《1三角形中几条重要线段》教学

13.1.3三角形中几条重要线段义务教育教科书（沪科）八年级数学上册新课引入

定义

图示垂线线段中点角平分线OBAAB当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线新知探究这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？新知探究问题1

如图，若BD是∠ABC的平分线，你能得到什么结论？ADCB∠ABD=∠DBC

问题2

如图，若BD是△ABC的角平分线，你能得到什么结论？ABCD想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?相同点是∠

ABD=∠DBC;不同点是前者是线段，后者是射线.∠ABD=∠DBC新知探究问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？三条角平分线交于一点．ABCDEF问题3：一个三角形有几条角平分线？3新知探究思考：观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？三角形的三条角平分线交于一点．称之为三角形的内心．（后面学到）新知探究例1：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度数.解：∵DC平分∠ACB,又DE∥BC,∴∠AED=∠ACB=80°.∴∠ECD=40°.∴∠ECD=∠BCD=∠ACB.新知探究问题1

如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ACBAC=BC=AB问题2

如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD称为△ABC的什么呢？类比一下.ABCD新知探究BCA三角形的中线∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=BC.

在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.DA新知探究

画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？画图发现三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO新知探究例2如图，CD为△ABC的边AB上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长．解：∵CD为△ABC的边AB上的中线，∴AD=BD，∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，∴BC-AC=3，∵BC=8，∴AC=5．方法总结：一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差,新知探究【变式题】

在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．

解：如图，∵DB为△ABC的中线，∴AD=CD，设AD=CD=x，则AB=2x，当x+2x=12时，解得x=4.BC+x=15，得BC=11.此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11；当x+2x=15时，BC+x=12，解得x=5，BC=7，此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7．注意分类讨论新知探究问题1什么是三角形的高？怎样画三角形的高？定义

如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.问题2由三角形的高你能得到什么结论？∠ADB=∠ADC=90°ABCD垂足注意:标明垂直的记号和垂足的字母.新知探究高的叙述方法（如图）：有三种.②AD⊥BC,垂足为D.③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.①AD是△ABC的高.ABCD新知探究锐角三角形的三条高问题1每人画一个锐角三角形.(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？O问题2

锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?ABCDEF锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.新知探究直角三角形的三条高问题：在纸上画出一个直角三角形.ABC(1)画出直角三角形的三条高.直角边BC边上的高是______;

AB直角边AB边上的高是

;CB(2)它们有怎样的位置关系？D斜边AC边上的高是_______.

BD●直角三角形的三条高交于直角顶点.新知探究ABCDEF钝角三角形的三条高问题：(1)钝角三角形的三条高交于一点吗？(2)它们所在的直线交于一点吗？O钝角三角形的三条高不相交于一点钝角三角形的三条高所在直线交于一点新知探究三角形的三条高的特性高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部归纳总结新知探究【方法总结】若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.例3：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知,AD·BC＝

BP·AC.代入数值，可解得BP＝.新知探究问题1

如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？BCDEA相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.问题2

通过问题1你能发现什么规律？三角形的中线能将三角形的面积平分.新知探究例4：如图，在△ABC中，E是BC边上一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.解：∵点D是AC的中点，∴AD＝

AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝

S△ABC＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝

S△ABC＝4.【方法总结】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．新知探究定义观察下列语句：1.无限不循环小数称为无理数；2.两条边相等的三角形叫做等腰三角形；3.三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义．请你举出所熟知的一些定义例子.新知探究例如:1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民”是“中华人民共和国公民”的定义;2.“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义;3.“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定义.课堂小测2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高()ADCBABCDABCDABCDABCDBD课堂小测3.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法的正误.⌒⌒ABCDE12FGH①AD是△ABE的角平分线()②BE是△ABD边AD上的中线()③BE是△ABC边AC上的中线()④CH是△ACD边AD上的高()×××√课堂小测

4.

如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3cm，求AB与AC的长.ACDB解：∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD.∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，∴AC+AB=35-11=24（cm）.又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm,∴AB-AC=3，∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.5.

如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴∠DAC=180°－(