20.士曰一,θ,,ɪʌ,GCɑ)20(QC.201200•当%—时，J有最大值.最大值为X(30-3X)——×30-3×-1——3 3I3J 3・•・篱笆围成的花圃的最大面积为—m2.【点评】本题考查二次函数的实际应用中的面积问题，根据题意理清关系是解题的关键.12.(1)-1；(0,0),(-2,0)(2)①1；②1【分析】(1)根据对称轴方程可求出抛物线的对称轴；将所有抛物线解析式进行变形可得抛物线恒过两定占；八、、，(2)求出直线l的方程，代入y,y，再求出IMN即可，②根据二次函数图象与性质可得结论.nn+1二次函数y=%2+2%,y=2%2+4%,y=3%2+6%, , y=nx2+2nx的对称轴为直线\o"CurrentDocument"1 2 3 n246 2n1X=- =- =- =…=- =—1；2x1 2X2 2X3 2Xn将二次函数y=%2+2%,y=2%2+4%,y=3X2+6X,

1 2 3,y=n%2+2n%化为两点式后为：y=X(%+2)1ny=2%(%+2)y=3X(X+2)3y=n%(%+2)n可知，恒过(0,0),(-2,0)两点故答案为：-1，(0,0),(-2,0)①当m=-1时，点P为(-1,0),且直线l±%轴，如图，・•・直线l的方程为X=-1∙.∙y=n%2+2n%,y =(n+1)X2+2(n+1)Xn n+1将%=-1代入得，y=n-2n=-n,y =(n+1)-2(n+1)=-n-1n n+1.∙.IMNI=Iy-yI=1，n+1 n②直线l±%轴，且过点P(m, 0)，直线l的方程为：%=m又y=n%2+2n%,y =(n+1)%2+2(n+1)%n n+1.∙.点M的坐标为(m,nm2+2nm),点M的坐标为(m,(n+1)m2+2(n+1)m)；.∣MN^∣=∣(n+1)m2+(2n+2)m-nm2_2nm∣=∣m2+2m∣V-2≤m≤0函数y=Im2+2mI，当m=-1时，MN有最大值，为1【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关键.13.(1)y=-X2+3X+4(2)存在，P(1,6)或(3,4)⑶P(2,6)【分析】(1)根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；(2)解方程得到B(4,0),C(0,4),求得直线BC的解析式为y=-X+4；设P(m,-m2+3m+4),过P作PQ〃y轴交直线BC于。，得到Q(m,-m+4)根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；(3)根据二次函数的性质即可得到结论.a-b+4=0(1)解：由题意，得：'b3，解得：a=-1,b=3,∙∙∙y=-x2+3X+4； =—〔2a2=-2m2+8m+10=16，解得m=1或m=3,/.P(1,6)或(3,4)；(3)VS =-2m2+8m+10=-2(m-2»+18/当m=2时，四边形ABPC的面积最大，此时，P(2,四边形ABPC6).【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.14.(1)b=2,y=X2-6X+6(2)点P不可能在抛物线C2上，见解析⑶y1<y2，理由见解析【分析】(1)首先根据点M(-3,m),N(1,m)的纵坐标相同得到点M和点N关于抛物线的对称轴对称，进而求出对称轴，然后根据对称轴公式即可求出b的值，然后根据抛物线的平移规律即可求出抛物线J的函数关系式；(2)首先得到抛物线％开口向上，函数有最小值一3,然后由一6<—3,即可判断出点P不可能在抛物线C2上；(3)首先根据点N在y=X2+2X+3上求出m的值，然后根据二次函数的增减性即可求解.(1)解：•・•点M(-3,m),N(1,m)在抛物线C1：y=X2+bx+3的图象上， -3+1•・抛物线的对称轴X=-3-+1=-1,乙2=T,.∙.b=2,•・抛物线的解析式为y=X2+2X+3=(X+1)2+2•・抛物线的顶点坐标为(-1,2),•・平移后的抛物线的顶点坐标为(3,-3),•・平移后的抛物线C2的解析式为y=(X-3)2-3，即y=X2-6X+6；解：点P不能在抛物线C2上.理由：•・•抛物线C2的开口向上，函数有最小值一3,；.—6<一3,・•・点P不可能在抛物线C2上；解：∙.∙N(1,m)在y=X2+2X+3上，.∙.m=6,•・•抛物线C2的开口向上，对称轴X=3,・•・在对称轴的右侧，y随X的增大而增大，∙.∙3<m<n,•••匕勺2•【点评】本题考查了二次函数图象与平移变换，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质.15.(1)y=X2-2X-3(2)存在，P(1,-2)9 (3 15、⑶MN取得最大值为9,M-,-74 I2 47【分析】(1)直接将三点坐标代入解析式求解，即可求得解析式；(2)周长最小即要使得PA+PC最小，A点关于对称轴的对称点是B点，连接CB交对称轴于P点，此时的PA+PC即为最小值；(3)设Q(m，0)，再把m代入BC所在一次函数解析式和二次函数解析式，把两者相减，得到一个代数式，再求这个代数式的最大值即可.将A(-1,0),B(3,0),C(0,—3)代入y=ax2+bx+C(aW0)得：a-b+c=0<9a+3b+c=0、c=-3'a=1解得：Jb=-2、c=-3・••二次函数的解析式为：尸X2-2x-3；存在点P,使△PAC的周长最小连接BC交抛物线对称轴于P，连接AP，如图：U.A(-1,0),C(0,-3)∙∙.AC=√10由y=x2-2x-3得抛物线对称轴是x=1A(-1,0),B(3,0)关于抛物线对称轴对称.∙.PA=PB∙∙∙PA+CP=BP+CP而当B、P、C共线时，PB+CP最小，此时PA+CP也最小，因AC=√10，故此时^PAC的周长最小设直线BC为y=kx+b，将B（3,0）,C（0,—3）代入得:k+b=0

b=-3解得:k=1b=-3••・直线BC解析式为：y=x—3令X=1时，得y=—2∙∙∙P(1,—2)(3)设Q(m,0),M(m,m2—2m—3),N(m,m-3)MN=m一3—(m2—2m-3)=—m2+3m - b3一,_一,八该函数为开口向下的二次函数，且在m=-b=3时取得最大值2a2又Q在OB上，；.0<m<33・•・m可取的值包括了5m=3时，

2MN取得最大值为MN=-13J212J(3\9+3—,412J当X=-∣时，y=13J2k2J(3)12J-3=-"4—2X (33151故M点坐标为：M—,

12.4J【点评】本题考查二次函数交点式解析式的应用，考查一个点动点到两个顶点距离最小值的将军饮马模型,考查两点之间距离的最小值，掌握这些知识和模型是解题关键.(16.(1)y=-x2+2X+3；(2)当点P-k3,15J时，PQ的最大值是9√2.

24y 88【分析】(1)利用待定系数法，把点A、B坐标代入抛物线的解析式解方程即可;(2)先求出点C的坐标，再利用两点间的距离公式解答即可；(3)先求出直线BC的解析式，设点P(P,-P2+2p+3),用含P的式子表示出PH，最后利用二次函数的性质得出结果.【解析】(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=一X2+bx+C中,I0=-1-b+c得，10=-9+3b+C解得：b=2,c=3,•∙y=—X2+2X+3.(2)在二次函数解析式为y=-X2+2X+3,令x=0,则y=3则点C坐标(0,3),而A(-1,0),E(t,0),:.CE=O；OE2+OC2=Jt2+32，AE=It+1•「AE=CE,∙∣t+1∣=∖,t2+32,；.t=4；(3)设直线BC为：y=kx+b,把B(3,0)和C(0,3)代入得：H=3k+b，解得：，k=-1,I3=b Ib=3:■l:y=—X+3,BC∙.∙OC=OB=3,∙∠BCO=45°,过点P作PH〃y轴，交BC于点H,∙∠PHQ=45°,∙/PQ±BC,・•・PPH是等腰直角三角形,2PQ=PH∙sin∠PHQ=三PH,设点P(P,-P2+2P+3),贝UH(P,-P+3),PH=—P2+3P=-31P-AJ29H—,

4\o"CurrentDocument"3, , , 9当且仅当P=3时，PH的最大值是9,2 4\o"CurrentDocument". √2 9 .一\o"CurrentDocument"・•・PQ=-PH=-V2,2 8当点P[3,151时，PQ的最大值是9行•\o"CurrentDocument"I24) 8【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，特殊的三角函数值，平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线.\o"CurrentDocument"1 1 2717.(1)抛物线的解析式为y=-L2+%+3,直线/的解析式为y=-X+1；(2)APAD的面积的最大值为--,4 2 4P(1,15).(3)。的坐标为(0,13)或(0,-9).4 3【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可.1(2)如图1中，过点P作PE//y轴交AD于点E.设P(m,-4m2+m+3),则E(m,-m+1).因为SbPAD=-•(xD-XA)•PE=3PE，所以PE的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PE的最大值即可.2(3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90。得到AT,则(-5,6),设DT交y轴于点Q,则∠ADQ=45°,作点T关于AD的对称点T(1,-6),设DQ交y轴于点Q',则∠ADQ'=45°,分别求出直线DT，直线DT'的解析式即可解决问题.【解析】解：(1)••・抛物线y=ax2+bx+C与%轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点，二•设抛物线的解析式为y=a(%+2)(%-6),解得，%=-2,或%=6,D(4,3)在抛物线上，.∙.3=a(4+2)×(4-6),，，一1解得a=--,4••・抛物线的解析式为y=-4(χ+2)(X-6)=-ɪx2+X+3,.-•直线l经过A(-2,0)、D(4,3),设直线/的解析式为y=kx+m(k≠0),1-2k+m=0则Lk+m=3，解得，＜k=12,

b=1 1••・直线l的解析式为y=-χ+1；乙1⑵如图1中，过点P作PE//y轴父AD于点F.设P(m,-4m2+m+3)，J1 八贝UFm,-m+1I2 J图1∙.∙s =-∙(x-x)∙PF=3PF,2AD2DA∙∙∙PF的值最大值时，ZPAD的面积最大,1 . .ɔ1 , 1.1.PF=——m2+m+3—m—1=—m2H--4 2 4 2-4<0∙∙∙m=1时，pf的值最大，最大值为4,此时APAD的面积的最大值为27，P吟)•(3)如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90。得至1」AT,则T(-5,6)，m+2=-1(m-1)2

49+—4，，/Γ'Qt"图之设DT交y轴于点Q，则NADQ=45o,DD(4,3),••・直线DT的解析式为y=-1%+13,3 313∙∙Q(0,-3-)，作点T关于AD的对称点T。-6),则直线DT，的解析式为y=3%-9,设DQ交y轴于点Q',则NADQ=45。,∙∙∙Q'(0,-9),综上所述，满足条件的点Q的坐标为(0,13)或(0,-9).【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题.18.(1)y=%2-7%-1；(2)t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为生5+8,点P的坐标为(2,2 5-4)；(3)满足条件的点M的坐标有(2,-4),(6,12),(-2,12),过程见解析【分析】(1)利用待定系数法求函数表达式即可；).. ( 7(2)先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设Pt,12--1-1I2一. •(一— 7Λ其中0<t<4,则E2t2-7t,t2--t-1,I 2 √,7证明△PDE-△AOC,根据周长之比等于相似比可得I=4J-2(t-2)2+81=-6指+10(t-2>+24正+8,根据二次函数求最值的方法求解即可；5L 」 5 5(3)分以下情况①若AB是平行四边形的对角线；②若AB是平行四边形的边，1)当MN〃AB时；2)当NM//AB时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可.【解析】解(1)：抛物线y=%2+b%+C经过点A(0,-1),点B(4,1),,Uc=^1,↑16+4b+c=l∖b=Λ解得彳2,c=-l7ʌ该抛物线的函数表达式为J=X2--x-l;(2)VA(0,-1),B(4,1),1直线AB的函数表达式为j=-x-l,：.C(2,0),( 7 )设P--t-∖,其中0v∕v4,1,•,点£在直线>=—%—1上，P£〃k轴，\o"CurrentDocument"( 7 、：.E2n-7t,t2一一t-1,ZOCA=ZDEp,\o"CurrentDocument"I 2 J•∙PE=-r∑t-+8f=-2。-2)2+8,VPD±AB,.∙.Zedp=ZCOA,：.∆PDE^AAOC,∖,AO=1,OC=2,.∙.AC≡√5,.,.AAOC的周长为3+√?,令△?。£的周长为/,则上5=%，IPEλz=3√Σ±5.Γ-2G,2>+8‰-6⅛G-2>+⅛8,5L 」 5 5・•・当仁2时，周长取得最大值，最大值为生ɪ+8,5此时点P的坐标为(2,-4),(3)如图所示，满足条件的点M的坐标有(2