《1待定系数法求一次函数的解析式》教学

12.2.3待定系数法求一次函数的解析式义务教育教科书（沪科）八年级数学上册新课引入

前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？

思考：反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？两点法——两点确定一条直线引例：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑的时间t(s)的关系如右图所示.

(1)请写出v与t的关系式;(2)下滑3s时物体的速度是多少？v(m/s)t(s)O解：（1）v=2.5t.（2）v=2.5×3=7.5(m/s).52新知探究

例1求正比例函数的表达式．

解：由正比例函数的定义知m2－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式,自变量的指数为1，系数不为0.新知探究想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？

确定一次函数的表达式呢？一个两个新知探究

如图，已知一次函数的图象经过P（0，-1），Q（1，1）两点.怎样确定这个一次函数的解析式呢？新知探究

一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b为常数，k≠0），要求出一次函数的解析式，关键是要确定k和b的值（即待定系数）.函数解析式y=kx+b满足条件的两点(x1,y1),(x2,y2)一次函数的图象直线l选取解出画出选取新知探究

因为P（0，-1）和Q（1，1）都在该函数图象上，因此它们的坐标应满足y=kx+b

，将这两点坐标代入该式中，得到一个关于k，b的二元一次方程组：k·0+b=-1，k+b=1.｛｛解这个方程组，得k=2，b=-1.所以，这个一次函数的解析式为y=2x-1.新知探究

像这样，通过先设定函数解析式（确定函数模型），再根据已知条件确定解析式中的未知系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法.新知探究

例2

如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5;当x=5时，y=2.你能画出它的图象，并写出函数表达式吗？解：因为y是x的一次函数，设其表达式为y=kx+b.由题意得解得

4k+b=5,5k+b=2,所以，函数表达式为y=-3x+17,图象如图所示.k=-3,b=17,新知探究利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.2.将已知条件代入上述表达式中，得k，b的二元一次方程组.3.解这个二元一次方程组得k，b.4.进而求出一次函数的表达式.新知探究

1.已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2）,则k=______.2.已知函数y=2x+b的图象经过点（a，7）和（-2，a），则这个函数的表达式为____________.3y=2x+5新知探究例3：正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B为一次函数的图象与y轴的交点，且OB=.求正比例函数与一次函数的表达式．解：设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x-.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k1，3＝4k2-

.∴k1＝，k2=即正比例函数的表达式为y＝x.一次函数的表达式为y2＝

x

-.新知探究

某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，函数图象如图所示.（1）求y关于x的函数表达式；（2）一箱油可供拖拉机工作几小时？

y=-5x+40.8h新知探究

根据图象确定一次函数表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中，求出待定系数，从而求出函数表达式．新知探究1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则下列结论正确的是()

A．k=2

B．k=3

C．b=2

D．b=3DyxO23课堂小测课堂小测2.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:

(1)b=______,k=______;(2)当x=30时，y=______;(3)当y=30时，x=______.2-18-42l课堂小测3.已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，∴－5＝2k＋b，5＝b，解得b＝5，k＝－5.∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.解：设直线l为y=kx+b,∵l与直线y=-2x平行，∴k=-2.

又∵直线过点（0，2），∴2=-2×0+b,∴b=2,∴直线l的表达式为y=-2x+2.4.已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的表达式.课堂小测5.在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.解：设y=kx+b(k≠0)

由题意得14.5=b,16=3k+b,

解得：b=14.5，

k=0.5.

所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5.当x=4时，y＝0.5×4＋14.5=16.5（厘米）.故当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度为16.5厘米.课堂小测6.

已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的表达式.解：设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0).∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），

∴b=2.

∵一次函数的图象与x轴的交点是(，0)，则解得